广东省六校2025届高三上学期12月第三次联考数学试卷(含答案)

这是一份广东省六校2025届高三上学期12月第三次联考数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．命题：“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
3．已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，若，则( )
A.B.
C.D.
4．将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，则在下列区间中，函数单调递减的是( )
A.B.C.D.
5．已知，且，则的最小值为( )
A.4B.C.6D.8
6．将曲线（为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则( )
A.eB.C.D.
7．如图，在已知正方体.中，N是棱上的点，且平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为( )
A.B.C.D.
8．已知函数，若有两个零点，则的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在复平面内，复数，对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是( )
A.
B.
C.若，则
D.若，则
10．已知等差数列的首项为，公差为d，前项和为，若，则下列说法正确的是( )
A.当，最大
B.使得成立的最小自然数
C.
D.中最小项为
11．如图，在直三棱柱中，，，Q是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.直线与所成角的正切值的最小值是
C.在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
D.的最小值为
三、填空题
12．已知向量，，若与垂直，则等于__________.
13．已知数列的前项和为，，则数列的前项和__________.
14．若存在a，b，（a，b，c互不相等），满足，则的取值范围为__________.
四、解答题
15．在中，角A，B，C对应的三边分别是a，b，c且
(1)求角的值;
(2)若，，求的面积.
16．已知椭圆C的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)已知直线l与椭圆C交于M、N两点，且，求面积的取值范围.
17．如图所示，已知四棱锥中，，.
(1)求证:平面；
(2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.
18．已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若是的两个极值点，证明：.
19．给定正整数，设数列，是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫作数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，，例如数列：，，，则，，，，，
(1)若，，，求和；
(2)求证:，；
(3)求的最值.
参考答案
1．答案：D
解析：，
，
所以.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为命题：“，”的否定是：“，”.
故选：B
3．答案：B
解析：在中，取为基底，
则，
因为点D，E分别为，的中点，,
所以，
所以
故选：B.
4．答案：C
解析：由题意，
对于A，由，得，
所以函数在上单调递增，故A不符；
对于B，由，得，
所以函数在上不单调，故B不符；
对于C，由，得，
所以函数在上单调递减，故C符合；
对于D，由，得，
所以函数在上不单调，故D不符.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为，，且，
所以
当且仅当，
即时，取等号，
所以的最小值为8.
故选：D.
6．答案：C
解析：设直线与曲线相切，
设切点为，，
则有，
，
解得，所以，
所以切点为，
将曲线（为自然对数的底数）
绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，
则.
故选：C.
7．答案：A
解析：如图：取棱上的点M，使得，
连接，.不妨设正方体棱长为3.
则，所以点M，N，C，D共面，
平面就是平面.
平面把正方体分成两部分，
其中几何体为棱台，
其体积为：
.
又正方体的体积为：.
所以较大部分的体积为：.
所以：.
故选：A
8．答案：B
解析：
令，则，
所以或，
所以或，
所以或，
又因为，
所以，
所以
.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：设，，
则，，
对于A，当，时，，
则，故A错误；
对于B，，
，
所以，故B正确；
对于C，当，时，，
，
满足，
但，故C错误；
对于D，当，时，，
而，故D错误.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：因为，
所以，，
所以，所以，
所以.
所以，当时，最大.故A正确；
由，
，
所以使得成立的最小自然数，故B正确；
由，
且，
所以，
即，故C错误；
因为当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以.
且，，
所以中最小项为，故D正确.
故选：ABD
11．答案：ABD
解析：对于A选项，如下图所示，连接交于点E，连接，
因为四边形为平行四边形，则E为的中点，
又因为Q为的中点，则，
因为平面，平面，
则平面，
因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B选项，因为平面，，
以点C为坐标原点，、、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
由，
则、、、、，
设，
其中，
则，
设直线与所成角为，
所以，
当时，取最大值，
此时，取最小值，取最大值，
此时，，
，
所以，直线与所成角的正切值的最小值是，故B正确；
对于C选项，因为，，
则，
的内切圆半径为
由于直径，
所以在这个直三棱柱内部可以放入一个最大半径为的球，
而表面积为的球，其半径为：，
因为，
所以这个直三棱柱内部不可以放入半径为的球，故C错误；
对于D选项，点关于平面的对称点为，则，
，，
所以，，
则，
因为平面，，
则平面，
因为平面，则，
将平面和平面延展为一个平面，如下图所示：
在中，，，，
由余弦定理可得
，
当且仅当，P，E三点共线时，取最小值，
故的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：2
解析：由题意得，
因为与垂直，
所以，
即，解得，
所以.
故答案为：2.
13．答案：
解析：由，
当时，，所以，
当时，，
即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：存在（a，b，c互不相等），
满足，
则，
不妨设，且是相邻最值点.
当，，时，
则，
解得，
由，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
当，，时，
则，
解得，
由，解得，
当时，，
当时，，
所以，
综上所述，.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)15
解析：(1)根据题意由正弦定理可得，
整理可得，
即，
所以
可得，
又，所以，
又，因此；
(2)由(1)得
由可得，
解得或，
当时，，
又，所以两角均为钝角，不合题意，
因此，，
又，
可得，同理，
由正弦定理可得，
可得，，
因此的面积为.
16．答案：(1)；.
(2)
解析：(1)设椭圆标准方程为：，
由题意：，
所以椭圆C的标准方程为：.
椭圆C的离心率为：.
(2)如图：
若直线的斜率不存在，则可取，
因为，可取，
此时.
若直线的斜率为0，同理可得.
当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
由，得，
则，
用代替k，得，
则.
所以
.
设，
则
.
因为，所以，，
所以，
所以.
综上，
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)设，连接，
因为，，
所以，
所以，，
又，，
则，点Q为的中点，
又，所以，
又，且，
所以，
又，平面，平面，
所以平面；
(2)由(1)可知，平面，平面，
所以平面平面，
取的中点为O，连接，则，
平面平面，平面，
所以平面，
过点O作，垂足为H，连接，
则，所以为二面角的平面角，
因为四棱锥的体积为
，
当且仅当，即体积最大，
此时，
在中，，
所以，
所以二面角的正弦值为.
18．答案：(1)极小值为，无极大值.
(2)答案见解析
(3)证明见解析
解析：(1)当时，，定义域为，
∴，
由得，由得，
∴在上为减函数，在上为增函数，
∴当时，有极小值，极小值为，无极大值.
(2)由题意得，，
①当时，，
方程的判别式，
解方程得，
其中，
由得，或，由得，，
∵，∴在上为减函数，
在为增函数.
②当时，，由得，，
由得，，
∴在上为减函数，在为增函数.
③当时，，方程的判别式，
当，即时，恒成立，
，在上为减函数.
当，即时，
方程有两个不相等的实数根，
，
且，由得，，
由得，或
∵，∴在上为增函数，
在，上为增函数.
综上得，当时，在上为减函数，
在为增函数；
当时，在上为减函数，在为增函数；
当时，在上为增函数，
在，为增函数；
当时，在上为减函数.
(3)由题意得，是方程的两根，
∵是的两个极值点，
∴由(2)得，且，，
∵
∴要证，
只需证，
只需证.
令，则需证，
设，
则
∴函数在上单调递减，
∴，故，
由得，，故，
∴.
19．答案：(1)，，
(2)证明见解析
(3)当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是
解析：(1)以为首项的最长递增子列是，，所以，
因为后面的项都比小，所以，
以为首项的最长递增子列是，，所以，
因为后面没有项，所以，
因为后面的项都比大，所以，
以为首项的最长递减子列是，和，，所以，
因为后面的项都比大，所以，
因为后面没有项，所以，
所以，
所以，，；
(2)对，由于是的一个排列，故，
若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，
得到一个以为首项的更长的递增子列，所以，
而每个以为首项的递减子列都不包含，且，
故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，
所以，
这意味着；
若，同理有，，
故，
总之有，
从而和不能同时为零，
故；
(3)根据小问2的证明过程知和不能同时为零，
故，
情况一：当为偶数时，设，
则一方面有；
另一方面，考虑这样一个数列：，，
则对，有，，
故此时，
结合以上两方面，知的最小值是；
情况二：当为奇数时，设，
则一方面有；
另一方面，考虑这样一个数列：，，
则对，有，，
故此时，
结合以上两方面，知的最小值是，
综上，当为偶数时，的最小值是；
当为奇数时，的最小值是.