河南省信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二上期12月测试（一）数学答案-A4

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数学答案
参考答案：
12．
13．
14.
15．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由已知可得，即，结合等比数列定义即可证明结论，利用等比数列的通项公式即可求得答案；
（2）利用等比数列前n项和公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，则，
即，又，则，
故是首项为2，公比为2的等比数列，
故，即；
（2）由于，故.
16．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，后求出关键点坐标，后借助向量夹角公式求出，进而得出异面直线与所成角的余弦值.
（2）运用等体积转化法，借助向量求到平面的距离，再用三棱锥体积公式计算即可.
【详解】（1）如图，正方体中, 为的中点，连接交于O，连接，
根据正方体的性质，知道垂直于上下底面，且，则两两垂直.
则可以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系.
由于棱长为2，则面对角线为.
因此涉及的关键点坐标为，
则.
则，
则异面直线与所成角的余弦值为的余弦值为.
（2）根据题意，知道，显然.
由正方体结构特征知，面，则到平面的距离为.
故.
故三棱锥的体积为.
17．(1)，
(2)最小值是，最大值是.
【分析】（1）根据极值的定义得到关于，的方程组，即可求出，.
（2）判断函数在上的单调性，结合函数的极值和端点函数值求解.
【详解】（1），
∵函数在处取得极值4，
∴，，解得，，
∴，经验证在处取得极大值4，
故，.
（2）由（1）可知，，，
令f'x>0，解得，令f'x