广东省东莞市重点高中2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题含答案

这是一份广东省东莞市重点高中2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题含答案，共18页。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，知两集合中的元素是点，进而求出公共点，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】因为，，
由，解得，所以，
故选：B
2. 是有理数集，是实数集，命题，，则（ ）
A. 是真命题，，
B. 是真命题，，
C. 是假命题，，
D. 是假命题，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据特值可判断命题的真假，再结合命题的否定的概念可得.
【详解】命题，，
由，，则命题为假命题，
且命题的否定为，，
故选：C.
3. “方程有实根”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由得到有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案.
【详解】有实数根，故，
解得或，
由于是的真子集，
故“方程有实根”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】由题意得，解得且且，
故定义域为.
故选：D
5. 函数在上的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由反比例函数的性质判断的单调性即可得出答案.
【详解】因为在上单调递减，
所以当时取最小值为.
故选：B．
6. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解.
【详解】因为是减函数，所以，
因为在上单调递增，又，所以，
又是增函数，所以，则，
故选：A.
7. 若在上是减函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式组，解不等式即可.
【详解】由已知函数在上单调递减，
当时，单调递减，则，
当时，单调递减，则，即，
又结合分段函数可知，综上所述.
故选：D.
8. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用乘1法即得.
【详解】∵，
∴
，
当且仅当,即，时，取等号.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，若，时，推不出，所以选项A错误，
对于选项B，由，得到，又，所以，即，
所以可以推出，由选项A知推不出，所以是充分不必要条件，故选项B正确，
对于选项C，易知可以推出，取，显然满足，
但不满足，即推不出，所以是的充分不必要条件，故选项C正确，
对于选项D，由选项C知，推不出，所以选项D错误，
故选：BC.
10. 下列与函数有关的命题中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若幂函数的图象经过点，则
C. 若奇函数在有最小值，则在有最大值
D. 若偶函数在是减函数，则在是增函数
【答案】CD
【解析】
【分析】利用换元法和待定系数法分别求得AB选项函数解析式，进而可得函数值，再根据函数奇偶性可判断CD选项.
【详解】A选项：，设，
则，，
即，，A选项错误；
B选项：设幂函数，过点，则，
解得，所以，则，B选项错误；
C选项：由已知为奇函数，则f-x=-fx，
在0,+∞有最小值，即，，
则时，，即，
即在有最大值，C选项正确；
D选项：由已知为偶函数，
又在0,+∞是减函数，设，，，
则，，，故， 故
即在是增函数，D选项正确；
故选：CD.
11. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ）
A. 当时，，当且仅当取等，解得或，又由，所以，故时，的最大值是.
B. 当时，，当且仅当取取等，解得或，又由，所以，故时，的最小值为.
C. 由于，当且仅当取等，故的最小值是.
D. 当，且时，由于，，又，当且仅当，取等，故当，且时，的最小值为.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式的应用条件“一正，二定，三取等”分别判断各选项.
【详解】A选项：满足基本不等式的应用条件，正确；
B选项：不满足基本不等式的应用条件中的定值，错误；
正确的为当时，，
当且仅当时取等，解得或，
又，所以，故当时，的最小值为；
C选项：不满足基本不等式的应用条件中的取等，错误；
正确的为，设，则，
又函数在上单调递增，
所以当即时，取最小值为，
即的最小值为；
D选项：选项中运用两次基本不等式，且两次的取等条件不一致，所以错误；
正确的为：当，且时，，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为，
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的定义直接计算函数值.
【详解】由已知，则，
所以，且，所以，
故答案为：.
13. 函数的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可求解.
【详解】由题意可得，即，解得：，
所以函数的定义域是，
是由和 复合而成，
因为对称轴为，开口向下，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
而单调递增，
所以的单调递增区间是，
故答案：.
14. 表示与中的较大者，设，则函数的最小值是______.
【答案】0
【解析】
【分析】画出的图象，数形结合得到hx的最小值.
【详解】令，解得或-1，
令，解得或-1，
画出的图象，如下：
显然hx的最小值为0.
故答案为：0
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 集合，.
（1）是实数集，若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，先求出集合，进而求得，利用集合的运算，即可求解；
（2）根据条件得，再利用一元二次不等式的解法，对进行分类讨论，求出集合，再利用集合间的关系，即可求解.
【小问1详解】
当时，，由，得到，
所以，得到或，
由，得到，所以，得到或,
所以或.
【小问2详解】
由，得到，又，
当时，，所以，得到，
当时，，满足，所以满足题意，
当时，，所以，得到，
综上，实数的取值范围为.
16. 已知函数
（1）用定义法证明函数在区间上是增函数；
（2）函数的定义域为，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；
（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解.
【小问1详解】
任取，且，
则，
又，，则，所以，
得到，即，所以函数在区间上是增函数.
【小问2详解】
因为函数的定义域为，且在区间上是增函数，
由，得到，解得或，
所以实数的取值范围为或.
17. 幂函数的定义域是全体实数.
（1）求的解析式；
（2）若不等式在区间0,4上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为1，故；
（2）在区间0,4上恒成立，当时，恒成立，当时，参变分离，得到在恒成立，由基本不等式求出，从而得到，得到答案.
【小问1详解】
由题意得，
解得a=2或，当时，，此时定义域不是全体实数，故舍去；
当a=2时，，满足题意；
【小问2详解】
在区间0,4上恒成立，
即在区间0,4上恒成立，
当时，恒成立，满足要求，
当时，变形为在恒成立，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
实数k的取值范围是.
18. 如图，是以为斜边的等腰直角三角形，且. 动直线与的边共有两个公共点，即，在内且位于直线右侧的区域面积为.
（1）求的解析式；
（2）设，证明：是奇函数.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数的解析式；
（2）由（1）中结果，结合条件得，再利用奇偶函数的判断方法，即可证明结果.
【小问1详解】
因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，得到，所以，
当时，，当时，，当时，，
所以.
【小问2详解】
因为，由（1）知，
所以，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，，
所以，故，又的定义域为，关于原点对称，
所以是奇函数.
19. 已知函数是上的奇函数，
（1）求实数的值；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，可得，再利用条件，可求得，即可求解；
（2）利用函数单调性定义得到在区间上单调递减，从而得到，令，将问题转化成求的值域，再利用二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
因为函数是上的奇函数，则，
又，，得到，所以，
此时有，所以，，满足题意，故实数，.
【小问2详解】
由（1）知，任取，
则，
因为，则，得到，
所以，即，所以在区间上单调递减，
所以时，，
令，由，
得到，对称轴为，
当时，在区间上单调递增，此时，，
当时，在区间上单调递减，此时，，
当时，，
①时，，
②是，，
综上，当时，函数的值域为，
当时，函数的值域为，
当时，函数值域为，
当时，函数的值域为.