初中数学人教版（2024）七年级上册4.2 直线、射线、线段当堂检测题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册4.2 直线、射线、线段当堂检测题，共31页。
如图一，点P为线段AB中点，则有如下结论：
：PA=PB;
：AB=2AP=2PB；
图一
【模型二】线段双中点
（1）线段上的双中点
图二
（2）线段延长线上的双中点模型
图三
一、单选题
1．把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A．B．C．或D．或
2．将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）
A．37B．36C．35D．34
3．点是线段上的三等分点，是线段的中点，是线段的中点，若，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
4．已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，B在线段AC上，且BC=2AB，D，E分别是AB，BC的中点．则下列结论：①AB=AC；②B是AE的中点；③EC=2BD；④DE=AB．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（ ）
A．5.5cmB．2.5cm
C．4cmD．5.5cm或2.5cm
7．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
8．已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A．B．C．或D．或
9．点C、D在线段AB上，若点C是线段AD的中点，2BD>AD，则下列结论正确的是( ).
A．CD2BDC．BD>ADD．BC>AD
10．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，点C、D在线段AB上，且C为AB的一个四等分点，D为AC中点，若BC＝2，则BD的长为_________.
12．如图，C、D是线段AB上的两点，CD=1cm，点M是AD的中点，点N是BC的中点，且MN=3.5cm，则AB=______cm.
13．如图，已知直线l上两点A、B（点A在点B左边），且AB=10cm，在直线l上增加两点C、D（点C在点D左边），作线段AD点中点M、作线段BC点中点N；若线段MN=3cm，则线段CD=______cm．
14．若点C为线段AB上一点，AB=12，AC=8，点D为直线AB上一点，M、N分别是AB、CD的中点，若MN=10，则线段AD的长为______．
15．如图，数轴上的O点为原点，A点表示的数为，动点P从O点出发，按以下规律跳动：第1次从O点跳动到OA的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第n次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，那么点所表示的数为_________．
16．在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是5，点P表示的数是x，
（I）若A、B两点间的距离表示为AB，则AB=_________；
（Ⅱ）若点P为线段AB的中点，点P表示的数x=__________；
（Ⅲ）若E，F，Q为数轴上的三个点，点Q表示的数为1，点F在点E的右侧，若EF=2则EA+EB+EQ+FA+FB+FQ的最小值为________
17．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段__________．
18．已知线段和在同一直线上，如果，，则线段和的中点之间的距离为______________．
19．已知点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点.设，，则线段BC的长为________（用含a，b的代数式表示）
20．已知线段AB=12,P是线段AB的三等点，Q是直线AB上一个动点，若AQ=PQ+BQ,则线段AQ的长为__________________
三、解答题
21．已知如图，点是线段上的两点，点和点分别在线段和线段上．已知，，，时，求的长度．
22．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；
23．点在线段上，．
(1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；

①在还未到达点时，的值为 ；
②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值；
(2) 若是直线上一点，且．则的值为 ．
24．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
25．【新知理解】
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．
(1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ cm；
(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
26．如图，点A,B在数轴上表示的数分别为-4和+16，A,B两点间的距离可记为AB
(1) 点C在数轴上A,B两点之间，且AC=BC,则C点对应的数是_________
(2) 点C在数轴上A,B两点之间，且BC=4AC,则C点对应的数是_________
(3) 点C在数轴上,且AC+BC=30，求点C对应的数?
(4) 若点A在数轴上表示的数是a,B表示的数是b,则AB=_________
参考答案
1．C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．
解：如图
∵，
∴2AP=＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm
∴AP=12×cm
∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；
故选：C．
【点拨】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
2．B
【分析】先求出每3厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；因为3和4的最小公倍数是12，所以每12厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数．
解：∵绳子长72cm，
∴每3cm作一记号，可以把绳子平均分成72÷3＝24（段），可以做24−1＝23个记号，
每4cm也作一记号，可以把绳子平均分成72÷4＝18（段），可以做18−1＝17个记号，
∵3和4的最小公倍数是12，所以重合的记号有：
72÷12−1＝5（个），
∴有记号的地方共有23＋17−5＝35，
∴这段绳子共被剪成的段数为35＋1＝36（段）．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了线段，关键是正确理解每3厘米、4厘米作一个记号，可以作几个记号，有多少的记号重合．
3．D
【分析】分两种情况分析：点C在AB的处和点C在AB的处，再根据中点和三等分点的定义得到线段之间的关系求解即可.
解：①当点C在AB的处时，如图所示：
因为，E是线段BC的中点，
所以BC=12,
又因为点C是线段AB上的三等分点，
所以AB＝18；
②当点C在AB的处时，如图所示：
因为，E是线段BC的中点，
所以BC=12,
又因为点C是线段AB上的三等分点，
所以AB＝36.
综合上述可得AB=18或AB=36.
故选：D.
【点拨】考查了线段有关计算，解题关键根据题意分两种情况分析，并画出图形，从而得到线段之间的关系.
4．C
【分析】根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确结论即可.
解：（1）如图1所示：
∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝BC＝，
又∵AB＝4cm，
∴AC＝2cm，
∴结论①正确；
（2）如图2所示：
∵AC1＝1，AB＝4，
∴，
∴点C1为线段AB的四等分点
又∵AC2＝1，
∴
又∵点C2在AB的反向延长线上，
∴点C2不是线段AB的四等分点，
∴结论②错误；
（3）如图3所示：
点C为线段AB上的一动点，
∴AB＝AC+BC，
又∵AB＝4cm，
∴AC+BC＝4cm，
∴结论③正确；
（4）如图4所示：
若点C在AB的延长线上时，
AC1+BC1＞AB，
∵AB＝4，
∴AC1+BC1＝AB+2BC1＞4cm，
若点在AB的反向延长线上时，
AC2+BC2＞AB，
∵AB＝4，
∴AC2+BC2＝AB+2AC2＞4cm，
∴结论④正确；
（5）如图5所示：
若点C在线段AB的延长线时，且AC1＝6cm，有
AC1+BC1＝8cm，
若点C在线段AB的反向延长线时，且AC2＝2cm，有
AC2+BC2＝8cm，
∴结论⑤错误．
综合所述；正确结论是①、③、④，
故选：C．
【点拨】本题考查线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算，熟练掌握各定义和运算法则是关键.
5．D
【分析】根据线段中点的性质进行分析即可.
解：①、由BC=2AB，AC=AB+BC，得：AC=3AB，故正确；
②、由E分别是BC的中点，BC=2AB，得BE=AB，故正确；
③、由D，E分别是AB，BC的中点，得：EC=BE=AB=2BD，故正确；
④、由上述结论，得：DE=DB+BE=AB+AB=AB，故正确．
故选D．
【点拨】考核知识点：线段中点.
6．D
【分析】先根据线段中点的定义求出CE，CF，然后分点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF两种情况计算即可得解．
解：设AC、BC的中点分别为E、F，
∵AC＝8cm，BC＝3cm，
∴CE＝AC＝4cm，CF＝BC＝1.5cm，
如图所示，当点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，
＝4+1.5，
＝5.5cm，
如图所示，当点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF，
＝4﹣1.5，
＝2.5cm，
综上所述，AC和BC中点间的距离为2.5cm或5.5cm．
故答案为2.5cm或5.5cm
故选D．
【点拨】对于没有给出图形的几何题，要考虑所有可能情况，分点B在不在线段AC上的两种情况，然后根据不同图形分别进行计算
7．D
【分析】根据M、N分别是线段AD、BC的中点，可得AM=MD，CN=BN.
由①知，当AD=BM，可得AM=BD，故而得到AM=MD=DB，即AB=3BD；
由②知，当AC=BD时，可得到MC=DN，又AM=MD，CN=BN，可解得AM=BN；
由③知，AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
由④知，AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN
逐一分析，继而得到最终选项.
解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AM=MD，CN=NB.
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD.
∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，
∴AB=3BD.
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN.
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN.
③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.
综上可知，①②③④均正确
故答案为：D
【点拨】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.
8．D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
解：由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．
故选D．
【点拨】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
9．D
【分析】根据点C是线段AD的中点，可得AD=2AC=2CD，再根据2BD>AD，可得BD> AC= CD，
再根据线段的和差，逐一进行判即可．
解：∵点C是线段AD的中点，
∴AD=2AC=2CD，
∵2BD>AD，
∴BD> AC= CD，
A. CD=AD-AC> AD－ BD，该选项错误；
B. 由A得AD－ BD CD，则ADBD+CD=BC,则AB=AD+BD BC+ BD2BD，该选项错误；
C.由B得 AB2BD ，则BD+AD2BD,则ADBD,该选项错误；
D. 由A得AD－ BD CD，则ADBD+CD=BC, 该选项正确
故选D．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
10．A
【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.
解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
根据规律得到，
∴，故选A.
【点拨】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
11．5
解：先根据四等分点的定义求出AB=4BC=8，由AC=AB-BC求出AC8-2=6，再根据中点的定义可得CD=AC =3，而BD=CD+BC =3+2=5．
故答案为5．
点睛：此题主要考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段CD的长是解决本题的突破点．
12．8
【分析】先根据已知条件求得AM+CN＝4.5，再由AB＝AM+CN+MN代入计算即可.
解：因为点M是AD的中点，点N是BC的中点，
所以AM＝MD，CN＝BN，
又因为CD＝1，
所以MC＝MD－CD＝AM－1，
因为MN＝MC+CN＝3.5，
所以MN＝AM－1+CN＝3.5，
所以AM+CN＝4.5，
所以AB＝AM+NB+MN
＝AM+CN+MN
＝4.5+3.5
＝8.
故答案是：8.
【点拨】考查了线段中点的性质，解题关键是求得AM+CN＝4.5，利用了整体思想.
13．16或4
解：如图，把直线放到数轴上，让点A和原点重合，则点A所对应的数为0，点B所对应的数是10，设点C所对应的数为、点D所对应的数为，
∵则点M是线段AD的中点，点N是线段BC的中点，
∴点M所对应的数是，点N所对应的数是，
∵MN=3，
∴（1）如图1，当点M在点N的左侧时，MN=，化简得：，由点C在点D的左侧可得：CD=；
（2）如图2，当点M在点N的右侧时，MN=，化简得：，由点C在点D的左侧可得：CD=.
【点拨】（1）在数轴上任意两点A、B，若它们在数轴上所对应的数是，则线段AB的中点所对应的数是：；（2）在本题中，只限定了点C在点D的左侧，没有说明点M和点N的位置关系，因此要分点M在点N左侧和右侧两种情况讨论，不要忽略了其中任何一种情况.
14．16或24
根据线段的和、差及中点定义并利用分类讨论思想即可得出答案.
解：有三种情况：
①当点D在线段AB上时，如图所示，MN≠10，与已知条件不符，故此种情况不成立；
②当点D在线段AB的延长线上时，如图所示，
∵M是AB的中点，AB=12，
∴AM＝6，
∵AC=8，
∴MC=2,
∵MN=10，
∴CN=MN-MC=10-2=8，
∵N是CD的中点，
∴CD=16,
∴AD=CD+AC=16+8=24;
②当点D在线段AB的反向延长线上时，如图所示，
∵M是AB的中点，AB=12，
∴AM＝6，
∵AC=8，
∴MC=2,
∵MN=10，
∴CN=MN+MC=10+2=12，
∵N是CD的中点，
∴CD=24,
∴AD=CD-AC=24-8=16.
故线段AD的长为16或24.
点睛：本题主要考查线段和、差及中点定义，利用分类讨论思想正确作图是解题的关键.
15．
【分析】根据题意找出规律，，，…，，求出的长即可得到结果．
解：∵A表示的数是，
∴
∵是AO的中点，
∴，
同理，，…，，
∴，
∵在负半轴，
∴点所表示的数是．
故答案是：．
【点拨】本题考查找规律，解题的关键是根据数轴上中点的性质找出点表示的数的规律．
16． 8 1 18
【分析】（I）根据数轴的定义即可得；
（Ⅱ）根据数轴的定义、线段中点的定义即可得；
（Ⅲ）先找出所求式子取最小值时，点E、F的位置，再根据数轴的定义求解即可得．
解：（I）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）由题意得：当点E在点A、Q之间，点F在点B、Q之间时，取得最小值，
此时，
，
，
，
即的最小值为18；
故答案为：8，1，18．
【点拨】本题考查了数轴、线段中点的定义，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
17．1或2
【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上；分别作出图形，求出答案，即可得到DE的长度.
解：根据题意，
①当点C在线段AB上时；如图：
∵，，
又∵为线段的中点，为线段的中点，
∴，，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时；如图：
与①同理，可求，，
∴；
∴线段DE的长度为：1或2；
故答案为：1或2.
【点拨】本题考查了线段的中点，两点之间的距离，以及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段的中点，线段的和差关系进行解题.
18．4 cm或1.6 cm．
【分析】此题有两种情况：①当C点在线段AB上，此时AB=AC+BC，然后根据中点的性质即可求出线段AC和BC的中点之间的距离；②当B在线段AC上时，那么AB=AC-CB，然后根据中点的性质即可求出线段AC和BC的中点之间的距离．
解：此题有两种情况：
①当C点在线段AB上，此时AB=AC+BC，
而AC=5．6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC+BC=8cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为 cm；
②当B点在线段AC上，此时AB=AC-BC，
而AC=5．6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC-BC=2.8cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为cm．
故答案为：4 cm或1.6 cm．
【点拨】本题考查了比较线段的长短的知识，本题渗透了分类讨论的思想，要防止漏解．
19．2b-a或2b+a或a-2b
【分析】由于点A. B、C三点都在直线l上, 点P是线段AC的中点，故分点B在A的右侧，点B在AP之间, 点B在PC之间,点B在C的左侧四种情况进行讨论.
解：当点B在A的右侧，如图
∵，
∴AP=b-a
∵点P是线段AC的中点
∴PC=AP=b-a
∴BC=BA+AP+PC=a+（b-a）+（b-a）=2b-a
当点B在AP之间, 如图
∵，
∴AP=b+a
∵点P是线段AC的中点
∴PC=AP=b+a
∴BC=BP+ PC=b+（b+a）=2b+a
当点B在PC之间, 如图
∵，
∴AP=a-b
∵点P是线段AC的中点
∴PC=AP=a-b，
∴BC= PC-PB=（a-b）-b=a-2b
当点B在C的左侧，如图
∵，
∴AP=a-b
∵点P是线段AC的中点
∴AC=2AP=2a-2b，
∴BC= AB-AC=a-（2a-2b）=2b-a
综上所述： BC=2b-a或 BC =2b+a，或BC=a-2b
故答案为：2b-a或2b+a或a-2b
【点拨】本题考查了线段的中点，注意图形不确定时需要进行分类讨论是解题的关键.
20．8、16、20、
【分析】分点P是靠近点A的三分点和点P是靠近点B的三分点两种情况讨论.
解：分点P是靠近点A的三分点和点P是靠近点B的三分点两种情况讨论：
（1）点P是靠近点A的三分点，
①当点Q在点B右侧时，
此时AP==4，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=4，
所以AQ=AB+BQ=12+4=16；
②当点Q在点B左侧时，
此时AP==4，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=4，
所以AQ=AB-BQ=12-4=8；
（2）点P是靠近点B的三分点，
①当点Q在点B右侧时，
此时AP==8，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=8，
所以AQ=AB+BQ=12+8=20；
②当点Q在点P左侧时，
此时AP==8，BP=4，
因为AQ=AP-PQ=PQ+BQ=BP+2PQ，
即8-PQ=4+2PQ，
解得PQ=，
所以AQ= AP-PQ =8-=；
故答案为8、16、20、
【点拨】此题考查了线段的和差计算，对点P的位置以及点Q的位置分类讨论是解答此题的关键.
21．4.5cm
【分析】先求出BM+CN的长度，再根据BC=MN-（BM+CN）即可得出结果．
解：，
．
,
，
．
【点拨】本题考查线段的和差定义、两点间距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．(1)6(2)①；②；③
【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6；
（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a；
②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a；
③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a．
(1)解：∵AB=12，AC=8，
∴BC=AB-AC=4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC=4，CN=BC=2，
∴MN=CM+CN=6；
故答案为：6；
(2)解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=AC+BC=AB，
∵AB=a，
∴MN=a；
故答案为：a；
②∵AM=AC，BN=BC，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，
∵AB=a，
∴MN=a；
③∵AM=AC，BN=BC，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，
∵AB=a，
∴MN=a，
故答案为：a．
【点拨】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
23．（1）①；②;（2）或或或
【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；
（2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可．
解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，
∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，
∴QB=2PC，
∴CQ=2AC-2PC=2AP，
∴
②设运动秒
，
分两种情况
A:在右侧，
，分别是，的中点
，，
∴
B:在左侧，
，分别是，的中点
，，
∴
（2）∵BC=2AC．
设AC=x，则BC=2x，
∴AB=3x，
①当D在A点左侧时，
|AD-BD|=BD-AD=AB=CD，
∴CD=6x，
∴ ；
②当D在AC之间时，
|AD-BD|=BD-AD=CD，
∴2x+CD-x+CD=CD，
x=-CD（不成立），
③当D在BC之间时，
|AD-BD|=AD-BD=CD，
∴x+CD-2x+CD=CD，
CD=x，
∴；
|AD-BD|=BD-AD=CD，
∴2x-CD-x-CD=CD，
∴CD=
；
④当D在B的右侧时，
|AD-BD|=BD-AD=CD，
∴2x-CD-x-CD=CD，
CD=6x，
∴．
综上所述，的值为或或或
【点拨】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键．
24．（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝DE＝或CE＝DE＝，则CD＝或，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∵DE＝8，
∴CD＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，
∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，
∴CD＝或CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵，
∴，
∴y＝x，
∴CD＝1.5x﹣x＝x，
∴；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵，BE＝EC+BC＝x+y，
∴，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，
∴，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述的值为或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．
25．(1)是(2)6或4或8c(3)t为3或或或或或6
【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm．
（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．
(1)解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，
∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，
故答案为：是；
(2)解：①当N为中点时，CN＝＝6cm；
②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；
③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm．
故答案为：6cm或4cm或8cm；
(3)解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；
①P为A、Q的和谐点，有三种情况：
1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝；
2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝3；
3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝；
②Q为A、P的和谐点，有三种情况：
1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝6；
2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝；
3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝．
综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【点拨】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
26．（1）6；（2）0；（3）21或-9；（4）.
【分析】设点C对应的数为x．
（1）根据AC=BC列出方程，解方程即可；
（2）根据BC=4AC列出方程，解方程即可；
（3）分C在A的左边或C在B点右边两种情况进行讨论，根据AC+BC=30列出方程即可求解；
（4）根据数轴上两点之间的距离公式列出代数式.
解：设C表示的数为x,
（1）根据题意得x-（-4）=16-x，解得x=6，答C点对应的数为6；
（2）根据题意得4[x-（-4）]=16-x，解得x=0，答C点对应的数为0；
（3）当C在A左侧时AC+BC=30,则-4-x+16-x=30，解得x=-9
当C在B右侧时，x-16+x-（-4）=30解得x=21，所以C点对应的数为-9或21.
（4）.
【点拨】本题考查一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，本题解题关键为数轴上两点之间的距离等于两点表示的数的差的绝对值（适用于不知两点之间的位置关系），或等于右边的数减去左边的数（适用于知道两点之间的位置关系）.