上海市奉贤区2025届高三上学期学业质量调研（一）数学试题含答案

这是一份上海市奉贤区2025届高三上学期学业质量调研（一）数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
（完卷时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1~6题每个空格填对得4分，7~12题每个空格填对得5分．
1．设全集，集合，则_______．
2．若直线：与直线：互相垂直，则_______．
3．已知，则不等式的解集为_______．
4．设若，则_______．
5．若，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法共_______种．
6．的二项展开式中的常数项为_______．（用数字作答）
7．已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为_______．
8．在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为、，其中为虚数单位，则的大小为 _______．
9．、两人下棋，每局两人获胜的可能性一样．某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，
最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛胜，后因为有其他要事中止比赛．为求公平，则应该分得______元奖金．
10．申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章
由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中
，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．
已知，，外接圆的半径是，则该图形的面积为
_______．（用含的表达式表示）

11．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（左图1）的屋檐下常系挂风铃（中间图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成．为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量．因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（右图3），其中，， ，则制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少需要_______千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位）


12．已知集合，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集,集合,其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列,当时，计算符合条件的点集的个数为____________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14选对每个得4分，15-16选对每个得5分，否则一律零分．
13．在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分又非必要条件．
14．函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数； B．函数定义域是；
C．函数最大值； D．函数的最小正周期为．
15．在四棱锥中，若，则实数组可能是（ ）
A．；B．；C．； D．．
16．已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列满足：，则是“可控数列”；
②若等比数列是“可控数列”，则其公比为．
则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题； B．①与②均为假命题；
C．①为假命题，②为真命题； D．①为真命题，②为假命题．
三、解答题（第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分）
17．已知函数，其中．
（1）若函数的图像过点，求关于的不等式的解集；
（2）存在，使得数列、、是等比数列，求实数的取值
范围．
18．某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）求频率分布直方图中的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．
19．如图为正四棱锥，为底面的中心．
（1）求证：∥面，平面⊥平面；
（2）设为上的一点，．
在下面两问中选一个，若都选，只按第 = 1 \* GB3 ①问阅卷，第 = 1 \* GB3 ①问满分5分，第 = 2 \* GB3 ②问满分7分
= 1 \* GB3 ①若，求直线平面所成角的大小．
= 2 \* GB3 ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，
若，求的长．
20．椭圆：的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点 ．
（1）若椭圆的离心率，求的值；
（2）若，，求；
（3）若，过点的直线与椭圆交于、两点，且，则当 时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？
21．若函数的图像上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质．
（1）判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）；
（2）设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由；
（3）设，证明：对任意的，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程.
参考答案
一、填空题
1． 2．
3． 4．
5． 6．
7． 8．（或）
9． 10．
11．120（119也可以） 12．
二、选择题
13．A 14．C 15．A 16．D
三、解答题（第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分）
17．解：（1）将点代入函数解析式，得：，
因为，所以. …………………………2分
因为在上是严格增函数，
所以， …………………………3分
解得或，
所以原不等式的解集为. …………………………2分
由题意，数列、、是等比数列，
得：， …………………………2分
即：，化简得 …………………………1分
，所以 …………………………1分
因为在上是严格减函数， …………………………1分
所以，所以的取值范围是. …………………………2分
若，化简得的解法最多扣一分 …………………1分
18． 解：（1）由题意，
解得： . …………………………3分
乙型芯片该项指标的平均值为
………3分
（2）由题意：甲型芯片根据分层抽样取1件，取1件； ……………2分
乙型芯片根据分层抽样取3件，取1件. ……………2分
从6件中任取2件的情况有 ……………2分
则至少有一件为航天级芯片的概率为. ……………2分
19．解：（1）证明：∥，平面，不在平面内，…………2分
由线面平行判定定理得∥面 …………………………1分
由题意：四棱锥为正四棱锥，为底面的中心
所以底面，
所以， …………………………1分
，
又因为（这一步必需有） …………………………1分
由线面垂直的判定定理得平面 …………………………1分
又因为平面
所以由面面垂直的判定定理得平面平面. …………………………1分


（2）选 = 1 \* GB3 ①若，求直线与面所成角的大小．
由（1）知道平面，点在上，所以面与面是同一个平面
连，则是直线与面所成的角 ……………1分
，可以计算
，可以计算
，可以得到
，
利用余弦定理得：
……………3分
所以直线与面所成角的大小 …………………………1分
选 = 2 \* GB3 ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，
，可以计算 …………………………1分
在平面内过点作交于点
根据底面得，所以∥ …………………………1分
所以底面 …………………………1分
过点作交于点
连，根据三垂线定理得到： …………………………1分
是平面与平面所成的二面角的平面角 …………………………1分
，可以得到，
所以平面 …………………………1分
…………………………1分
，可以计算 …………………………1分
在平面内过点作交于点
根据底面得，所以∥ …………………………1分
所以底面 …………………………1分
过点作交于点
连，根据三垂线定理得到： …………………………1分
是平面与平面所成的二面角的平面角 …………………………1分
，可以得到，
所以平面 …………………………1分
…………………………1分
第（2）问另解：
如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.
选 = 1 \* GB3 ①若，求直线与面所成角的大小．
点，点
因为， …………………………1分
由（1）可得平面
所以平面的一个法向量 …………………………1分
所以 …………………………2分
所以直线与面所成角的大小 …………………………1分
若选 = 2 \* GB3 ②已知平面与平面所成二面角的大小为
点，点，
设
因为，得 …………………………1分
易得，
设平面的一个法向量为得：，
求得： …………………………2分
又平面的一个法向量为
所以， …………………………2分
又因为平面与平面所成二面角的大小为
所以，解得 …………………………1分
…………………………1分
20．解：（1）椭圆的离心率 …………………………2分
所以 …………………………2分
（2）显然直线的斜率是存在的， …………………………1分
…………………………1分
直线，过点的直线方程为， ……………………1分
它与椭圆联立得到
， ……………………1分
…………………………1分
…………………………1分
时，椭圆方程为
斜率不存在时，过任意点的唯一的直线：与椭圆交于、两点坐标，此时恒成立 …………………………………2分
斜率存在时，设过任意点的直线的方程为
联立它与椭圆联立得到
……………………………1分
…………………………………1分

时，方程方程无解…………………………………1分
时，
当时，存在直线斜率为的直线，使得使得 ………………1分
当时，即
存在的两条直线，使得 ………………………………………1分
所以：存在3条直线，使得
存在2条直线，使得 ………………………1分
或存在1条直线，使得
21．解：（1）函数，是偶函数 …………………………2分
其一条点切线方程为： …………………………2分
（2）因为，所以. …………………………2分
记，则
由，知函数在上为严格增函数. ……………………2分
因此，对于函数的图像上任意两点，，，
，所以其切线斜率不相等，切线不可能重合，
因此函数不具有点切线性质. …………………………2分
（3），，…………………………1分
故函数在处的切线方程为：，
即……………1分
一方面取个点、、、…、，在该个点处的切线方程均为：
所以该函数具有点切线性质.…………………………2分
另一方面，若在点()处的切线重合.
则有.
由可以知道角与终边相同或关于轴对称、角与终边相同或关于轴对称、角与终边相同或关于轴对称，
因中至少2个角终边相同，不妨设角与终边相同，则（）.此时，且，
则，故，则或……………2分
此时切线方程为或.…………………………2分