四川省仁寿县铧强中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省仁寿县铧强中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．经过、两点的直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．设，为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则的周长是( )
A.8B.16C.D.
3．设等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则( )
A.7B.12C.15D.31
4．已知抛物线经过点，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则( )
A.2B.C.4D.
5．设，则“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点C到平面的距离为( )
A.B.C.D.
7．已知F为椭圆的右焦点,P为C上的动点,过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,若等于的最小值的3倍,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知点是直线()上的动点，过点P作圆的切线，A为切点，若最小为2时，圆与圆C外切，且与直线l相切，则m的值为( )
A.B.C.4D.
9．已知曲线,,则( )
A.的长轴长为4
B.的渐近线方程为
C.与的焦点坐标相同
D.与的离心率互为倒数
二、多项选择题
10．如图,在直三棱柱中,,,则( )
A.平面
B.平面平面
C.异面直线AC与所成的角的余弦值为
D.点,A,B,C均在半径为的球面上
11．已知等差数列的前n项和为,若,,则下列结论错误的是( )
A.数列是递增数列B.
C.当取得最大值时,D.
三、填空题
12．两条直线和的距离为________.
13．已知，分别是平面，的法向量，若，则________.
14．双曲线的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与以为直径的圆交于点M（异于点O），与过F且垂直于x轴的直线交于N，若，则双曲线C的离心率为______.
四、解答题
15．已知的顶点坐标为，，.
(1)求边上的高的长.
(2)求的面积.
16．已知数列是等差数列,是各项均为正数的等比数列,数列的前n项和为,且,,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)令,求数列的前12项和.
17．已知直线经过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点.
（1）求C的方程；
（2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程.
18．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱上.
（1）证明：平面平面；
（2）当时，证明面
（3）当时，求二面角的余弦值.
19．已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数．
（1）求动点M的轨迹方程,并说明轨迹即曲线C的形状．
（2）过作两直线与抛物线相切,且分别与曲线C交于P,Q两点,直线,的斜率分别为,．
①求证：为定值;
②试问直线是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由．
参考答案
1．答案：B
解析：设直线的倾斜角为,则,
故,故.
故选:B.
2．答案：B
解析：椭圆的长轴长，
由椭圆的定义可知，，
则的周长为，
故选：B.
3．答案：C
解析：设公比为,
,,成等差数列,,则,
解得:或0(舍去),,,故.
故选:C.
4．答案：D
解析：点M到抛物线焦点的距高为3,
,解得.
抛物线的方程为,
将点M的坐标代入方程中,可得,
则.
5．答案：A
解析：直线与直线平行的充要条件为,整理得,
解得或,故当或时,两直线平行;
故""是"直线与直线平行"的充分不必要条件.
故选:A.
6．答案：C
解析：以D为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，.
设为平面的法向量，，
由，得，
令，，
所以.
又，
点C到平面的距离.
故选：C.
7．答案：B
解析：F为椭圆的右焦点,P为C上的动点,
由椭圆的性质,可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,.
等于的最小值的3倍,.
椭圆中,,即,则.
,,解得或（舍）.
故选：B.
8．答案：B
解析：易知,当与直线l垂直时,切线长最短,
而圆,圆心,半径,由,
则.
所以,解得.
故此时直线l的方程为:.
又圆,圆心,半径,
由圆M,圆C外切可得,化简得,故.
圆M与直线l相切,所以,
即,解得或(舍)。
故选:B.
9．答案：BD
解析：曲线整理得,则曲线是焦点在y轴上的椭圆,其中,
所以,离心率为,故曲线的长轴长,故A不正确;
曲线是焦点在x轴上的双曲线,其中,,所以,
离心率为,故与曲线的焦点位置不同,故C不正确;
的渐近线方程为,故B正确;
又,所以与的离心率互为倒数,故D正确.
故选：BD.
10．答案：ABC
解析：,平面,平面,平面,所以A选项正确;
取AB的中点O,连接CO,则,以O为坐标原点,OC,OB所在直线分别为x,y轴,
过点O且平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系．
,则,
则,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,令,则,
设平面的法向量为,则
,令,则,
,所以平面平面,所以B选项正确;
则,故异面直线AC与所成角的余弦值为,所以C选项正确;
在直三棱柱中,,,,,三棱柱可以放入边长为1的正方体中,
正方体的外接球是三棱柱的外接球,点,A,B,C均在半径为的球面上, 所以D选项错误．
故选：ABC．
11．答案：ABC
解析：等差数列的前n项和为,
,所以,
,所以,所以且,
所以等差数列是递减数列,且当时,取得最大值.
故D正确,ABC错误.
故选:ABC.
12．答案：
解析：由平行线间的距离公式可得它们的距离
故答案为:.
13．答案：
解析：因为,分别是平面，的法向量,且,所以,即,解得.
14．答案：
解析：不妨设双曲线的一条渐近线方程为,
由题意知,又，,,
所以,若,则,即,
在中,由勾股定理可得
又,可得,所以,
化简可得,即,
所以,
故答案为:.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意，直线的方程为：，即.
故点C到直线的距离即为边上的高的长，
所以.
（2）因为，
所以的面积为：.
16．答案：(1),
(2)2796
解析：（1）设数列的公差为d,数列的公比为,
由题意可得,,即,
所以,
因为,所以,
所以,.
（2）由（1）可得,
所以的所有奇数项组成以1为首项,4为公差的等差数列;
所有偶数项组成以2为首项,4为公比的等比数列.
所以,
.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得，所以C的方程为.
（2）由（1）知，抛物线C的准线方程为，
设，，的中点为，
由消去y得，则，有，，即，
因此线段的中垂线方程为，即，
令，得，设所求圆的圆心为E，则，
又过C的焦点F，则有，
设所求圆的半径为r，则，
故所求圆的方程为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为底面，平面，
所以.
因为，，所以.
所以，所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解法一：
以点C为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
设点E的坐标为，
因为，所以，
即，，，所以.
所以，.
设平面的一个法向量为，则.
所以，取，则，.
所以平面的一个法向量为.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
解法二：
取的中点G，连接，以点C为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，则，，，.
设点E的坐标为，
因为，所以，
即，，，所以.
所以，.
设平面ACE的一个法向量为，则.
所以，取，则，.
所以，平面的一个法向量为.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，平面与平面夹角的余弦值为
19．答案：（1）
（2）①;②
解析：（1）由动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数,
因为,点到定直线的距离为,
根据题意,可得,整理得,
所以点M的轨迹方程为.
（2）①证明：设过点与抛物线相切的直线方程为,
其中,
联立方程组,整理得,
则,整理得,
由直线,的斜率分别为,,则,是方程的两个实数根,
可得,,则,
所以为定值.
②设直线的方程为,且,,
联立方程组,整理得,
可得,,
因为,可得,即,
化简可得,
即,所以,
所以或,
当时,可得,此时恒过定点与点A重合,舍去;
当时,可得,此时恒过定点,
综上所述,直线恒过定点.