2024~2025学年广东省东莞市五校高一(上)第二次联考数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年广东省东莞市五校高一(上)第二次联考数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】B
【解析】因为，可知的终边与的终边相同，
而为第二象限角，所以是第二象限角.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，若，则，即“”不是“”充分条件；
当时，，即“”是“”必要条件，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数在时单调递增，
所以，即，
因为函数是正实数集上的增函数，
所以，即，因此.
故选：C.
4. 已知是函数的一个零点，则（ ）
A. (0，1)B. (1，2)C. (2，3)D. (3，4)
【答案】C
【解析】因为函数，均在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又，，
故零点所在区间为，所以.
故选：C.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，所以，
又，
所以.
故选：A.
6. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，
当时，显然成立，
当时，要想对于恒成立，
只需，
综上所述：实数的取值范围是.
故选：D.
7. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】二次函数的对称轴为，且开口向下，
因为函数是正实数集上的增函数，
又函数在区间上单调递减，
则在区间上单调递减，且恒成立，
只需满足.
故选：C.
8. 某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2024年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是（ ）（参考数据：，）
A. 2029年B. 2030年C. 2031年D. 2032年
【答案】D
【解析】设第年该政府全年投入的资金翻两番，依题意得：
，
因此该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是2032年.
故选：D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法，正确的是（ ）
A.
B. 若角与角的终边在同一条直线上，则
C. 若角的终边经过点，则
D. 若扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
【答案】ACD
【解析】对于A，
，故A正确；
对于B，因为角与角的终边在同一条直线上，所以角与角的终边可能重合，
此时，故B错误；
对于C，因为角的终边经过点，所以且，
所以，故C正确；
对于D，设扇形的半径为，又扇形的弧长为2，圆心角为，
所以，解得，所以该扇形的面积为，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，由于导致，
故不是偶函数，故A错误；
对于B，由，解得，所以的定义域为，
关于原点对称.
又，所以是偶函数.
而，所以是偶函数又存在零点，故B正确；
对于C，由，解得，
所以函数的定义域为-1，1，关于原点对称，
又，所以是偶函数.
而，所以存在零点x=0.
所以是偶函数又存在零点，故C正确；
对于D，由，解得，所以的定义域为.
所以定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故D错误.
故选：BC.
11. 已知，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为5
B. 若，则的最大值为1
C. 若，则的最小值为8
D. 若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】A：当时，显然满足，而，
所以本选项不正确；
B：，，，
当且仅当时取等号，即当时取等号，故本选项正确；
C：，
当且仅当时取等号，即当时取等号，故本选项正确；
D：由，得，且，，
则
，
当且仅当，即当时取等号，故本选项正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数为幂函数，且在上单调递增，则实数的值是_____.
【答案】
【解析】由题意可知，解之得或，
当时，，此时函数在上单调递减，不符题意；
当时，，此时函数在上单调递增，满足题意.
所以实数的值是.
13. 已知函数（为常数），且，则_____.
【答案】
【解析】因为，
所以有，
于是有
14. 已知函数（其中，且）.
（1）若，则实数的值是_________；
（2）若的值域为，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】（1）由解析式可得：，
所以，所以，
（2）当时，的值域为，
，函数在单调递增，值域为：，
显然不符合函数的值域为；
当时，的值域为，
，函数在单调递增，值域为：，
若函数的值域为，则需满足，解得：，
故实数的取值范围为；
当时，显然不符合题意；
当时，的值域为，
，函数在单调递减，值域为：，
显然不符合函数值域为；
综上实数的取值范围为.
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. （1）计算.
（2）已知，求的值.
解：（1）
.
（2）因为，
所以
.
16. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）由，得，解得，所以，
当时，，所以或，
所以或.
（2）由（1）可得，因为，所以，
因为，所以或，解得或，
所以实数的取值范围或.
17. 已知二次函数满足，且，为上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式，在给定的坐标系中画出的图象，并根据图象写出函数的单调增区间；
（2）讨论关于的方程的根的个数.
解：（1）设二次函数，则，
因为，
故，
所以，解得，则，
所以；
当时，，
当时，，则，
为上的奇函数，故，，
故，
综上，，
画出函数图象如下：
函数的单调增区间为.
（2）由图可知，，，
方程，即，
当，即时，或当，即时，方程有一个根；
当，即或时，方程有两个根；
当，即时，方程有三个根.
18. 东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（，且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：
已知第9的日销售收入为552元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）；求函数的最小值.
解：（1）因为第9的日销售收入为552元，
所以有.
（2）由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内，即有单调递减又有递增的情况，
而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把代入，
得，
显然也满足函数的解析式.
（3）由题意可知：，
当时，
，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时；
当时，，
显然此时函数单调递减，此时，
综上所述：函数的最小值元.
19. 已知函数为奇函数，其中为自然对数的底数.
（1）求实数的值，并用定义证明函数的单调性；
（2）解不等式；
（3）已知函数hx与的图象关于点对称，设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为的定义域为R且函数为奇函数，
所以，
因为，
所以是奇函数，符合题意，故成立；
，该函数是实数集上的增函数，理由如下：
设是任意两个实数，且，
则有，
因为，所以，所以，
所以函数是实数集上的增函数.
（2）因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由
，
所以不等式的解集为.
（3）因为函数hx与的图象关于点对称，
所以，显然，
所以有，
，
令，当时，，
设，
所以，
于当时，，
对，总，使得成立，
所以有，即实数的取值范围为.9
14
18
22
29
54
59
63
59
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