（5）数列——高考数学数列专练

这是一份（5）数列——高考数学数列专练，共11页。试卷主要包含了已知数列满足，，则，已知等差数列中，，，设，则，记为等差数列的前n项和等内容，欢迎下载使用。
1.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则( )
A.B.C.D.
2.已知数列满足，，则( )
A.-1B.C.2D.3
3.已知数列的前n项和为，对任意正整数m，n，总满足，若，，则的前n项和( )
A.B.C.D.
4.已知等差数列中，，，设，则( )
A.245B.263C.281D.290
5.已知等差数列的前n项和为，，，则当取得最大值时，n的值为( )
A.5B.6C.5或6D.6或7
6.已知数列满足，，关于数列有下述四个结论：
①数列为等比数列；
②；
③；
④若为数列的前n项和，则.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
7.已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为( )
A.B.
C.D.
8.已知数列的前n项和，则数列的前n项和等于( )
A.B.C.D.
9.（多选）记为等差数列的前n项和.已知，，则( )
A.B.C.D.
10.（多选）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论错误的是( )
A.数列是递增数列B.
C.当取得最大值时，D.
11.（多选）已知各项均为正数的等差数列，且，则( ).
A.B.
C.数列是等差数列D.数列是等比数列
12.（多选）已知公比为q的正项等比数列的前n项积为，则( )
A.B.当时，
C.D.当，且取得最小值时，n只能等于6
13.已知是公比为2的等比数列，若，则_____________.
14.设数列的前n项和为Sn.若，，，则________，________.
15.已知等差数列的前n项和为，且，，则__________.
16.已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为___________.
17.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，且，，成等差数列，求出所有的正整数m，n.
18.已知，，定义：数列共有m项，对任意i，j（，），存在（，），使得，或存在（，），使得，则称数列为“封闭数列”.
（1）若（，），判断数列是否为“封闭数列”；
（2）已知递增数列，2，，8，为“封闭数列”，求，，；
（3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列.
19.在等差数列中，的前n项的和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求取最大值时n的值；
（3）设，求.
20.已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，.
（1）求数列、数列的通项公式；
（2）若，求证：数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，即，所以.故选：A.
2.答案：B
解析：因为数列满足，，所以，所以，，，，所以是周期为3的周期数列，又，所以.故选：B.
3.答案：A
解析：令，依题意得，
即，所以数列是以1为首项､1为公差的等差数列.所以，.所以.
故选：A.
4.答案：C
解析：等差数列中，由，，得公差，
则，显然当时，，当时，，
所以
.故选：C.
5.答案：C
解析：，则，
由于，所以，则等差数列是首项为正的单调递减数列，
令，解得，所以当或6时，取得最大值.故选：C.
6.答案：C
解析：因为，，所以，，所以，所以，所以数列为等比数列，所以①正确；
又因为，所以，因为，所以，所以，故③正确；
，，……，，由累加法得，所以②错误；，由分组求和得，所以④正确.故选：C.
7.答案：A
解析：依题意，当时，，，两式相减并化简得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，.，
所以，
所以k的取值范围是.故选：A.
8.答案：A
解析：当时，， ；当时，，满足上式， ，数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列是首项为1，公比为4的等比数列，
，故选：A.
9.答案：AC
解析：由题可知，，即，所以等差数列的公差，
所以，.故选：AC.
10.答案：ABC
解析：等差数列的前n项和为，，所以，
，所以，所以且，
所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值.故D正确，ABC错误.
故选：ABC.
11.答案：AC
解析：设等差数列的公差为，
对A，因为是等差数列，且，由等差数列性质得，故A正确；
对，则，故B错误；
对C，因为，则数列是等差数列，故C正确；
对D，如数列为1，2，3，4，5，6…，显然数列不是等比数列，故D错误.故选：AC.
12.答案：ABC
解析：，A正确.，C正确.
当时，因为，所以，可得，B正确.
当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误.
13.答案：200
解析：记等比数列的公比为q，则.
因，
故.故答案为：200.
14.答案：1；121
解析：，
再由，又，
所以，.
15.答案：16
解析：因为等差数列的前n项和为，所以，，，成等差数列，
所以，即解得，所以，
所以，
解得，故答案为：16
16.答案：
解析：由正项等差数列的前项和为，
知，得，故，
则，
当且仅当，即，时，等号成立.
即的最小值为，故答案为：.
17.答案：(1)；
(2)，
解析：（1）由，所以.
又因为，，成等比数列，所以，
，
又因为，所以
所以，
所以
（2）由题意可得，所以
方法一：
整理可得，所以，
因为且，所以，
方法二：
，所以，
又，所以或，
当时，，与矛盾，
当时，，符合条件，
所以，
18.答案：（1）不是“封闭数列”，理由见解析
（2），，
（3）证明见解析
解析：（1）由题意知，数列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
因为，，14和均不是中的项，
所以数列不是“封闭数列”.
（2）由题意数列递增可知，则不是中的项，
所以是中的项，即.
因为（，），所以，，都是中的项，
所以，得，
由，得，所以，，.
（3）因为数列单调递增，所以，则不是中的项，
所以是中的项，即.
因为（，）不是中的项，所以是中的项，
所以.
因为，，，，…，，共有m项，
所以（，）①，
类似地，，，，则不是中的项，
所以是中的项，
，
所以（，）②，
由①和②得，
所以是首项为1的等比数列.
19.答案：（1）
（2）6
（3）
解析：（1）由题意知在等差数列中，，，设公差为d，
则，则，
故，故通项公式.
（2）结合（1）可得，
当时，取最大值.
（3），
由，得，
即时有，时有，
若，，
若时，
，
综合上述.
20.答案：（1），；
（2）证明见解析.
解析：（1）设等差数列的公差为d，
正项等比数列的公比为q，，
由，，，
可得，，
解得，(，舍去)，
则，；
（2）证明：，
所以.