浙江省宁波市重点高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
CCCB DBAD
二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.BC 10.ACD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13. （1） （2）11
14.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设命题实数x满足，其中，命题实数x满足．
（1）若，且p是真命题，求实数x取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由命题实数满足，其中，
当时，即命题，解得分
(2)命题实数满足，解得，
命题实数满足，解得．分
因为是的充分不必要条件，则满足，解得，
所以实数的取值范围为．分
16.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．
（1）求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
（2）写出（珍稀鸟类的个数）关于（经过的年数）的函数关系式；
（3）约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上？（结果为整数）(参考数据：，)
解:（1）依题意，
两年后这种鸟类的个数为分
（2）由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加，
则所求的函数关系式为，. 分
（3）令，得：两边取常用对数得：，分
即
考虑到，故，故
因为
所以 分
约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上. 分
17. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.
解：（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，
即，所以．又由，即，
所以，检验知，当，时，原函数是奇函数. 分
（2）在上单调递减.证明：由（1）知，
任取，设，则，
因为函数在上是增函数，且，所以，又，
所以，即，
所以函数在R上单调递减. 分
（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，分
因为在上是减函数，由上式推得，分
即对一切有恒成立，设，
令，
则有，，所以，
所以，即的取值范围为分
18.已知，函数.
（1）当时，求使成立的的集合；
（2）若在区间的最大值为2，求实数 的值;
（3）求函数在区间上的最小值.
（1） 分
（2）
(i)当 时，
，在区间的最大值 ，舍
，在区间的最大值 ，舍分
（ii）当 时，
在区间的最大值 ，成立分
（iii）时 ，此时在区间的最大
值 ，成立分
分
分
分
分
分
分
19. 已知函数 是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）若函数 的最小值为﹣3，求实数m的值；
（3）若关于x的方程有两根，求实数 k的取值范围.
解：（1）
，
而
∴2ax+2x＝0⇒a＝﹣1；分
（2），
∴，
故函数g（x）＝22x+2﹣2x+m（2x+2﹣x）的最小值为﹣3，
令2x+2﹣x＝t（t≥2），分
故h（t）＝t2+mt﹣2（t≥2）的最小值为﹣3，
则，或，分
解得；分
（3）由，
令，
故当x≥0时，函数f（x）单调递增，
由函数f（x）为偶函数，可知函数f（x）的增区间为[0，+∞），减区间为（﹣∞，0），
令n＝f（x）﹣1，有n≥f（0）﹣1＝lg22﹣1＝0，
方程[f（x）﹣1+k][f（x）﹣1﹣4k]+2k2+k＝0（记为方程①）可化为（n+k）（n﹣4k）+2k2+k＝0，
整理为n2﹣3kn﹣2k2+k＝0（记为方程②），分
Δ＝9k2﹣4（﹣2k2+k）＝17k2﹣4k，
（i ）当Δ＝0时，k＝0时，方程②的解为n＝0，可得方程①仅有一个解为x＝0；
时，方程②的解为，可得方程①有两个解；分
（ii）当Δ＞0时，可得或k＜0，
令n2﹣3kn﹣2k2+k，则 一正一负两根，
分
或k＜0或分
（若令 则 ，方法类似）