2024-2025学年上海市长宁区高三上学期高考一模数学试卷含答案

这是一份2024-2025学年上海市长宁区高三上学期高考一模数学试卷含答案，共10页。
1．答题前,务必在答题纸上将姓名,学校,班级等信息填写清楚,并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷,草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有21道试卷,满分150分,考试时间120分钟．
一,填空题（本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 设全集为,集合,则_______.
2. 已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的体积是_______（结果保留）.
3. 曲线在点处的切线方程是_______.
4. 以为圆心,为半径的圆的标准方程是________.
5. 投掷两枚质地均匀的骰子,观察掷得的点数,则掷得的点数之和为的概率是_______.
6. 的二项展开式中的常数项是_______.
7. 已知,函数的大致图像如图所示,则_______.
8. 已知向量,,则向量在方向上的投影的坐标是_______.
9. 已知,,若是的充分条件,则实数的取值范围是_______.
10. 若正实数,满足,则的最小值是_______.
11. 设为坐标原点,从集合,2,3,4,5,6,7,8,中任取两个不同的元素,,组成,两点的坐标,,则的概率为_______.
12. 点,,分别位于正方体的面上,,则的最小值是_______.
二,选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知复数和,则下列说法正确的是……………………………………………………（ ）
14. 已知非零空间向量,和,则下列说法正确的是…………………………………………（ ）
已知函数在区间上单调递增,则的取值范围是………（ ）
A., B., C., D..
数列为严格增数列,且对任意的正整数,都有,则称数列满足“性质”.
①存在等差数列满足“性质”.
②任意等比数列,若首项,则满足“性质”.
下列选项中正确的是………………………………………………………………………………（ ）
A. = 1 \* GB3 ①是真命题, = 2 \* GB3 ②是真命题, B. = 1 \* GB3 ①是真命题, = 2 \* GB3 ②是假命题.
C. = 1 \* GB3 ①是假命题, = 2 \* GB3 ②是真命题, D. = 1 \* GB3 ①是假命题, = 2 \* GB3 ②是假命题.
三,解答题（本大题共有5题,满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分）.
在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求角B的大小.
（2）若,的面积为,请判断的形状,并说明理由.
18．（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分）.
如图所示,四棱柱的底面是正方形,是底面的中心,平面,.
求证：平面.
求直线与平面所成角的正弦值.
19．（本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题第①问满分4分,第2小题第②问满分6分）.
2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构,某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查,并按年龄绘制了频率分布直方图,分组区间为,,,,,.把年龄落在区间内的人称为“青年人”,把年龄落在区间内的人称为“中年人”,把年龄落在内的人称为“老年人”.
（1）求所抽取的“青年人”的人数.
（2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈,发现其中女性共4人,这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.
①简述如何采用抽签法任选2人.
②设事件：2人均为“中年人”,事件：2人中至少有1人为男性,判断事件与事件是否独立,并说明理由.
20．（本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分）.
已知椭圆的左,右焦点分别为,,且经过点.
（1）求该椭圆的离心率.
（2）点为椭圆上一点,且位于第三象限,若的面积为3,求点的坐标.
（3）,,,是椭圆上不重合的四个点,与相交于点,且,求的取值范围.
21．（本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分）.
双曲余弦函数,双曲正弦函数.
（1）求函数的单调增区间.
（2）若函数在上的最小值是,求实数的值.
（3）对任意,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
填空题（本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1., 2., 3., 4., 5. , 6. .
7. , 8. , 9. , 10. 9, 11. , 12. .
二,选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑．
13. A 14. D 15. A 16. B
三,解答题（本大题共有5题,满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分）.
（1）由正弦定理可得…………………………………………2分
因为,所以…………………………………………………………2分
所以………………………………………………………………………………2分
（2）
所以………………………………………………………………………………2分
由余弦定理,得……………………………2分
即,解得,
所以是等边三角形……………………………………………………………4分
18．（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分）.
（1）因为是正方形,所以,.
因为底面,所以是在平面上的投影.
所以……………………2分
由,,底面.
可得,.
所以,即有……………………………………………………2分
因为,所以
所以平面.……………………………………………………………………2分
（2）设点到平面的距离为.
……………2分
所以………………………………4分
得直线与平面所成角的正弦值……………………………………2分
方法2：（建系）
以为原点,射线,,为轴,轴,轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
可得,,
则,,……………………………………2分
从而可知平面的一个法向量为……………………………………………2分
所以直线与平面所成角的正弦值
…………………………………………………4分
19．本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题第①问满分4分,第2小题第②问满分6分）.
（1）
解得：……………………………………………………………………………2分
所以所抽取的“青年人”人数为80………………………………………………………2分
先将10名参会者进行编号：1,2,……10,并将10个号码写在完全相同的纸片上,放入某容器中充分混合均匀,再取出2张,2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人。
……………………………………………4分
（知道要编码2分,充分混合均匀随机抽2张或者依次抽两张2分）
（3）“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为
所以10人中“中年人”共有5人.
2人均为“中年人”的概率.
2人中至少有1人为男性的概率………………………………………2分
2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率…………2分
因为,所以事件A与事件B不独立.……………………………2分
20．（本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分）.
（1）椭圆方程为…………………………………………………………………2分
所以……………………………………………………………………………2分
（2）①,直线的解析式为………………………………………2分
因为的面积为3,所以边上的高为
过做的平行线,则直线的解析式为……………………………2分
联立方程组 .
解得：,
所以点的坐标为,……………………………………………2分
（3）①若或垂直于轴,则………………………………………1分
②若和不垂直于轴.
设直线的解析式为,点,
联立方程组 ,得
从而,…………………………………………………4分
同理
因为,所以……………………………………3分
综上,的取值范围是
21．（本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分）.
（1）
令,解得…………………………………………………………2分
当时,
所以函数的单调增区间是………………………………2分
（2）
令,.
所以在上是严格增函数.
得,当时,
……………………………………………………2分
时,严格增,,舍去,…………………………………2分
时,,所……………………………………………2分
（3）①证明
令,
所以在上单调增,则………………………2分
②证明
令,,,
令,为偶函数
令
则当时,
所以,从而单调增
又,所以时,,时,
所以在单调减,在单调增.
从而
即有…………………………………………………………………4分
③再证明对任意的,都存在,使得
令,,,
令,为偶函数
令
则当时,.
所以单调增
由于,所以.
(由于是偶函数,以下只考虑时)
所以存在,使得
从而当时,,时,
所以时,单调减,时,单调增.
又,时,.
所以存在,使得
即有当时,,时,
所以时,单调减,时,单调增.
又,时,.
所以存在,使得,则,当时,.
综上.………………………………………………………………………………2分
（注：1.直接写出答案……2分）
A.一定是实数,
B.一定是虚数,
C.若,则是纯虚数,
D.若,则是纯虚数.
A. 若,,则,
B. 若,,则,
C. 若,,则,
D. 若,,则.