2023~2024学年山东省济南市济阳区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市济阳区九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：从正面看易得上面第一层右边有1个正方形，第二层有两个正方形，如图所示：
故选：A．
2. 方程的根的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 无实数根
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：C．
3. 如果，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由，
，
故选：
4. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】解：将点代入反比例函数，
得：，
解得：，
故选：B．
5. 抛物线顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
抛物线的顶点坐标是．
故选：D．
6. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
故选D．
7. 如图，将一个可自由转动的转盘平均分成4份，分别标上“最”“美”“咸”“阳”四个字，随意转动转盘一次，待转盘停止转动后，记录下指针所指区域的汉字（若指针指在分割线上，则重新转动转盘），通过转动两次转盘后，指针所指区域的汉字可以组成词语“咸阳”的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设分别用A、B、C、D表示“最”“美”“咸”“阳”四个字，列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中指针所指区域的汉字可以组成词语“咸阳”的结果数有2种，即抽到（C，D），（D，C），
∴通过转动两次转盘后，指针所指区域的汉字可以组成词语“咸阳”的概率为，
故选B．
8. 如图，每个小正方形的边长均为1，苦点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
，
，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故选：D
9. 如图，点在的边BC上，点是的中点，连接、，若，，，，则的长为（ ）

A 3B. 4C. 5D.
【答案】D
【解析】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
在中，，，根据勾股定理得，
，
故选：D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，，连接，则的最小值是（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】A
【解析】解：如图，连接，过点P作，垂足为H，过点Q作，垂足为，
令，即，
解得：或，
，，
当时，，
，，
，
，
.，
即，
根据垂线段最短可知，的最小值为的长度，
，
，
，
即的最小值为6．
故选：A．
二、填空（每小题4分，共24分）
11. 如图，在中，，，，则等于________．
【答案】
【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
12. 投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是________
【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两枚硬币恰好是一正一反有2种等可能的结果，
∴两枚硬币恰好是一正一反的概率是，
故答案为：．
13. 若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角________度．
【答案】60
【解析】解：∵二次函数与轴只有1个公共点，
∴，
解得，
∴锐角．
故答案为：60．
14. 如图，、是的半径，A是上一点，若，，则________度

【答案】.##100度
【解析】解：连接，

，，
,
.
故答案为：
15. 如图，在中，点是边上一点，连接．已知，，，，那么线段的长度是________．

【答案】
【解析】，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，A、B两点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，交OB于点D．若，的面积为1，则k的值为____________．
【答案】
【解析】解：作轴于E，
∵轴于点C，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共78分）
17. 计算：．
解：
．
18. 用配方法解方程：
解：由原方程移项，得
，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
开方，得
，
解得，．
19. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
解：证明：在四边形是菱形，，
，
，
在和中，
，
∴．
20. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

（1）当悬臂与桌面平行时，=___________°
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
解：（1）如图：当悬臂与桌面平行时，作

，悬臂也与桌面平行
∴
故答案为：
（2）过作与交于，过作与交于

∴四边形为矩形
∴，
∵
∴
在中
∵
∴
∴
（3）过作，，

∴
在中
∴
∵
∴
∴
21. 小颖设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘A、，A转盘被分成了面积的两个扇形，转盘被分成了面积相等的三个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了（红色与蓝色能配成紫色）．
（1）转动转盘一次，指针指向红色的概率是______；
（2）请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率是多少？
解：（1）∵转盘被分成了面积相等的三个扇形，且红色区域占一个扇形，
∴红色区域占整体的，
∴转动A转盘一次，指针指向红色的概率是；
故答案为：；
（2）用列表法表示同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况如下：
∵共有9种等可能出现的结果，其中“能配成紫色”的有5种，
∴“能配成紫色”的概率为，
答：游戏者获胜的概率是．
22. 如图在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，交于．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
解：证明：连结、，如图，
为的直径，
，即，
，
，
而，
为 的中位线，
∴，
是的切线；
∵，
；
（2）解：设的半径为，
∵，
，
，
，
或舍弃）．
的半径为4．
23. 2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》称为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为．
（1）当围成的矩形养殖园面积为时，求的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
解：（1）设的长为，则矩形的宽，
由题意得：，
解得．，
墙的最大可用长度为15米，
，
，
即的长为；
（2）不能，理由如下：
设AB的长为，则矩形的宽，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴此时养殖园的面积不能达到．
24. 如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．

（1）小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形；
（2）求直线，曲线的函数表达式；
（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________．
解：（1）根据点A的坐标为，点B的坐标为，补全x轴和y轴，
∵，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，
∴，，
根据，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，

（2）设线段的解析式为，
把，代入得，
，
解得，，
∴，
设曲线的解析式为，
把代入得，，，
∴；
（3）设，则，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，或（舍去），
∴．
故答案为：．
25. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长．
解：（1）证明：，，
，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如图2中，延长交延长线于点．
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：如图，过点作与交于点，使，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
26. 如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E，
（1）求抛物线的解析式；
（2）当的周长最大时，求P点的坐标；
（3）如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标．
解：（1）把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当最大时，的周长最大，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，即此时的周长最大，此时；
（3）如图所示，设直线交y轴于D，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴．
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
红
红
蓝
红
（红，红）
（红，红）
（红，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，红）
（蓝，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，红）
（蓝，蓝）