广东省茂名市电白区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟，总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解二次不等式得到集合，再由集合交集的定义得到结果.
【详解】解得，即，
∴.
故选：B
2. 函数的最小值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式的性质即可求解.
【详解】根据题意可知，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
3. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用将分式不等式转化成整式不等式求解.
【详解】，解得或
∴不等式的解集为.
故选：A.
4. 已知,则是的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先解不等式，再根据不等式的解集即可得到答案.
【详解】因为或.
所以是的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了二次不等式，属于简单题.
5. 已知函数为奇函数，则（ ）
A. 2B. 1
C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义列式计算即得.
【详解】函数的定义域为R，由函数为奇函数，得，
即，
所以.
故选：B
6. 关于一元二次不等式的解集为，则（ ）
A. 1B. C. 1或D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的对应关系可得结果.
【详解】由题意得，为方程根，
∴，解得.
故选：B.
7. 函数，对且，，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用条件分析函数单调性，结合二次函数对称轴可得结果.
【详解】因为对且，，
所以在上为增函数.
由得二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴，故.
故选：C.
8. 记实数的最小数为若则函数的最大值为（ ）
A. 4B. C. 1D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值．
【详解】
如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数图象，
而的图象即是图中勾勒出的实线部分，
要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标.
由联立解得，，故所求函数的最大值为．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】同一个函数的定义是既有相同的定义域又有相同的表达式.
【详解】A选项：定义域分别为：和，定义域不同，所以不是同一个函数；
B选项：定义域分别为：和，定义域相同，表达式分别是：和，表达式相同，所以是同一个函数；
C选项：定义域分别为：和，定义域相同，表达式分别是：和，表达式相同，所以是同一个函数；
D选项：定义域分别为：或和，定义域不同，所以不是同一个函数；
故选：BC.
10. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ）
A. 定义域为B. 值域为
C. 在上单调递减D. 图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数有意义，则满足，
所以函数定义域为，所以A正确；
对于B中，当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以；
当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
所以函数的值域为，所以B正确；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确；
对于D中，函数定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为奇函数，
函数的图象关于原点对称，所以D正确.
故选：ABD.
11. 若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为8
C. 的最小值为9D. 的最小值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式可得，利用换元法解不等式得，可得选项A错误；利用可得选项B正确；由得，结合基本不等式可得选项C正确；原式可变形为，根据可得选项D错误.
【详解】由得，.
令，则，
∴，∴，当且仅当时取得最小值4，选项A错误.
，当且仅当时，取得最小值8，选项B正确.
由得，
∴，
当且仅当，即时取得最小值9，选项C正确.
由得，
∵，∴，选项D错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为________.
【答案】且
【解析】
【分析】由定义域的定义可知：①分母不为0；②偶次根式被开方数为非负数，列出不等式解得范围即可.
【详解】∵，∴且.
故答案为：且.
13. 已知函数，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】构造奇函数，由奇函数的性质求的值.
【详解】令，
定义域为：，定义域关于原点对称，
则，
则为奇函数，
∴
∴，∴.
故答案为：.
14. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用判别式法即可得到答案.
【详解】由题意得，
即，
则，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1），=；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据不等式求解集合、，由集合的交、并、补运算即可求解；
（2）由题意得是真子集，讨论为空集，为非空集两种情况，再根据集合的包含关系求解.
【小问1详解】
时，，
，所以可得，
则，所以，
或，所以=；
【小问2详解】
若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
若，即，则满足题意，
若，则，此时且两等号不能同时取得，解得，
所以，
综上的取值范围是或．
16. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
已知该城市对每户居民每月收取环卫服务费元、污水处理费元/，如果某户居民某月用水量为，需徼用水总费用为元.
（1）求关于的函数解析式；
（2）若该城市某户居民本月用水量为，求此户居民本月用水总费用；
（3）若该城市某户居民本月用水总费用为元，求此用户本月用水量.
【答案】（1）；
（2）元；
（3）.
【解析】
【分析】（1）分段写出关于的解析式，再写成分段函数即可；
（2）将代入，求解即可；
（3）由题意可知当时，，令，求解即可.
【小问1详解】
解：当时，；
当时；
当时，.
所以；
【小问2详解】
解：把，代入，得.
所以此户居民本月用水费用为元.
【小问3详解】
解：当时，，
所以令，得，
所以此户居民本月用水量.
（3）若该城市某户居民本月缴纳的用水总费用为50元，求此用户本月用水量.
17. 已知函数．
（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）任取，作差，分析每一个因式的正负，进而得到，可判断单调性；
（2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式，解不等式即可得到答案.
【小问1详解】
任取，
则，
因为，则，，，
则，故在上单调递减.
【小问2详解】
由（1）得，在上单调递减，
所以，，解得，
所以，即所求范围是.
18. 已知二次函数．
（1）若函数是偶函数，求实数k的值；
（2）若存在x使成立，求k的取值范围；
（3）当时，求在区间上的最小值．
【答案】（1）2 （2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式求解即可；
（2）依题意可知对应方程有两个不等的根，所以；
（3）是对称轴为开口向上的抛物线，该题属于定轴动区间类型，只需讨论对称轴在里面还是外面即可知道的单调性，进而知道的最小值.
【小问1详解】
若函数是偶函数，则，故有，
得对任意都成立,
所以，得
【小问2详解】
若存在使成立，则，
解得或，所以k的取值范围是；
【小问3详解】
当时，，
为对称轴是开口向上的抛物线，
因为，所以，
当即时，在单调递减，
；
当即时，在单调递增，
；
当即时，在单调递减，则单调递增，
；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且.
（1）求集合；
（2）求集合；
（3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）且
【解析】
【分析】（1）当时，或，当时，，代入新定义计算即可得；
（2）当，，代入新定义计算即可得；
（3）求出A的补集，根据分和讨论，由此求得m的取值范围．
【小问1详解】
，
当时，或，此时或；
当时，，此时，所以；
【小问2详解】
，
时，，此时，即；
【小问3详解】
因为，当时，即，
当时，方程无实根，，解得；
当时，则有，即且且，
综上所述，实数m的取值范围是且.
每户每月用水量
水价
不超过的部分
元/
超过但不超过部分
元/
超过的部分
元/