2025年新高考数学一轮复习第2章第04讲指数与指数函数(八大题型)(练习)练习(学生版+教师版)

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题型一：指数幂的运算
1．已知，计算：.
【解析】因为，所以，所以，
所以，所以，即，
所以，所以.
2． .
【答案】
【解析】.
故答案为：.
3．化简求值:
(1)；
(2)．
【解析】（1）
；
（2）
=
题型二：指数函数的图象及应用
4．若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意函数 与函数 互为反函数，
所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，
对比选项可知A符合题意.
故选：A.
5．要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数，
要使图象不经过第一象限，则，解得.
故选：B.
6．当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意，得当时不等式恒成立，即，令，，分类讨论和两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a的不等式，解不等式得解由题意，得当时不等式恒成立，即，
令，，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，
当时，如图所示，
由图可知，，恒成立，故不满足题意；
当时，如图所示，
由图可知，要，恒成立， 需，即，解得，故
综上可知： a的取值范围是.
7．设、分别是方程与的根，则 .
【答案】
【解析】如图，分别作出函数，，的图象，
且函数与、分别相交于点，.
由题意，．而与互为反函数，
直线与直线互相垂直，所以点与关于直线对称.
所以.所以.
故答案为：.
题型三：指数函数过定点问题
8．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是 .
【答案】
【解析】在函数中，当，即时，，
所以点P的坐标是.
故答案为：
9．对且的所有正实数，函数的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是 ．
【答案】
【解析】由函数，当时，可得，
所以该函数恒经过定点.
故答案为：.
10．已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第 象限.
【答案】二
【解析】由已知条件得当时，，则函数恒过点，
即，此时，
由于由向下平移五个单位得到，且过点，
由此可知不过第二象限，
故答案为：二.
11．已知常数且，假设无论a取何值，函数的图像恒过定点，且点的横坐标为．又已知常数且，假设无论b取何值，函数的图像恒过定点，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】由对数函数过定点可知：函数的图像恒过定点，
则有，又因为指数函数的图像恒过定点，
所以点的坐标为，
故答案为：.
题型四：比较指数式的大小
12．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵指数函数在上单调递增，
且，
∴，即.
∵幂函数在上单调递增，且，
∴，即，
∴.
故选：A.
13．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，求导得，
当时，，则在上单调递减，
则，即，而，于是，
所以.
故选：D
14．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
因为，故即，故.
因为，
所以，所以.
故选：C.
题型五：解指数方程或不等式
15．方程的解为 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，即，
所以.
故答案为：.
16．方程的解为 ．
【答案】
【解析】因为且，由指数函数的图象和性质可知：当时，恒大于等于1，所以要使方程有解，
则有解得：，，所以原方程的解为，
故答案为：.
17．不等式的解集是 .
【答案】
【解析】．
故答案为：．
18．设，则关于x的不等式的解集是 .
【答案】
【解析】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为.
故答案为：
题型六：指数函数的最值与值域问题
19．函数的最大值是 ．
【答案】9
【解析】由题可知：，所以
又指数函数为R上的增函数，所以的最大值为
故答案为：9
20．函数的最小值是 .
【答案】
【解析】令t=2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]．
原函数化为g（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4，
当t=1时，g（t）有最小值，即f（x）有最小值为-4．
故答案为：-4．
21．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意可知时，，当且仅当时取得等号，
时，，当且仅当时取得等号，
故.
故答案为：.
22．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.
(1)求与的解析式；
(2)若在上的最小值为，求的值.
【解析】（1）为偶函数，，
又为奇函数，，
，①
，即，②
由得：，可得.
（2），
所以，，
令，因为函数、在上均为增函数，
故在上单调递增，则，
设，，对称轴，
①当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得：或（舍）；
②当时，在上单调递增，
，解得：，不符合题意.
综上：.
题型七：指数函数中的恒成立问题
23．不等式对任意都成立，则实数的取值范围 ．
【答案】．
【解析】原不等式可化为对恒成立，
令，则，所以，
当时，，所以.
故答案为: .
24．若实数，使得恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】要使在实数时恒成立等价于在实数时恒成立，则，
令，为减函数，
∴在上为减函数，故当时，，
即实数a的取值范围是．
故答案为：.
25．已知指数函数（且）在其定义域内单调递增．设函数，当时，函数恒成立，则x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为是指数函数，所以，解得或者，
又因为在定义域内单调递增，所以，所以，所以，
所以，
令，要使得即恒成立，
则，
所以，解得，
故答案为：
26．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
当时，，，
又因为是定义在实数集R上的奇函数，
所以，
即当时，.
所以函数的解析式为；
（2）因为对于任意实数，不等式恒成立，
所以在R上恒成立，
即在R上恒成立，
整理得在R上恒成立，
令，因为，所以，
当且仅当即时，等号成立，
从而在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，则，
因为函数在单调递减，可得的最大值为，
所以，所以.
题型八：指数函数的综合问题
27．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】作出函数的图象，如图所示．
由，得，
解得或．
由图象易知，直线与的图象有3个交点，
所以方程有3个不同的实数根，
因为方程有7个不同的实数根，
所以直线与的图象有4个交点，
故，解得，故实数的取值范围是．
故答案为：
28．已知函数，.
(1)若存在，使得成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）∵，，
∴，即在有解，
令，所以,
当时；当趋向于0或时趋向于，即.
（2），即，
令，因为，所以为增函数，
所以，则，
所以，化为对任意的恒成立，
在上单调递减，
当时，取得最大值为，
所以，实数的取值范围为.
29．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)求的值域；
(3)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由题意可得：，即.
因为，
则.
因为函数在上单调递增，且，
所以.
故不等式的解集为
（2）由，得：函数定义域为.
令
则，.
因为二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，，当时，.
故的值域为.
（3）由题意得：当时，不等式恒成立，
即当时，不等式恒成立，
即当时，不等式恒成立.
令，.
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
所以当时，.
所以，解得：
故当时，不等式恒成立， 的取值范围为.
30．（2024·河南·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，，且．
(1)求函数，的解析式；
(2)求不等式的解集．
【解析】（1）由题意易知，，则，
即，
故为奇函数，故为奇函数，
又①，则，
故②，
由①②解得，；
（2）由，可得，
所以，即，
令，则，
解得，
所以，即，
所以，
解得，
故不等式的解集为．
31．设函数（且）是定义域为的奇函数．
（1）若，试求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值及取得最小值时的的值．
【解析】（1）由得，则，
若，则，所以在上是增函数，
不等式可化为，
所以有，即，
所以或，
所以不等式的解集为.
（2）若，则，
所以 ，
令，则，
所以当即时，取最小值-2．
1．（2024·广东茂名·模拟预测）自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ）
A．B．3C．1D．或3
【答案】B
【解析】，
，，（舍）．
，
．
故选：A
2．（2024·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】命题，即，
因为是的充分不必要条件，
显然当时满足，
所以当时恒成立，
则在上恒成立，
又函数在上单调递增，且，
所以.
故选：A
3．已知实数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得.
令，由于均为单调递增函数，所以在上单调递增，
又，所以，所以，所以.
故选：B.
4．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，当时，，
得，又，所以方程无解；
当时，，
得，即，解得，
所以.
故选：D
5．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
所以，
又函数是奇函数，所以，即，.
即.
故选：C
6．（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】B
【解析】因为函数是奇函数，
所以，
解得，
又，
所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，
因为，
所以，故.
故选：B
7．（2024·福建南平·二模）对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（ ）
A．1.906B．1.908C．1.917D．1.919
【答案】A
【解析】
.
故选：C.
8．（2024·广东广州·二模）若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，
，即有两个不同实根，
令，则在上有两个不同实根，
，
则的取值范围为．
故选：D．
9．（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】A
【解析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.
因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.
故选：C
10．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
【答案】BBD
【解析】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；
，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：ABD
11．（多选题）（2024·福建厦门·三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】对A：由，则，故A正确；
对B：由，则，故B错误；
对C：由在上单调递增，故，故C错误；
对D：由，则，故，
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：AD.
12．（多选题）（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定义，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则与的全部元素之和等于3874
B．若表示实数集，表示正实数集，则
C．若表示实数集，则
D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域
【答案】BD
【解析】对于选项A：因为，
根据所给定义可得，，
则与的全部元素之和等于3872，故选项A错误；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C：，表示幂函数的值域，
可知幂函数的值域为，即，故选项C错误；
对于选项D：因为，
当时，则，
可得，故选项D正确.
故选：BD.
13．（2024·四川·模拟预测）已知实数满足下列等式，则 .
【答案】1
【解析】因为，即，
得，而化简得，
即，构造函数，
由于在都为增函数，
所以在为单调递增函数，
又知，所以，
解得，，所以.
故答案为：.
14．（2024·全国·模拟预测）已知为均不等于1且不相等的正实数．若函数是奇函数，则 ．
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，所以，
即，
即，则．
当时，，
所以，则，所以；
当时，恒成立．
故答案为：．
15．（2024·北京房山·一模）若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，可取，
函数是减函数，满足时，都有，
因为，
所以函数满足题意.
故答案为：.（答案不唯一）
16．（2024·上海黄浦·二模）设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
【解析】（1）由为奇函数，可知，
即，解得，
当时，对一切非零实数恒成立，
故时，为奇函数.
（2）由，可得，解得，
所以
解得：，所以满足的实数的取值范围是.
17．已知函数，且.
(1)求a的值；
(2)当时，恒成立，求m的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以,
因为，所以，
则.
（2）由（1）可知，等价于.
令，则，
原不等式等价于在上恒成立，
则，解得，
故m的取值范围为.
18．已知关于x的不等式的解集为．
(1)求集合；
(2)若，且，，，求的最小值．
【解析】（1）∵，
∴，
即，
即，
解之得，
∵，当且仅当取得等号，
∴，
解得，
由在R上单调递增可得，
故．
（2）∵，且，，
则，
由，两边平方得，，
所以
，
不妨令，则，当且仅当时等号成立，
所以，
由二次函数的单调性可知，当时取得等号，
综上，当时取到最小值．
19．已知函数，.
(1)若，求的值；
(2)若方程在上有实数解，求实数的取值范围.
【解析】（1），
，
∵，∴，
∴
（2）∵函数在上单调递增，方程在上有解，
即，
∴在区间上有解，即有解，
由于，所以
所以，
∴的取值范围为
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
3．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
4．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））函数的图像可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，
当时，∴，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.
5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，
因为幂函数在R上单调递增，所以，
因为指数函数在R上单调递增，所以，
即b