高考数学一轮复习：3导数及其应用-重难点突破9练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）函数，，
，
令，，
，函数在上单调递减，
又当时，，而，
存在唯一，使得，
当时，，即，函数单调递增；当，时，，即，函数单调递减，
函数在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在，上单调递减，
是函数的极大值点，且，
，
又当时，；，
在区间内存在一个零点，在区间，上存在一个零点，
当时，设，则，
在上单调递减，，
①当时，，当时，，无零点，
②时，，又，当时，，无零点，
当时，，函数在区间内无零点，
函数有且仅有2个零点．
2．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由于，
所以，
当，即时，；
当，即时，．
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为；
（2）令，
要使总成立，只需时，
对求导，可得，
令，
则，
所以在上为增函数，
所以；
对分类讨论：
①当时，恒成立，
所以在上为增函数，
所以，
即恒成立；
②当时，在上有实根，
因为在上为增函数，
所以当时，，
所以，不符合题意；
③当时，恒成立，
所以在上为减函数，
则，不符合题意．
综上，可得实数的取值范围是，．
3．已知函数，其中，是自然对数的底数．
（1）当时，证明：对，，；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．
【解答】（1）证明：当时，，，
当，时，，且，
所以当，时，，且时，，
函数在，上单调递增，，
所以，对，，．
（2）解：若函数在上存在极值，
则在上存在零点．
①当时，为上的增函数，
，
则存在唯一实数，使得成立，
当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数，
所以为函数的极小值点；
②当时，在上恒成立，
函数在上单调递增，在上无极值；
③当时，在上恒成立，
函数在上单调递減，在上无极值．
综上知，使在上存在极值的的取值范围是．
4．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由于，
所以，
当，，即，，时，；
当，，即，，时，．
所以的单调递增区间为，，，
单调递减区间为，，；
（2）令，
要使总成立，只需，时，
对求导，可得，
令，
则，
所以在，上为减函数，
所以，；
对分类讨论：
①当时，恒成立，
所以在，上为增函数，
所以，
即，故成立；
②当时，在上有实根，
因为在，上为减函数，
所以当，时，，
所以，不符合题意；
③当时，恒成立，
所以在，上为减函数，
则，
由，可得，
即有．
综上，可得实数的取值范围是，．
5．已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）,
令,即,解得：,
令,即,解得：,
故在,递增，在,递减．
,
故对于任意的，恒成立，
等价于恒成立，
即,令,
则,
由（1）的结论知在,上为增函数，
,,
①当,即时，恒成立，
故在,上递增，即,符合题意，
②当即时，恒成立，
故在,递减，即,不合题意，
③当时，存在,使得,
当时，,在递减，
当,时，,在,递增，
故,不合题意，
综上：实数的取值范围是，．
6．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）的定义域为，
，，
令，则在恒成立，
在上为减函数，
又，，由零点存在定理可知，
函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，
在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；
当时，单调递增，，单调递增；
由于在，上单调递减，且，，
由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，
当，时，单调递减，，单调递增；
当时，单调递减，，单调递减．
当，时，，，于是，单调递减，
其中，
．
于是可得下表：
结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，
当，时，，则恒成立，
因此函数在，上无零点．
综上，有且仅有2个零点．
7．已知定义在，上的函数，为自然对数的底数．
（1）当时，证明：；
（2）若在上存在极值，求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：当时，，则，
当时，，，则，
所以在，上为增函数，从而．
所以；
（2）因为，
所以，
由，可得．
因为在上存在极值，
所以直线与曲线在内有交点（非切点）．
令，其中，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，且，，
结合函数与函数在上的图象可知，
当时，直线与曲线在上的图象有交点（非切点），
即实数的取值范围为；
（3）依题意得在，上恒成立．
设，其中，
则，
由（1）知，
则．
①当时，，此时在，上单调递增，故，符合题意；
②当时，由（1）知在，上为增函数，
且．
而，
于是时，，故存在，（唯一），
使得，当，时，，此时单调递减，当，时，，此时单调递增，
所以，不符合题意．
综上，实数的取值范围为，．
8．已知是函数的导函数．
（1）求不等式的解集；
（2）如果对于任意的，，总成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，，
所以不等式等价于，
即，
故原不等式的解集为，，；
（2）令，
要使总成立，只需，时，
对求导，可得，
令，
则，，
所以在，上为增函数，
所以，；
对分类讨论：
①当时，恒成立，
所以在，上为增函数，
所以，
即恒成立；
②当时，在上有实根，
因为在上为增函数，
所以当时，，
所以，不符合题意；
③当时，恒成立，
所以在上为减函数，
则，不符合题意．
综上，可得实数的取值范围是，．
9．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若函数在上有两个零点，，且，求证：．
【解答】解：（1）由于函数为偶函数，要求函数的最小值，只需求，时的最小值即可．
因为，
所以，当时，设，，显然单调递增，而，，由零点存在定理，存在唯一的，使得，分
当，，单减，当，，，单增，而，
，，，即，，单减，分
又当，，，，单增，所以；分
（2）只需证，其中，，，
构造函数，，
，即单增，
所以，，即当时，
，
而，
所以，，又，即，
此时，，，由第（1）问可知，在，上单增，所以，，，即证分
10．已知函数．
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）若，，求的取值范围．
【解答】解：（1）证明：，
因为，所以，，
于是（等号当且仅当时成立）．
故函数在上单调递增．
（2）由（1）得在上单调递增，
又，所以，
（ⅰ）当时，成立．
（ⅱ）当时，令，则，
当时，，单调递减，
又，所以，
故时，．
由式可得，
令，则
由式可得
令，得在上单调递增，
又，，所以存在使得，
即时，，
所以时，，单调递减，
又，所以，
即时，，与矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是，．
0
0
0
单调递减
0
单调递增
大于0
单调递减
大于0
单调递减
小于0