浙江省部分重点高中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份浙江省部分重点高中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案，共29页。试卷主要包含了 已知函数，，且，则函数可能是， 已知双曲线， 若直线等内容，欢迎下载使用。
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 从两位数中随机选择一个数，则它平方的个位数字为1的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，，且，则函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，，则方程的实根个数是（ ）
A. 2B. .3C. 4D. 5
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9. 若直线：与直线：平行，则实数可能（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 下列从总体中抽得样本是简单随机抽样的是（ ）
A. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取
B. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75
C. 总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数，把作为抽中的编号
D. 总体编号为1～712，用软件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的编号
11. 已知椭圆：，直线：，（ ）
A. 若直线与椭圆有公共点，则
B. 若，则椭圆上的点到直线的最小距离为
C. 若直线与椭圆交于两点，则线段的长度可能为6
D. 若直线与椭圆交于两点，则线段的中点在直线上
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线：，则双曲线的离心率是______.
13. 已知圆：，直线，若直线与圆相切，则______.
14. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，
（1）求；
（2）过点作交于点，是的中点，连接.若，求的长度.
16. 已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点.
（1）求的取值范围；
（2）当时，求的面积.
17 如图，四棱锥中，底面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时，
（1）求点的轨迹方程；
（2）证明：直线是点轨迹切线；
（3）求面积的最大值.
19. 如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.

（1）求异面直线与所成的角；
（2）求的取值范围；
（3）求四面体的体积的最大值.数学
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别解指数不等式和二次不等式得到集合，再由集合交集的定义得到结果.
【详解】解，∴，则，
解，∴，则，
∴.
故选：B
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的四则运算求解.
【详解】由，则，
可得.
故选：C.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由向量垂直得到向量数量积为0，建立方程，解得的值.
【详解】∵，∴，∴.
故选：A.
4. 从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意找出个位数字为1或9的总个数除以两位数的总个数即可得出结果.
【详解】两位数的平方个位数字为1的数字需满足个位数字为1或9，这样的两位数字共个；
两位数共有个，
所以它的平方的个位数字为1的概率是.
故选：D.
5. 已知函数，，且，则函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可先得到和，再代入得到，由选项解析式代入化简，得到结论.
【详解】由题意得：，
∵，∴，
∴，
若，则，舍去；
若，则，舍去；
若，则，成立；
若，则，舍去.
故选：C.
6. 已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程.
【详解】设，代入双曲线方程，
可得，作差，
因为点为线段的中点，所以
所以，即，
所以直线的方程是，即，
经检验，直线满足题意.
故选：A.
7. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】我们先根据已知条件求出的值，再利用向量夹角公式求出.
【详解】已知向量是单位向量，则，即，
因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得：
，即，
联立方程，将代入可得：
，解得，
当时，；当时，，
因为向量是单位向量，则，即，
又因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得：
，即，
联立方程，将代入可得：
，解得，
当时，；当时，，
根据向量夹角公式，，
当时，；当时，，
所以.
故选：B.
8. 已知函数，，则方程的实根个数是（ ）
A. 2B. .3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数的草图，数形结合，分析两个函数图象交点个数，可得方程实根的个数.
【详解】如图：
函数在上单调递增，且，.
在上，因为，
，，
所以方程在上有1解；
又，所以是方程的1解；
又，，
所以方程在上有1解；
当时，由图可知，恒成立，
所以1,+∞上，方程无解.
所以方程实根的个数为：3.
故选：B
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9. 若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】BC
【解析】
【分析】两直线平行的条件：对于直线和直线，若两直线平行，则，且或者.我们先根据求出可能的值，再检验是否满足后面的条件.
【详解】对于直线和直线.
由可得：,解得或者.
当时：直线，直线.
此时，两直线平行.
当时：直线，直线.
此时，两直线平行.
故选：BC.
10. 下列从总体中抽得的样本是简单随机抽样的是（ ）
A. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取
B. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75
C. 总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数，把作为抽中的编号
D. 总体编号为1～712，用软件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的编号
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抽中的可能性是否相等依次判断每个选项得到答案.
【详解】对于A：总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取，
则编号为1~75可能被抽中，被抽中的可能性相同，故A正确；
对于B：总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，
则抽中75.因为1~24，75号与25~74号抽中的可能性不同，所以不是简单随机抽样，故B错误；
总体编号为6001~6879，在1~879范围内产生一个随机整数，把作为抽中的编号.
每个编号抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样，故C正确；
由R软件的简单统计功能，“sample（1:712，50，replace＝F”）表示在区间内随机产生50个不重复随机整数，
故每个编号抽中的可能性相同，故D正确
故选：ACD
11. 已知椭圆：，直线：，（ ）
A. 若直线与椭圆有公共点，则
B. 若，则椭圆上的点到直线的最小距离为
C. 若直线与椭圆交于两点，则线段的长度可能为6
D. 若直线与椭圆交于两点，则线段的中点在直线上
【答案】ABD
【解析】
【分析】可设椭圆上的点为，结合三角函数有界性分析判断AB；对于C：结合椭圆性质分析判断；对于D：利用点差法分析判断.
【详解】由椭圆方程可知：，且焦点在x轴上，设椭圆上的点为.
对于选项A：若直线与椭圆有公共点，则存在点在直线上，
则，可得，故A正确；
对于选项B：若，则直线：，
可得点到直线距离为
，
所以椭圆上的点到直线的最小距离为，故B正确；
对于选项C：椭圆的最长弦长为长轴长，
但直线不可能与y轴重合，所以，故C错误；
对于选项D：设Ax1,y1,Bx2,y2，线段的中点为Mx,y，
则，，
因为在椭圆上，则，
两式相减可得，整理可得，
即，可得，则，
可知点Mx,y在直线上，即线段的中点在直线上，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线：，则双曲线的离心率是______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用双曲线方程求出实半轴长、半焦距，进而求出离心率.
【详解】双曲线：的实半轴长，虚半轴长，
则半焦距，所以双曲线的离心率.
故答案为：
13. 已知圆：，直线，若直线与圆相切，则______.
【答案】9或
【解析】
【分析】由圆心到直线的距离等于半径可得．
【详解】由得圆心，半径，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
由点到直线的距离得，解得，故或.
故答案为：9或
14. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】以为坐标原点，，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据，，，到球心距离等于半径，求出半径，得到四面体的外接球的表面积
【详解】以为坐标原点，，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图
设四面体的外接球的球心为，半径为.
因为，，，，
所以解得，，
故四面体的外接球的表面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，
（1）求；
（2）过点作交于点，是的中点，连接.若，求的长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理求解即可；
（2）解直角三角形得出，再由中线的向量形式平方即可得解.
【小问1详解】
由题意可知，，
由，故，
故，又，
所以，.
【小问2详解】
如图，，
由（1）可知，，则，，
故，
因为 ，
所以，
所以，即的长度为.
16. 已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点.
（1）求的取值范围；
（2）当时，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出点关于直线的对称点为，得到圆方程，再利用两圆位置关系得到关于的不等式组，解之即可得解；
（2）先求出当时圆的圆心与半径，从而分析得是以为顶点的等腰三角形，进而利用三角形面积公式即可得解.
【小问1详解】
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
故圆为，
因为圆与圆交于，两点，
所以，
解得.
【小问2详解】
当时，圆：，：，
故是以为顶点的等腰三角形，
由（1）可知，，
所以边上的高为，
所以的面积为.
17. 如图，四棱锥中，底面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为矩形.再得到，运用线面平行判定可解.
（2）求出两个面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
因为平面，平面ABCD ，所以，，
由，，得；
在中，，所以为正三角形，
过作的垂线，垂足为，，有，，
所以四边形为矩形.
故，平面.平面，所以平面.
【小问2详解】
以为原点，，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，，.
设平面，的法向量分别为m=x,y,z，n=a,b,c.
，，，
，得，解得；
，得，解得；
设平面与平面的夹角大小为，
则.
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时，
（1）求点的轨迹方程；
（2）证明：直线是点轨迹的切线；
（3）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可.
（2）设求出直线l的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两个相等的根即可，
（3）根据面积公式列出关于的表达式，然后根据的有界性求出最值即可
【小问1详解】
由线段的垂直平分线的性质可知，，
故，
所以点在以点A，为焦点的椭圆上，
其中椭圆的长轴长为8，焦距为AB=4，短轴长，
故点的轨迹方程为：.
【小问2详解】
设，
则有：，
将代入椭圆：消去整理得
，
故，
即
所以，直线是点轨迹的切线；.
【小问3详解】
由（2）可知，点到直线的距离为
，
点A到直线距离为
，
故线段，
所以的面积为
，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，的面积的最大值为.
19. 如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.

（1）求异面直线与所成角；
（2）求的取值范围；
（3）求四面体的体积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点作的平行线，过点作的平行线交于点，可得是异面直线与所成的角，再根据几何关系求解即可；
（2）思路一：建立空间直角坐标系，求出点的轨迹，进而可得的取值范围；
思路二：由空间向量的线性运算可得，进而可得范围.
（3）先求得，思路一：设，，根据基本不等式求得，范围，进而可得最大值.
思路二：直接根据结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，

则有是异面直线与所成的角或其补角.
因为，，
所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，，
所以，所以，，
所以异面直线与所成的角为.
【小问2详解】
如图，过的中点分别作，的平行线，，
以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴，
过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系.

由题意可知，，设,，
则，，
从而，且.
所以.
思路一：因为，，，
所以，，
所以，即.
所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为.
点，所以.
思路二：设在，上的投影分别为，则且，
则、分别为平行四边形的两条对角线，则为中点.
故，
可得
，
因为，则，所以.
【小问3详解】
由题意异面直线，所成角为，则到平面的距离，
故，

思路一：不妨设，，
则，
故，
从而，此时.
思路二：因为，
故，
从而，此时，.