长沙市华益中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）

这是一份长沙市华益中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，10个小题，共30分）
1.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断
【答案】A
【解析】【分析】由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此对方程进行判断即可．
【详解】解：由题意得，，，
，
原方程有两个不相等的实数根．故选：A．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式确定方程根的个数问题，掌握根的判别式的意义是解题的关键．
2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】从正面看到的有三列，从左到右正方形的个数依次是1，1，2，据此判断即可.
【详解】解：从正面看到的视图是：
，故选：A.
【点睛】本题考查了几何体视图，明确从正面看到的视图是解题关键.
3.下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
D.
【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解： A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
4.绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，结合，即可求的度数．
【详解】解：∵绕点O逆时针旋转65°得到，∴，
∵，∴，故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，旋转角的含义，掌握旋转角的含义是解本题的关键．
5.在中，，，，那么的正切值是（ ）
A.B.7C.D.
【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了求角的正切值，熟知在直角三角形一个角的正切值等于该角的对边比上另一条直角边是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，，，∴，故选A．
6.近年来由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车月份的售价为万元，月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，可列方程正确在是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用；首先根据月份售价为万元，月平均降价率是可得出月份的售价为万元，月份的售价为万元，据此根据月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案．
【详解】解：根据题意得：．故选：B．
7.在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A.45°B.75°C.105°D.120°
【答案】C
【解析】【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】由题意得，sinA-=0，-csB=0，即sinA=，=csB，解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，故选C．
【点睛】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
8.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC的长是（ ）
A.2B.4C.6D.8
【答案】C
【解析】【分析】由平行可得平行线分线段成比例，可得，代入可求得BC．
【详解】∵DE∥BC，∴，∵AD=1，AB=3，DE=2，∴，∴BC=6．故选C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．
9.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案．
【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得： 解得 答：袋子中红球有5个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10.若二次函数的对称轴为直线，则关于x的方程的解为（ ）
A.2B.4C.2和4D.无解
【答案】C
【解析】【分析】根据抛物线的对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
【详解】解：∵二次函数y＝x2＋bx−5的对称轴为：直线x＝2，∴＝2，解得：b＝−4，
则x2＋bx−5＝2x−13可化为：x2−4x−5＝2x−13，解得：x1＝2，x2＝4．故选C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像，一元二次方程等知识，利用抛物线的对称轴求得b的值是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，6个小题，共18分）
11.若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为_____________．
【答案】1
【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点，代数式求值．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
由题意知，，即，然后代入求值即可．
【详解】解：由题意知，，即， ∴，故答案为：1
12.投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．
根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为______（结果精确到0.1）．
【答案】0.5
【解析】【分析】根据表格数据得出游戏参与者投中的频率趋近于0.50，即可估计出其概率约为0.50．
【详解】解：由频率分布表可知，随着投中次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.50附近，
∴估计这组游戏参与者投中的概率约为0.5故答案为：0.5．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
13.圆锥的侧面积为，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为________．
【答案】4
【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设底面半径为，则底面周长，圆锥的侧面积，∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆锥的底面半径，利用圆锥侧面积公式求解是解题的关键．
14.如果两个相似多边形的面积比是，那么这两个相似多边形的相似比是________．
【答案】
【解析】【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵两个相似多边形的面积比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比1：2，故答案为1：2．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
15.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于______．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可．
【详解】解：∵等边三角形的边长为3，，
∴，∴该“莱洛三角形”的周长，故答案为：．
16.在平面直角坐标系中，我们把对称轴相同的抛物线叫做“同轴抛物线”．已知抛物线与的顶点分别是、，且它们是同轴抛物线，如果点在点的下方，，那么点的坐标是______．
【答案】或
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出两个抛物线的对称轴，再由同轴抛物线的定义推出，再分别求出M、N的坐标，再由，建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与是同轴抛物线，∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∵点在点的下方，，∴，∴，
∴，解得，
∴点M的坐标为或故答案为：或．
三、解答题（9个小题，共72分）
17.计算：．
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值，实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式．
18.已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为、．

（1）在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出；
（2）在（1）的条件下，点的坐标为______；与的面积比为______．
【答案】（1）图见详解； （2），；
【解析】【分析】本题考查作位似图以及位似图形的性质，掌握相似图形面积比等于相似比的平方是关键．
（1）延长，扩大两倍找到，即可得到答案；
（2）根据放大为原来的2倍得到求解，即可得到答案；
【小问1详解】解：延长，，使得，，连接如图所示，
；
【小问2详解】解：由图形可得，，∵放大为原来的2倍得到，∴，∴，故答案为：；．
19.国庆假期小明随父母去某景区度假，景区中一高塔吸引了他的注意.小明想知道它的高度于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是，向前走了15米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮他求出这座高塔的高度（参考数据：，，）
【答案】这座高塔的高度为米．
【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题．证明四边形均为矩形．在和中，根据三角函数的定义列式计算即可解答．
【详解】解：由题意得，，
则四边形均矩形．所以米，米，
在中，，则．设米，
在中，，则，即，解得：，
所以米，则（米）．答：这座高塔的高度为米．
20.如图，在中，，为边上的中线，于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据，为边上的中线，得到，结合得到，即可得到证明；
（2）根据，为边上的中线，得到，，利用勾股定理求出，结合三角形相似得到，最后利用正切的定义求解即可得到答案；
【小问1详解】证明：∵，为边上的中线，∴，又∵，
∴．又，∴；
【小问2详解】解：∵，为边上的中线，∴，，
在中，，∵，∴，
∴；
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形相似的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是根据等腰三角形底边上的三线合一得到相似的条件．
21.为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，圆心角β＝ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
【答案】（1）50，144； （2）见解析 （3）480 （4）
【解析】【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
（3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】（1）本次调查的样本容量是：10÷20%=50，则圆心角β=360×= 144°，故答案为：50，144；
【小问2详解】成绩优秀的人数为：50-2-10-20=18(人)，补全条形统计图如下：
【小问3详解】
1200×（人）答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
【小问4详解】画树状图如下，
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为
【点睛】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别与，，相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，且，求．
【答案】（1）见详解； （2）．
【解析】【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识点．
（1）先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，接着根据线段垂直平分线的性质得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）利用菱形对角线求出菱形面积和边长，再根据求出即可．
【小问1详解】证明：四边形为平行四边形，∴，，
垂直平分，，，，，
在和中
，
，，四边形为平行四边形，
垂直平分，四边形是菱形；
小问2详解】
解：如图，作垂足为，
，，四边形是菱形，，，，
，，
，在中，，，．
23.如图，在平面直角坐标系中，经过原点，点与点，点在轴负半轴上，连接，且．
（1）求的半径；
（2）求证：直线为的切线；
（3）求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号）．
【答案】（1）2 （2）见解析 （3）
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出，证出为的直径，则可得出答案；
（2）由切线的判定可得出结论；
（3）连接，求出为等边三角形，由扇形的面积公式及三角形面积公式可得出答案．
【小问1详解】∵经过，点与点，且，为直径，
∵点与点，∴，，∴，∴的半径为：；
【小问2详解】∵，∴，∴，
∴，∵为直径，∴为切线；
【小问3详解】如图，连接，
∵，∴为等边三角形，∴，∴，
∵，，∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，坐标与图形的性质，扇形面积的求解，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直径所对圆周角为直角，熟练掌握各个性质定理是解题关键．
24.约定：三角形的一条中线将三角形分成两个小三角形，如果其中的一个小三角形与原三角形相似，那么称原三角形为“华益三角”，这条中线叫做原三角形的“华益中线”，这条中线所在的边叫做“华益边”，原三角形与小三角形的相似比叫做“华益比”．
（1）如图1，已知是边上的中线，若，那么就是“华益三角”，中线是的“华益中线”，边就是的“华益边”．爱思考的你们一定能发现：“华益三角”的“华益比”总是一个定值，以图1为例，求出“华益比”；
（2）如图2，已知在中，，求证：是“华益三角”；
（3）如图3，已知是“华益三角”，边是的“华益边”，的外接圆的半径是2．
①若是一个锐角，求的值；
②记，若，求的值．
【答案】（1）“华益比”为； （2）见解析 （3）①；②
【解析】【分析】（1）设，即，设，根据相似三角形的性质得出，即可求解；
（2）过点作于点，取的中点，连接，解直角三角形求得，，进而证明，且相似比为，即可得证；
（3）①连接，过点作于点，根据圆周角定理得出，根据垂径定理以及等腰三角形的性质，得出，，进而根据，即可求解；
②取中点，连接，过点作于点，根据题意得出，则，，由，得出，，在在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】如图，

∵为的中线，
∴，设，即，设，
∵∴∴∴∴（负值舍去）即“华益比”为；
【小问2详解】解：如图所示，过点作于点，取的中点，连接，
∵∴，则，
∴
∵∴，又
∴，且相似比为，∴是“华益三角”；
【小问3详解】解：如图所示，连接，过点作于点，
∵∴又∵∴，，
∴∴；
②如图所示，取的中点，连接，过点作于点，
∵是“华益三角”，边是的“华益边”，
∴，，
∵，，则，
∴，，
∵∴
∴，则，
在中，∴
解得：或（舍去）
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25.在平面直角坐标系中，如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，点是正半轴上一点，满足，点是直线上的两个动点．
（1）求的值并直接写出经过三点的抛物线的解折式；
（2）如图2，当点在线段上的运动时，若满足，且两点均在反比例函数的图象上，求的值；
（3）已知抛物线满足以下3个条件：①经过两点，②线段，③该抛物线与直线有且只有一个交点．求二次项系数的值．
【答案】（1） （2） （3）或
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，则，设，则，得出,进而得出，根据两点均在反比例函数的图象上，列出方程，解方程，即可求解；
（3）过点分别作轴的垂线，垂足交于点，得出，设的横坐标分别为，根据三个条件得出①；②；③，联立求得，或即可求解．
【小问1详解】解：∵直线交轴于点，交轴于点，
当时，∴,∵∴∴，即
∵即又∵
∴ ∴ ∴
∴ ∴，则
设抛物线解析式为，将代入得解得：
∴抛物线解析式为
【小问2详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∴
∵，∴，则，
设直线的解析式为，将点代入得，，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，∴∴，
设，则则，
∴∴,
∴，则，
∴，则
∵两点均在反比例函数的图象上，
∴
即
解得：或或（重合，舍去）
∴或∴
【小问3详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足交于点，
∴， ∴ ∴ ∴ ∴
∵，则 ∴，
设的横坐标分别为，则
∵经过两点，
∴是方程的两个根，即
∴
∴即①
又该抛物线与直线有且只有一个交点．∴，②
∵过点
∴解得：
∴
∴
消去得，
即
∴③
联立①②③，解得：或
∴或．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，二次函数综合运用，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
投壶次数n
50
100
150
200
250
300
400
500
投中次数m
28
46
72
104
125
153
200
250
投中频率
0.56
0.46
0.48
0.52
0.50
0.51
0.50
0.50