2023~2024学年山东省青岛市西海岸新区九年级(上)期末考试数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省青岛市西海岸新区九年级(上)期末考试数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了 如图，在中，，若，则的长为，5，等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1. 两个完全相同的长方体小木块，如图放置于桌面上，其左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：从左边看，左边是一个小正方形，右边是一个矩形(无虚线)，
故选：B．
2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角互补
【答案】A
【解析】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分，
则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，
故选A．
3. 若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选：C．
4. 如图，在中，，若，则的长为（ ）
A. 8B. 12C. D.
【答案】C
【解析】解：∵sinB==0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC==，
故选C.
5. 如图，在菱形中，，．是边上的一点，，分别是，的中点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=8，
∵
∴△ABD是等边三角形，
∴BA=AD=8，
∵PE=ED，PF=FB，
∴
故选:C.
6. 如图，是的直径，，弦与延长线交于点交于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，点D为的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：B．
7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：由图可知，
，，
∴
即
∵二次函数与轴有两个不同的交点
∴
∴一次函数经过一、二、三象限
当时，
∴
∴反比例函数经过一、三象限
故选：A．
8. 如图，菱形中，，菱形在直线上向右作无滑动的翻滚每绕着一个顶点旋转叫一次操作，则经过27次这样的操作，菱形对角线交点所经过的路径总长为（ ）（结果保留）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：第一、二次旋转的弧长和，
第三次旋转的弧长，周期为3，
∵，
∴菱形中心所经过的路径总长
故选：D．
二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）
9. 当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearsn）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 _____．
【答案】0.5
【解析】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
10. 计算的结果为_________．
【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
11. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
据此我们可以推知一元二次方程的根是_________．
【答案】或
【解析】解：∵时，，时，，
∴与是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴抛物线的对称轴为：直线，
∵关于直线的对称点为，
∴一元二次方程的根是或．
故答案：或．
12. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得：且，
故答案为：且．
13. 如图，过原点的直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为，连接，若，则的值是______．
【答案】5
【解析】解：设，
∵过点O的直线与双曲线交于A、B两点，
∴，
∴， ，
∴，
∴， ，则．
又∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴．
故答案为：5．
14. 如图，一张扇形纸片OAB，，，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为__________．
【答案】
【解析】解：由折叠可知，
S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO，
∵OA＝OD，
∴AD＝OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠DOB＝60°，
∵AD＝OD＝OA＝6，
∴CD＝3，
∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO6×36π﹣9，
∴S弓形OD＝6π﹣9，
阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD（6π﹣9，
故答案为：．
15. 如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第⑥个图中，看得见的小立方体有_____个．
【答案】91
【解析】解：n=1时，共有小立方体的个数为1，看不见的小立方体的个数为0个，看得见的小立方体的个数为1﹣0=1；
n=2时，共有小立方体个数为2×2×2=8，看不见的小立方体的个数为（2﹣1）×（2﹣1）×（2﹣1）=1个，看得见的小立方体的个数为8﹣1=7；
n=3时，共有小立方体的个数为3×3×3=27，看不见的小立方体的个数为（3﹣1）×（3﹣1）×（3﹣1）=8个，看得见的小立方体的个数为27﹣8=19；
…
n=6时，共有小立方体的个数为6×6×6=216，看不见的小立方体的个数为（6﹣1）×（6﹣1）×（6﹣1）=125个，看得见的小立方体的个数为216﹣125=91．
故答案为91．
16. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为______（填序号）

【答案】①②③④
【解析】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
又∵与同高，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④．
三．作图题（本题满分4分）
17. 请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
已知：如图，线段．点是直线外一点．
求作：矩形．使边在直线上，．
解：①以点A为圆心，线段a为半径画弧交直线m于点C和，即；
②作线段的垂直平分线交于点B；
③分别以点C和为圆心，长为半径向上画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，分别交于点D和，；
④连接，；
如图所示：矩形即为所求．
四．解答题
18. （1）解方程：；
（2）用配方法把二次函数化为的形式，并写出图象的对称轴和顶点坐标．
解：（1）原方程因式分解为，
即：或，
解得：，；
（2），
该二次函数图象的对称轴为，顶点坐标是．
19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．
（1）求这个反比例函数的表达式
（2）求的面积．
解：（1）由题意可得，
，解得： ，
代入反比例函数得，
，解得，
∴ ；
（2）由题意得，
当 时，，即
联立两个函数可得，
，解得： 或，
∴ ，，
∴ ．
20. 如图，AF，AG分别是和的高，．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
解：（1）证明：，分别是和的高，
，，
，，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
21. 2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处，且在C岛的北偏东59°方向上，已知B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛232km．此时，“雪龙2”船沿着AC方向以24km/h的速度航行．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？(参考数据：sin31°≈，cs31°≈，tan31°≈，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈)
解：过点A作AD⊥BC于D，
由题意知，∠ABC=28°+25°=53°，∠ACB=59°-28°=31°，BC=232km，
设AD=x，
在Rt△ABD中，∵∠ABD=53°，
∴BD==≈x，
在Rt△ACD中，∵∠ACD=31°，
∴CD==≈x，
∵BD+CD=BC，
∴x+x=232，
解得：x=96，
∴AD=96(km)，
∴AC=2AD=192(km)，
∴192÷24=8(h)，
∴9+8=17，
答：“雪龙2”船大约17点钟到达C岛．
22. 实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为的正方体．
（1）如图所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 ；
（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图中的虚线所示）从前到后打一个边长为的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 ；
（3）如果把（1）、（2）中的边长为的通孔均改为边长为的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为？如果能，求出，如果不能，请说明理由．
解：（1）表面积S1=4×4×6﹣2×+4×1×4=110（cm2）．
故答案为110；
（2）表面积S2=110﹣4+4×1.5×2=118（cm2）．
故答案为118；
（3）能使橡皮泥块的表面积为118cm2，理由为：
∵S1=96﹣2a2+4a×4，S2=S1﹣4a2+4×4a﹣4a2
∴96﹣2a2+16a﹣8a2+16a=118，
96﹣10a2+32a=118，
5a2﹣16a+11=0，
∴a1=，a2=1，
∵a≠1，＜4，
∴当边长改为cm时，表面积为118cm2．
23. 一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AFCE；
（2）当∠BAC＝ 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴ADBC，
∴∠DAC＝∠BCA，
由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA，
∴∠HAF＝∠MCE，
∴AFCE；
（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，ABCD，
由（1）得：AFCE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°．
∴∠ACD＝30°，
由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，
∴∠HAF＝∠ACD，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：30．
24. 如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为，称这样的三角形为“中垂三角形”，设．
【特例探索】
①如图1，当时，______，______；
②如图2，当时，______，______．
【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对三者之间关系的猜想，并利用图3证明三者之间的关系．
解：（1）特例探索：①如图1．连接，
，是的中线，
，
，
当，时，，
，是的中线，
，
∴，又，
，
，
由勾股定理得：，
，
，；
②如图2，连接，

当，时，
在中，，，
，，
，
∴，
，
，，
由勾股定理得：，
，
，；
故答案为：①，；②，；
归纳证明：猜想：，理由如下：
如图3，连接，

，是的中线，
是的中位线，
，且，
，
设，，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
．
25. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．
（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？
（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为W1，W2（单位：元）．
①求W1，W2关于x的函数关系式；
②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？
解：（1）设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，由题意得：
，
解得：，
答：1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元；
（2）由题意可知，第二期有盆景（50+x）盆．
由题意得：
①W1＝（140﹣2x）（50+x）＝﹣6x2+40x+7000；
W2＝20（50﹣x）＝﹣20x+1000；
②W＝W3+W2
＝﹣2x4+40x+7000+（﹣20x+1000）
＝﹣2x2+20x+8000
＝﹣2（x﹣5）2+8050，
∵a＝﹣4＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝5时，W取得最大值，Wmax＝8050，
∴当x＝5时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大．
26. 如图，在中，，点从点出发，沿折线以速度向点运动，同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点到达点时，点同时停止运动，当点不与重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接．设运动时间为．
备用图
（1）当为何值时，？
（2）设的面积为，求与的函数关系式并写出的取值范围；
（3）当为何值时，为直角三角形？
解：（1）在中，由勾股定理得，，
当时，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴时，；
（2）点，点关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
；
（3）∵点N是点M关于直线的对称点，
∴，
∴为等腰三角形，
∴当为直角三角形时，，
∴，
∵，
∴此时为等腰直角三角形，
即，
①如图，当M在上运动时，此时，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，符合题意，
②如图，当M在上运动时，此时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，符合题意，
综上所述，当 或 时，为直角三角形．x
…
0
1
…
y
…
0
4
6
6
…