高考数学一轮复习：1集合与常用逻辑用语-专题4练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：1集合与常用逻辑用语-专题4练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题04基本不等式解析版-学案docx、专题04基本不等式原卷版-学案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc136366173" 题型一： 直接利用基本不等式 PAGEREF _Tc136366173 \h 3
\l "_Tc136366174" 题型二： 拼凑法 PAGEREF _Tc136366174 \h 4
\l "_Tc136366175" 题型三： 常数代换 PAGEREF _Tc136366175 \h 6
\l "_Tc136366176" 题型四： 变量分离 PAGEREF _Tc136366176 \h 8
\l "_Tc136366177" 题型五： 消元法 PAGEREF _Tc136366177 \h 11
\l "_Tc136366178" 题型六： 和积转化 PAGEREF _Tc136366178 \h 12
\l "_Tc136366179" 题型七： 换元法 PAGEREF _Tc136366179 \h 14
\l "_Tc136366180" 题型八： 恒成立问题 PAGEREF _Tc136366180 \h 16
\l "_Tc136366181" 题型九： 应用题 PAGEREF _Tc136366181 \h 18
知识点总结
基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
算术平均数与几何平均数
给定两个正数a，b，数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均数；数eq \r(ab)称为a，b的几何平均数．基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0.
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是2eq \r(P)(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是eq \f(S2,4)(简记：和定积最大)．
【常用结论与注意点】
1.常用的几个结论
(1)若x≠0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立．
(2)若ab≠0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立．
(3)若ab>0，x≠0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(b,x)))≥2eq \r(ab)，当且仅当x＝±eq \r(\f(b,a))时，等号成立．
(4)若a>0，b>0，则eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时，等号成立．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2.利用基本不等式求最值的两个常用结论
(1)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则有eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝(ax＋by)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝a＋b＋eq \f(by,x)＋eq \f(ax,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，则有x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq \f(ay,x)＋eq \f(bx,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
例题精讲
直接利用基本不等式
【要点讲解】利用基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)进行求解
的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：由已知函数，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，
当时，函数有最小值是4，
故选：．
函数的最小值为
A．10B．15C．20D．25
【解答】解：由题意，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值为20，
故选：．
已知，则的最小值为
A．B．2C．D．4
【解答】解：由，，
当且仅当，即时，取得等号，
故的最小值为，
故选：．
拼凑法
【要点讲解】拼凑法是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项、变系数、凑因式等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用不等式求得最值,拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.
已知，那么函数的最小值是
A．5B．6C．4D．8
【解答】解：已知，则，
函数，
当且仅当时“”成立，
故函数的最小值是6，
故选：．
若，则的最小值为
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：因为，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：．
已知函数，
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值3D．有最大值3
【解答】解：，，
，当，即时，取等号，
有最小值3．
故选：．
设实数满足，函数的最小值为
A．B．C．D．6
【解答】解：，，
，当且仅当，即时等号成立，
函数的最小值为．
故选：．
已知，的最大值是 1 ．
【解答】解：由，可得
，
当且仅当，即时，取得最大值1．
故答案为：1．
常数代换
【要点讲解】注常数代换法就是将已知条件中的等式右边化为1,将所求式子乘以1,1再换成前面的等式即可,此法通常适合条件和所求的式子分别为整式和分式时,把所求的式子常构造成的形式.
已知实数，，，则的最小值为
A．100B．300C．800D．400
【解答】解：根据题意，，
当且仅当，即时等号成立，
故选：．
已知，，且，则的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：由，，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即的最大值为．
故选：．
若正数，满足，则的最小值是
A．1B．C．9D．16
【解答】解：正数，满足，
当且仅当即且时取等号．
故选：．
已知，，且，则的最小值为 ．
【解答】解：因为，，且，
则，当且仅当且，即，时取等号，
故答案为：．
若正实数，满足，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为正实数，满足，
所以，
所以，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
若正数，满足，则的最小值是 5 ．
【解答】解：，，，
，
，
当且仅当即时取等号，
故答案为：5．
正实数，满足，则的最小值为 ．
【解答】解：，，，
，
（当且仅当时取等号），
即的最小值为．
故答案为：．
已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【解答】解：，，
，，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
变量分离
【要点讲解】变量分离法就是把分式形式的函数分离出两项的和且其积是定值的形式,然后用基本不等式求最值.通常适合函数的模型是或
若，，，则的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，，
则，当且仅当时等号成立，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为，
故选：．
已知，则的最小值为 ．
【解答】解：因为，
所以，，，
所以，，
则，
当且仅当且，时取等号，此时的最小值．
故答案为：．
若，，，则的最小值为 8 ．
【解答】解：，，，
则，
当且仅当且时，取得最小值8，
故答案为：8．
已知，，，则的最小值为
A．B．12C．D．16
【解答】解：由可得，
．
当且仅当时，等号成立，即．
所以的最小值为，
故选：．
已知正实数，满足，且，则的最小值为 ．
【解答】解：正实数，满足，且，
可得，解得，
则，
由
，
当且仅当时，取得等号，
则的最小值为，
故答案为：．
已知，，则的最小值为 4 ．
【解答】解：，，
则，（当且仅当即时取等号），
，当且仅当即时取等号，
故，当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值4．
故答案为：4
消元法
【要点讲解】消元法就是将两个变元消去一个代入所求式,然后利用分离常数法求最值
已知，，且，则的最小值为 ．
【解答】解：，，且，
，，
，当且仅当时取“ “，
故答案为：．
若，，，则的最小值为 ．
【解答】解：，，，
则，当且仅当，时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
已知，，满足，则的最小值是 ．
【解答】解：因为，，
则由可得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值为，
故答案为：．
设，，若，则的最小值是 ．
【解答】解：，，若，
，
，
当且仅当，又，即，时等号成立，
故答案为：．
和积转化
【要点讲解】和积转化法仅适用于将已知等式中的和或积通过基本不等式转化为所求式子中的和或积,然后解不等式以达到目的,此方法虽然没凑出定值,但凑出所求式子是其根本思想
已知，，，则的最小值是
A．3B．4C．D．
【解答】解：考察基本不等式，
整理得
即，又，
所以
故选：．
若实数，满足，则的最大值是 ．
【解答】解：
，整理求得
的最大值是
故答案为：
若实数，满足：，，，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：因为，，，
所以，当且仅当，即时，取等号，
则，即
可得，则，
故选：．
已知，，，则的最小值为 6 ．
【解答】解：由于，，，
则，
，
当且仅当时，取“”
则此时，
由于，，解得，
故
故答案为6．
已知，，，则的最小值为 4 ．
【解答】解：考察基本不等式（当且仅当时取等号）
整理得
即，又，
所以（当且仅当时即，时取等号）
则的最小值是4．
故答案为：4．
已知正实数，满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【解答】解：，，
，
（当且仅当，即时，等号成立），
故的最小值为，
，
（当且仅当，即，时，等号成立），
，即，
解得，或（舍去），
故的最大值为，
故答案为：，．
换元法
【要点讲解】换元法实质是把复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、高次问题低次化
已知实数，满足，则的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
则，
当且仅当时取等号，此时的最大值为．
故选：．
已知，都是正数，则的最小值是 2 ．
【解答】解：设，，
则，，，，
则，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：2．
设正实数，满足，，则的最小值为 8 ．
【解答】解：由基本不等式可得
．
当且仅当时，等号成立，
故答案为：8．
已知实数，，，则的最小值是 ．
【解答】解：，
，且，，
，当且仅当，即时取等号，
的最小值是．
故答案为：．
函数的最小值是 ．
【解答】解：函数
．
当且仅当，即有，取得等号．
则函数的最小值为．
故答案为：．
恒成立问题
【要点讲解】大于最大，小于最小
若不等式对恒成立，则实数的最大值为
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：根据题意，，则，
则，
当且仅当时等号成立，
则的最小值为9，
若不等式对恒成立，即式恒成立，必有恒成立，
故实数的最大值为9；
故选：．
已知，，若不等式恒成立，则的最大值为
A．9B．12C．16D．10
【解答】解：由已知，，不等式恒成立，所以
恒成立，转化成求的最小值，
，所以．
故选：．
已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：因为，，正数；
，
因为不等式恒成立，
所以，
即，
解得，
所以．
故选：．
若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为两个正实数，满足，
所以，当且仅当且，即，时取等号，
所以，
因为不等式恒成立，
所以，
解得．
故答案为：，．
已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，
，
．
，，
（当且仅当，即时取等号），
．
故选：．
应用题
某城市有一直角梯形绿地，其中，，．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；
（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．
【解答】解：（1）因为，，，
所以，（2分）
取中点，则四边形的面积为，
即，
解得，（6分）
所以．
故灌溉水管的长度为．（8分）
（2）设，，在中，，
所以在中，，
所以，
所以的面积为，
又，所以，即．（12分）
在中，由余弦定理，得，
当且仅当时，取“”．
故灌溉水管的最短长度为．（16分）
如图，某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树，已知角为，，的长度均大于200米，现在边界，处建围墙，在处围竹篱笆．
（1）若围墙，总长度为200米，如何围可使得三角形地块的面积最大？
（2）已知段围墙高1米，段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
【解答】解：设米，米，则
（1），的面积，
当且仅当时取等号；
（2）由题意得，即，
要使竹篱笆用料最省，只需最短，所以
所以时，有最小值，此时．
课后练习
一．选择题（共8小题）
1．（2023•民勤县校级开学）函数的最小值为
A．6B．4C．2D．3
【解答】解：因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：．
2．（2023春•高坪区校级期中）已知正数，满足，则的最小值为
A．B．2C．D．6
【解答】解：因为正数，满足，即，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
3．（2023•永定区校级开学）已知，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：，，
，当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为5．
故选：．
4．（2022秋•深圳校级期末）若，，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，，
因为，
当且仅当时取等号，
所以，
所以．
故选：．
5．（2022秋•滨州期末）已知，，且，则的最小值为
A．6B．4C．2D．1
【解答】解：因为，，且，
则，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4．
故选：．
6．（2023•浙江模拟）已知，则的最小值为
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：因为，
所以由，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：．
7．（2023春•鼓楼区校级期中）实数，满足，，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：因为，
所以，，
所以，当且仅当时取等号．
故选：．
8．（2022秋•吉水县校级期末）已知：，，，则下列说法正确的是
A．有最大值1B．有最小值1
C．有最大值4D．有最小值4
【解答】解：因为，，，所以有，当且仅当时取等号，因此正确，错误；
因为，，，
所以有，
当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，不正确，
当时，显然有，不正确，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．（2022秋•上城区校级期末）下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则恒成立
C．若正数，满足，则有最小值
D．若实数，满足，则没有最大值
【解答】解：对于，时，，所以选项错误；
对于，时，，所以恒成立，选项正确；
对于，因为正数，满足，且，当且仅当时取“”，
所以，解得，所以，所以有最小值，选项正确；
对于，因为，所以，，解得，，
所以，，，
所以，，有最大值，选项错误．
故选：．
10．（2022秋•聊城期末）下列说法正确的是
A．已知，则的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．已知，，，，则的取值范围是，
D．已知，，，则的最小值为8
【解答】解：，则，当且仅当时取等号，正确；
当时，，，
在，上单调递减，时取得最小值5，错误；
，，，当且仅当时取等号，
解得，正确；
，，，当且仅当且，即，时取等号，
解得，
则的最小值为8，正确．
故选：．
11．（2022秋•官渡区期末）已知，，且，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
【解答】解：项中，，为负数，不成立；
项中，，则，项正确；
项中，，则，当且仅当时取等号；
项中，，为负数，例如，，不成立；
故选：．
12．（2023•南京二模）若实数，满足，则
A．B．C．D．
【解答】解：对选项，故，正确；
对选项，正确；
对选项：取，，满足，此时 不成立，错误；
对选项：取，，满足，此时，错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．（2023•凯里市校级三模）正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 ．
【解答】解：因为不等式恒成立，所以，
由，，可得，
当且仅当且，即，时等号成立，
所以，解得．
所以的取值范围为．
故答案为：．
14．（2023•黄浦区模拟）若关于x的不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集为R，则的最小值为 8 ．
【解答】解：因为不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集为R，
则，
因为b＞1，所以b﹣1＞0，
所以＝．
当且仅当，即b＝3时，取到等号．
故答案为：8．
15．（2023•崇明区二模）已知正实数、满足，则的最小值等于 4 ．
【解答】解：，当，即，时等号成立，
故的最小值为4．
故答案为：4．
16．（2022秋•成都期末）已知实数，满足，则的最小值为 ．
【解答】解：因为，时取等号，
则，得，
可得，
即得最小值为，
故答案为：．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋•定州市期中）已知正实数，满足．求
（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）的最小值．
【解答】解：（1）因为，是正数，，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为；
（2）由可得，即，
所以，，
又，因为，，
所以
当且仅当，时等号成立，故的最小值为25．
（3）由可得，所以，
所以，，
所以
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为．
18．（2022秋•川汇区校级期末）（1）已知，求取得最大值时的值？
（2）已知，求的最大值？
（3）函数的最小值为多少？
【解答】解：（1）因为，
所以，
当且仅当，即时取等号；
（2）因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时的最大值1；
（3）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时函数取得最小值．