2023~2024学年山东省济南市商河县九年级(上)期末考试数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市商河县九年级(上)期末考试数学试卷(解析版)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 如图所示的几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：该几何体的主视图为：
．
故选D．
2. 在中，，如果，，那么的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，，
∴，
故选：A．
3. 如图，点都在上，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：点都在上，，
，
故选：C．
4. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A. ，21B. ，11C. 4，21D. ，69
【答案】A
【解析】解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴与的位似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标，即，
故选：B．
6. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D．

∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴BC=9.6(cm)．
故选：C．
7. 某校举行以《大国重器》为主题的演讲比赛，其中一个环节是即兴演讲，该环节共有三个题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一个题目，选手根据题目对应的内容进行90秒演讲．小亮和小敏都参加了即兴演讲，则电脑给他们派发的是同一个题目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：记三个题目为1，2，3，
由题意列表如下：
由表可知，共有9种等可能的结果，其中派发的是同一个题目共有3种等可能的结果，
∵，
∴派发的是同一个题目的概率为，
故选：A．
8. 如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡与水平方向的夹角为，地下停车场层高米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（ ）

A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】解：过点C作，如图，

∴，
∵，
∴，
∵米，
∴，
∴米，
故选：D．
9. 如图，正方形中，点分别在上，，经过对角线的中点O，若，则一定等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：四边形是正方形，
，
经过对角线的中点O，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
10. 函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当时，y随x的增大而减小；
④当时，关于x的方程有4个实数根；
其中正确的结论个数是．（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】解：如图：
①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确；
②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误；
③如图所示：当时，y随x的增大而减小，则正确；
④如图所示：当时，关于x的方程有4个实数根，则正确；
则正确的个数有3个，故选C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 如果，那么______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根为______．
【答案】
【解析】设方程的另一个根为n，根据题意，得，
解得，
故答案为：．
13. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∴，即，
故答案为：．
14. 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用60米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设隔墙的长度为x米，要使鸡场面积最大，则x的值为______米？
【答案】10
【解析】如图，∵，则，依题意，得：
，
∴当时，y有最大值为．
故答案为：10．
15. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为__________．

【答案】3
【解析】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，

过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形面积为，
，
，
的近似值为3，
故答案为：3．
16. 如图（1）是一张菱形纸片，其中，，点E为边上一动点．如图（2），将纸片沿翻折，点B的对应点为；如图（3），将纸片再沿折叠，点E的对应点为．当与菱形的边CB垂直时，的长为______．

【答案】
【解析】设与菱形的边CB垂直的垂足为M，

∵菱形纸片，其中，，
∴．
∵与菱形的边CB垂直，
∴，，
∴，
根据折叠的意义，得，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
．
18. 二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）点B的坐标为________；
（2）当x________时，y随x增大而减小；
（3）不等式的解集为________．
解：（1）由图象可知，A、B到直线距离相等，
∵
∴B点坐标为：
故答案为：
（2）由图象可知，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是：；
故答案为：；
（3）由图象可知，不等式的解集是：；
故答案为：．
19. 如图，，平分，平分．，．求证：四边形是矩形．
解：证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，平分，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
20. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且．
（1）求证：．
（2）若，，，求BD的长．
解：（1）证明：∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，
∴
（2）解：由（1）可知，，
∴．
设BD=，则AD=2，AB=3，
∵AE=4，AC=9，
∴，
解得（负值舍去），
∴BD的长是．
21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根
（1）求m的取值范围：
（2）当m取最大整数时，求方程的两个根
解：（1）∵方程，，
∴，
∴，
解得．
（2）∵且取最大整数，
∴，
∴，
解得．
22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D的切线交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
解：（1）证明：连接，
∵过点D的切线交于点E，交的延长线于点F，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，以为直径的交于点D，，，
∴，，
∴，

∵，
∴，
∴．
23. 我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．直至水温降至时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温（）和时间x（）的关系如图所示．
（1）a=___________，b=___________．
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式．
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在及以上？
（4）若某天上午饮水机自动接通电源，开机温度正好是，问学生上午第一节下课时（）能喝到以上的水吗？请说明理由．
解：（1）开机加热时每分钟上升，
，
∵停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．
设关系为，将点代入得，
∴反比例函数解析式为，
令，解得：，
∴；
故答案为：，；
（2）∵设一次函数关系式为：，
将（代入，
解得．
∴，
由（1）可得反比例函数解析式为：；
∴
（3）在中，令，解得；
在反比例函数中，令，
解得：，
，
∴饮水机有分钟时间能使水温保持在及以上．
（4）上午到上午第一节下课时（）的时间是分钟，是2个40分钟多20分钟，
在中，当时，，
∵，
∴学生上午第一节下课时不能喝到超过以上的水．
24. 为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
解：（1）由题意得，

∴；
（2）在中，．

∴，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
∴山高(米)，
答：山高为69米；
（3）解：如图，由题意得，，

设山高，则，

在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，山高
答：山高的高为米．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点两点，且与轴交于点．连接，，为抛物线在第二象限内一点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，，抛物线上是否存在点，使得．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图，连接，，过点作交于点，连接．若，求点坐标．
解：（1）分别将、、代入中得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）不存在点，使得，
理由如下：
∵ ，
∴，
∴ ，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作轴于，交于，

设，则，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴原方程无解，
∴不存在点，使得；
（3）连接，

∵ ，
∴，
∵，
∴，
过作轴于，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∵直线的解析式为，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∵ ，
∴，
解得 ，
∴直线的解析式为，
联立得 ，
，
解得或（不合题意，舍去）
∴点坐标为．
26. 如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合)，且，以和为邻边作矩形，连接，．
（1）如图（2），当时，与的数量关系为______，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图说明理由．
拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由．
解：（1），，
理由如下：
当，则，，
，
，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）与之间的数量关系发生变化，，
理由如下：如图（1）在矩形和矩形中，
当时，，，
，，
，
如图（3）连接，
矩形绕点顺时针旋转，
，
，
，
；
（3）如图，当点在线段上时，
，，
，
，
，，
，
，
；
如图，当点在线段上时，
同理可求，
；
综上所述：线段的长为或．1
2
3
1
2
3