高考数学一轮复习：2基本初等函数-跟踪练5（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．函数且恒过定点，则点的坐标为
A．B．C．D．
【解答】解：当时，，
所以（1），所以．
故选：．
2．设，那么
A．B．C．D．
【解答】解：且在上是减函数．
指数函数在上是减函数
幂函数在上是增函数
故选：．
3．设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：，
而，
，
故选：．
4．已知，，，则代数式的值为
A．B．3C．6D．12
【解答】解：因为，，，
则．
故选：．
5．设，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
又，
，
故选：．
6．已知，将表示成分数指数幂，其结果是
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
7．，，则函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：因为，所以函数是减函数，图象过定点，在轴上方，过一、二象限，
因为，所以函数的图象由函数的图象向下平移个单位得到，且，
所以函数的图象与轴交于负半轴，
函数的图象过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：．
8．已知，，，则，，的大小顺序为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知，，
因为在上是单调递增，且，
所以，即，
由题意可知，，
因为在上是单调递增，且，
所以，即，
所以．
故选：．
9．下列结论中，正确的是
A．函数是指数函数
B．函数的值域是，
C．若，则
D．函数的图像必过定点
【解答】解：．形如的函数是指数函数，不是指数函数，错误；
．，，，函数的值域是，，正确；
时，由得出，错误；
．的图象过定点，错误．
故选：．
10．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克
A．5730B．11460C．17190D．22920
【解答】解：已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，
则碳14的半衰期为5730年，
则再经过5730年，质量从0.5克经过放射消耗到0.25克，再经过5730年，质量从0.25克经过放射消耗到0.125克，
即再经过11460年，质量可放射消耗到0.125克，
故选：．
11．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：构造函数，，
则，
当时，，在内单调递增，
当时，，在内单调递减，
（e），
（当且仅当时取等号），
，，，，，，
．
故选：．
12．函数的图象必经过点
A．B．C．D．
【解答】解：令，解得：，
则时，，
故函数过，
故选：．
13．函数且的图象过定点
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，因为且，
所以令，解得：，
所以（1），
所以函数且的图象过定点．
故选：．
14．化简，为正数）的结果是
A．B．C．D．
【解答】解：原式．
故选：．
15．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是
A．B．，
C．，，D．，
【解答】解：由于底数，所以函数的单调性与的单调性相同．
因为函数在上是减函数，
所以在上是减函数，所以，即，
从而实数的取值范围是，
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．函数且的图象一定不经过的点
A．B．C．D．
【解答】解：令可得，不符合题意，符合题意；
令可得（3），则显然不符合且；
令得（2），
故，即可能经过．
故选：．
17．下列结论中，正确的是
A．函数是指数函数
B．函数的值域是，
C．若，则
D．函数的图象必过定点
【解答】解：对于，根据指数函数的定义是，（其中且，是自变量，判断函数不是指数函数，选项错误；
对于，函数，当时，该函数的图象是抛物线，且开口向上，所以的值域是，，选项正确；
对于，时，指数函数单调递减，由得，所以选项错误；
对于，函数中，令，，（2），的图象必过定点，选项正确．
故选：．
18．下列各式中一定成立的有
A．B．
C．D．
【解答】解：对于：原式，故错误；
对于：原式，故正确；
对于：原式，故错误；
对于：原式，故正确；
故选：．
19．已知实数满足，下列选项中正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：因为，则，
所以，即，正确；
由于与的大小不确定，故可正可负，错误；
因为，
故，正确；
因为，错误．
故选：．
20．已知，，，则的值可能是
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，，则且，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
当时，，
当且仅当，即时取等号．
综上，．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．已知，则 4 ．
【解答】解：．
故答案为：4．
22．古代科举制度始于隋而成于唐，后不断发展，明清时达到鼎盛．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取．若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为 10 ．
【解答】解：因为，所以中卷录取人数为（人．
故答案为：10．
23． 3 ．
【解答】解：原式．
故答案为：3．
24．已知且，若，，则 18 ．
【解答】解：若，，
则，
故答案为：18．
25．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积与时间（月的关系，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过；
③浮萍从蔓延到需要经过1、5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则；
其中正确的序号是 ①②⑤ ．
【解答】解：点在函数图象上，
，故①正确；
函数在上是增函数，且当时，故②正确，
4对应的，经过1.5月后面积是，故③不正确；
如图所示，月增加，月增加，故④不正确．
对⑤由于：，，，
，，，
又因为，
若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别为，，，则成立．
故答案为：①②⑤．
四．解答题（共3小题）
26．求解下列小题．
（1）计算：；
【解答】解：（1）
．
27．已知函数，且（2）（1）．
（1）求的值
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意（2）（1），
则，解得
综上所述，结论是：．
（2）由（1）知，则是上的增函数，
因为
则，
解得
综上所述，结论是：
28．已知．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明是定义域内的增函数；
（3）求的值域．
【解答】（1），为奇函数
（2）
在上任取，，且
，
而在上为增函数，，即
在上为增函数．
（3），而，即，．
所以的值域是．