安徽省顶级名校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份安徽省顶级名校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了已知，则，已知点，则外接圆的方程为，已知是椭圆的两个焦点，焦距为6，点在圆上，点在圆上，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ）
A.点和点关于轴对称 B.点和点关于轴对称
C.点和点关于轴对称 D.点和点关于原点中心对称
4.已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A.或 B.
C. D.或
5.已知点，则外接圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A.直线始终过定点 B.若，则或
C.若，则或 D.当时，不过第四象限
10.点在圆上，点在圆上，则（ ）
A.两个圆的公切线有2条
B.的取值范围为
C.两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上
D.两个圆的公共弦所在直线的方程为
11.如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
B.点到平面的距离为
C.点到所在直线的距离为2
D.若线段的中点为，则一定平行于平面
12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知曲线为一条双纽线，曲线上的点到定点的距离之积为4，点是曲线上一点，则下列说法中正确的是（ ）
A.点在曲线上
B.面积的最大值为1
C.点在椭圆上，若，则点也在曲线上
D.的最大值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的一般式方程为__________.
14.已知圆与圆相交，则的取值范围为__________.
15.加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是__________.
16.阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程不同时为0可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程不同时为0可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分8分）
已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的斜率.
18.（本小题满分10分）
已知圆的方程为.
（1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；
（2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知直线与椭圆交于两点，线段的中点坐标为.
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
21.（本小题满分12分）
如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面是的中点.
（1）证明：平面；
（2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点.过的直线与椭圆交于的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的右顶点为是椭圆上的动点（不与顶点重合）.若直线与直线交于点，直线与轴交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值.
高二期中考试数学答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
8.解析：由题设知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以.
设为的中点，所以.所以点的轨迹方程为.
其轨迹是以为圆心，半径为的圆.设点到直线的距离分别为，所以，
所以.因为点到直线的距离为，
所以，即，
所以.所以的取值范围为.故选：A.
二､多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
12.解析：对选项A，动点，由题可得的轨迹方程.
把点代入上式，上式显然成立.所以点在曲线上，故A正确；
对选项B，.当时，即当时，即当或时，，
此时，的面积取得最大值，即，故B错误；
对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，
又，所以，故，
所以点也在曲线上，C正确；
对选项D，因为，所以
由余弦定理得，于是有
因此.
所以，当且仅当，等号成立，
所以的最大值为，故D正确.故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.或
14.
15.
16.
15.解析：由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点.由椭圆方程可知蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，即，所以，所以椭圆离心率，所以.故答案为：.
16.解析：平面的方程为，所以平面的法向量可取，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，由，
所以可取.设直线与平面所成角的大小为，
则.故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【答案】（1）；（2）.
解析：（1）高所在直线方程为，其斜率为，故直线的斜率为，则直线的方程为：，即，
联立方程与中线所在直线方程，可得，
故点的坐标为.
（2）设点的坐标为，由点在直线上可得；
的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即；
故可得，即点坐标为.
则直线的斜率为.
18.【答案】（1），或；（2）6.
解析：（1）圆的标准方程为.
①当斜率不存在时，直线的方程为：，直线截圆所得弦长为，
符合题意；
②当斜率存在时，设直线，
圆心到直线的距离为
根据垂径定理可得，，解得.
直线的方程为，或
（2）圆心.因为与圆相切，所以.
当最小.所以.
所以
19.【答案】（1）证明见解析（2）
解析：（1）如图，取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，所以，
在菱形中，，则为等边三角形，所以，又平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）得，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.
因，则.
设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
因为，记直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20.【答案】（1）；（2）.
解析：（1）设，
由是椭圆上两点得，，
两式相减得，即，
因为线段的中点坐标为，所以，
所以，即，所以直线的方程为，
即.
（2）由得，，则，
所以，
点到直线的距离，
所以.
21.【答案】（1）证明见解析（2）不存在
解析：（1）如图，取中点，取中点，
因为为等边三角形，所以，平面平面，
又平面，平面平面，
所以平面，又底面为矩形，则.
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴
建立空间直角坐标系，
由题意可得，，
，已知是的中点.则，可知，，由四边形为平行四边形，
得，设平面的法向量，
则，取，得，则平面的一个法向量
故，
则.且平面，则平面.
（2）设.设.因为，所以.于是有.所以.
又.设平面法向量，则
即：
所以平面的一个法向量为.平面的一个法向量为.则，
化简得.所以无实数解，不存在这样的点.
22.【答案】（1）（2）
解析：（1）由题意得，又，解得，
椭圆的标准方程为.
（2）因为.所以直线的方程为，
直线的方程为.
由，解得，所以.
由，得，由
，
则，所以，则，
，
因为不重合，所以，即，又，
所以，
直线的方程为，
令得.
，
，
当时，取得最小值为.
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
B
D
A
B
C
A
9
10
11
12
AC
BC
BCD
ACD