青海省海南州2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将直线方程化成斜截式，求得其斜率，从而得其倾斜角.
【详解】由，可得，
则直线斜率为，故倾斜角为.
故选：B.
2. 在三棱柱中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
【详解】由题意可得：．
故选：C.
3. 平行线与间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行线间的距离公式求解即可.
【详解】方程变形为
由平行线间的距离公式可得所求距离．
故选：A.
4. 若构成空间一个基底，则下列选项中能作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量共面基本定理判断各选项向量是否共面即可得解.
【详解】因，所以共面，故A错误；
因为，所以共面，故B错误；
因为，所以共面，故C错误；
因为不存在x，y，使得，所以不共面，故D正确．
故选：D
5. 下列命题正确的是（ ）
A. 一条直线的方向向量是唯一的
B. 若直线的方向向量与平面的法向量平行，则
C. 若平面的法向量与平面的法向量平行，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则
【答案】B
【解析】
【分析】平面法向量的概念及辨析、利用法向量判断线面、面面位置关系即可.
【详解】对于A:一条直线的方向向量不唯一，A错误；
对于B:若直线的方向向量与平面的法向量平行，则，B正确.
对于C:若平面的法向量与平面的法向量平行，则，C错误.
对于D:若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或，D错误.
故选：B.
6. 若方程表示一个圆，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求.
【详解】若方程表示一个圆，则，
方程可化为，
所以，解得，且不等于0，
所以或.
故选：D
7. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的计算方法求得正确答案.
【详解】向量在向量上的投影向量为．
故选：A
8. 已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆的性质可知，求点C关于l的对称点为，根据对称性转化，并结合几何性质运算求解.
【详解】因为圆的圆心为，半径，
因为，当且仅当点在线段上时，等号成立，
设点C关于l的对称点为，
则，解得，即，
则，
所以的最小值为．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（ ）
A B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分类讨论直线l是否过原点，结合截距式方程运算求解即可.
【详解】当直线l过原点时，直线l的方程为，即；
当直线l不过原点时，设直线l方程为，
则，解得，
则直线l的方程为，即；
综上所述：直线l的方程可能是或.
故选：BD.
10. 如图，在棱长为3的正四面体中，O为的中心，D为的中点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据向量的线性运算求解；对于B：根据正四面体的结构运算求解；对于CD：根据向量的数量积运算求解即可.
【详解】连接，，，
对于选项A：因为
，
，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B正确；
对于选项CD：
，故C错误，D正确；
故选：ABD.
11. 若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数k的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析可知曲线C表示圆的上半部分，根据图形结合直线与圆的位置关系运算求解.
【详解】由，得，
可知曲线C表示圆的上半部分．

且直线过定点，
当直线过点时，；
当直线与圆相切时，，解得或．
由图可知，k的取值范围是．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线）
【答案】外部
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可.
【详解】因为，所以点在圆C的外部．
故答案为：外部.
13. 过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据斜率公式列式求解即可.
【详解】根据题意可得，解得或，
当时，点A，B重合，不符合题意，舍去；
当时，经验证，符合题意；
综上所述：.
故答案为：.
14. 在空间直角坐标系中，点均在球的同一个大圆（球面被经过球心的平面截得的圆）上，则球的表面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，则即外接圆的直径，即是球的直径，求出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解.
【详解】由，
得，则，
所以为直角三角形，
则即外接圆的直径，即是球的直径．
因为，
所以，得球的半径为，
故球的表面积为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线，直线．
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数a的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据直线平行列式求解，并代入检验即可；
（2）根据直线垂直列式求解即可.
【小问1详解】
因为，则，
整理得，解得或，
当时，，，，重合；
当时，，，符合题意．
综上所述：．
【小问2详解】
因为，所以，解得或．
16. 已知圆W经过，，三点．
（1）求圆W的标准方程；
（2）判断圆与圆W的位置关系．
【答案】（1）
（2）圆C与圆W相交
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点坐标，求解转化为标准方程；
（2）根据圆与圆的位置关系判断求解即可.
【小问1详解】
设圆W的方程为，，
则，解得，
故圆W的方程为，标准方程为．
【小问2详解】
圆W的圆心为，半径为5，
圆C的标准方程为，
圆心为，半径为3．
设两圆圆心之间的距离为d，则．
因为，所以圆C与圆W相交．
17. 如图，在五棱锥中，，，，，，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求平面夹角．
【小问1详解】
因为，，，，
所以，，
则，，
因为，平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，
则，．
易得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，取得．
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
18. 已知圆（为常数）．
（1）当时，求直线被圆截得的弦长．
（2）证明：圆经过两个定点．
（3）设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）当时利用配方求出圆的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由可得答案；
（2）由令与联立解方程组可得答案；
（3）（方法一）设的中点为，由得求出可得答案．（方法二）由利用两点间的距离公式求出可得答案．
【小问1详解】
当时，圆，
此时，圆的圆心为，半径．
则圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长
为；
【小问2详解】
由，得，
令，因为为常数
所以得，由
解得或，
所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为；
【小问3详解】
（方法一）设的中点为，
不妨设，则点的坐标为．
因为，所以，
所以，
解得，
所以圆的标准方程为．
（方法二）不妨设，因为，
所以，
解得，
所以圆的标准方程为．
19. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.
（1）是否存在点，使得平面？
（2）求的取值范围.
（3）求点到直线的距离的最小值.
【答案】（1）存在，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用，及即可求出点坐标；
（2）由（1）知，利用模长公式结合二次函数求值域即可求解；
（3）取中点为，则点轨迹为线段，所以点到直线距离的最小值就是异面直线与的距离，利用向量法求出异面直线与的距离即可.
【小问1详解】
如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，
，，
设平面的法向量为，
则，可取，
设， 所以，
又，所以，
即，所以，
设存在点，使得平面，
则，解得，则，
则，
所以存在点，使得平面
【小问2详解】
由（1）知，
所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
由（1）知点满足，
取中点为，则点轨迹为线段，
所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，
，，，，，
设，，
则，可取，
又，
点到直线的距离的最小值.