2025年新高考数学一轮复习第3章拔高点突破03导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc169275161" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169275161 \h 2
\l "_Tc169275162" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc169275162 \h 2
\l "_Tc169275163" 题型一：同构法的理解 PAGEREF _Tc169275163 \h 5
\l "_Tc169275164" 题型二：利用同构比较大小 PAGEREF _Tc169275164 \h 5
\l "_Tc169275165" 题型三：方程同构 PAGEREF _Tc169275165 \h 6
\l "_Tc169275166" 题型四：零点同构 PAGEREF _Tc169275166 \h 7
\l "_Tc169275167" 题型五：双元同构 PAGEREF _Tc169275167 \h 8
\l "_Tc169275168" 题型六：朗博同构 PAGEREF _Tc169275168 \h 9
\l "_Tc169275169" 题型七：利用同构解决不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc169275169 \h 9
\l "_Tc169275170" 题型八：利用同构求最值 PAGEREF _Tc169275170 \h 10
\l "_Tc169275171" 题型九：利用同构证明不等式 PAGEREF _Tc169275171 \h 11
\l "_Tc169275172" 03 过关测试 PAGEREF _Tc169275172 \h 12
方法技巧总结一、常见的同构函数图像
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘同构，如；
（2）加法同构，即加同构，如，
（3）两种构法的区别：
= 1 \* GB3 ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
= 2 \* GB3 ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
题型一：同构法的理解
【典例1-1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【典例1-2】关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .
【变式1-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围.
题型二：利用同构比较大小
【典例2-1】已知，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-2】已知．且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：方程同构
【典例3-1】（江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三期初数学试题）已知实数满足，，则 ．
【典例3-2】（江苏省泰州市泰兴中学2023-2024学年高三期中数学试题）已知实数a，b满足，则ab＝ ．
【变式3-1】设x，y为实数，且满足，则（ ）
A．2B．5C．10D．2018
【变式3-2】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ．
【变式3-3】（2024·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ）
A．B．eC．D．1
题型四：零点同构
【典例4-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数和．
(1)若曲线数与在处切线的斜率相等，求的值；
(2)若函数与有相同的最小值．
①求的值；
②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列．
【典例4-2】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数和有相同的最小值．
(1)求；
(2)是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列？说明理由．
【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）已知．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线有唯一交点；
(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．
【变式4-2】已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型五：双元同构
【典例5-1】已知函数．
当时，求函数的单调增区间；
若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
若，且对任意，，，都有，求实数a的最小值．
【典例5-2】（河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学试题）已知对任意的，都有恒成立，则实数的值为（ ）
A．B．1C．0D．
【变式5-1】（四川省成都市第七中学2023-2024学年高三阶段性考试数学试题）若实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】（山西省太原市2024届高三期中数学试题）已知，对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【变式5-4】（多选题）（重庆市2024届高三冲刺押题联考（二）数学试题）若实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
题型六：朗博同构
【典例6-1】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .
【典例6-2】（2024·陕西·模拟预测）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）
A．B．4C．D．8
【变式6-1】不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【变式6-2】对任意，若不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型七：利用同构解决不等式恒成立问题
【典例7-1】（2024·江西·三模）已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 .
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2024·江西赣州·二模）已知函数，.若，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-4】已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型八：利用同构求最值
【典例8-1】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】已知函数，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7B．8C．5D．11
题型九：利用同构证明不等式
【典例9-1】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
【典例9-2】已知函数．
（1）讨论函数的零点的个数；
（2）证明：．
【变式9-1】已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
【变式9-2】已知函数，函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
（3）证明：当时，．
1．若对任意的，且，则m的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．对于任意，当 时，恒有成立,则实数的取值范围是
3．若，则实数a的取值范围为
(3)当时，不等式恒成立，求正数的取值范围.
12．（2024·广东佛山·一模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，，求的取值范围.
13．（2024·广东深圳·二模）已知函数的图象在处的切线经过点.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数，其中，.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若函数恒成立，求的取值范围.
15．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
16．（2024·广东汕头·三模）设，，
(1)证明：；
(2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.
17．（2024·江西宜春·一模）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.
18．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数，，直线为曲线与的一条公切线.
(1)求；
(2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于三点，其中，且成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个.
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点