2025年新高考数学一轮复习第3章重难点突破06证明不等式问题(十三大题型)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc169197490" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169197490 \h 2
\l "_Tc169197491" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc169197491 \h 2
\l "_Tc169197492" 题型一：直接法 PAGEREF _Tc169197492 \h 2
\l "_Tc169197493" 题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造） PAGEREF _Tc169197493 \h 3
\l "_Tc169197494" 题型三：分析法 PAGEREF _Tc169197494 \h 5
\l "_Tc169197495" 题型四：凹凸反转、拆分函数 PAGEREF _Tc169197495 \h 5
\l "_Tc169197496" 题型五：对数单身狗，指数找朋友 PAGEREF _Tc169197496 \h 7
\l "_Tc169197497" 题型六：放缩法 PAGEREF _Tc169197497 \h 8
\l "_Tc169197498" 题型七：虚设零点 PAGEREF _Tc169197498 \h 10
\l "_Tc169197499" 题型八：同构法 PAGEREF _Tc169197499 \h 11
\l "_Tc169197500" 题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 PAGEREF _Tc169197500 \h 13
\l "_Tc169197501" 题型十：分段分析法、主元法、估算法 PAGEREF _Tc169197501 \h 15
\l "_Tc169197502" 题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值 PAGEREF _Tc169197502 \h 16
\l "_Tc169197503" 题型十二：函数与数列不等式问题 PAGEREF _Tc169197503 \h 17
\l "_Tc169197504" 题型十三：三角函数 PAGEREF _Tc169197504 \h 18
\l "_Tc169197505" 03过关测试 PAGEREF _Tc169197505 \h 19
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．（参考数据：）
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)若有3个极值点，求a的取值范围；
(2)若，，证明：．
【变式1-2】已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
【变式1-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
【典例2-1】（2024·河北沧州·模拟预测）对于函数和，设，若存在使得，则称和互为“零点相邻函数”.设，，且和互为“零点相邻函数”.
(1)求的取值范围；
(2)令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”；
(3)若，证明：.
【典例2-2】（2024·湖北荆州·三模）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：函数的图象位于直线的下方；
【变式2-1】已知函数有且只有一个零点，其中．
(1)求的值；
(2)若对任意的，有成立，求实数的最大值；
(3)设，对任意，证明：不等式恒成立．
【变式2-2】设，当时，求证：．
【变式2-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间;
(2)若，证明:．
题型三：分析法
【典例3-1】已知函数，当时，证明：.
【典例3-2】已知函数，．
(1)若直线是函数的图象的切线，求实数的值；
(2)当时，证明：对于任意的，不等式恒成立．
【变式3-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数，其中.
(1)求曲线在点处切线的倾斜角；
(2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围；
(3)证明：.
题型四：凹凸反转、拆分函数
【典例4-1】已知函数，证明：当时，.
【典例4-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
【变式4-2】已知，，，求证：．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间．
(2)若的极大值为，求的取值范围．
(3)当时，求证：．
【变式4-4】已知函数，求证：.
【变式4-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：.
题型五：对数单身狗，指数找朋友
【典例5-1】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【典例5-2】（2024·青海·模拟预测）已知质数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切，都有．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为（其中为自然对数的底数）．
(1)求实数的值．
(2)当时，证明：对，都有．
【变式5-2】（2024·广西·模拟预测）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)证明：．
【变式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点.
(1)求a；
(2)证明：.
题型六：放缩法
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最值．
(2)证明：（其中为自然对数的底数）．
【典例6-2】已知函数，为的导函数．
(1)求函数的零点个数；
(2)证明：．
【变式6-1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：.
【变式6-2】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数，为的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若是的极大值点，求的取值范围；
(3)若，证明：．
【变式6-3】（2024·辽宁大连·模拟预测）定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.
(1)设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）
(2)证明：当时，函数不存在“自公切线”；
(3)证明：当，时，.
【变式6-4】已知函数，证明：当时，.
题型七：虚设零点
【典例7-1】（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)若，，求证：．
【变式7-1】已知函数.
(1)若在定义域内不单调，求a的取值范围；
(2)证明：若，且，则.
【变式7-2】（2024·高三·辽宁丹东·开学考试）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求证：.
【变式7-3】（2024·河北张家口·三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：．
【变式7-4】（2024·山东威海·二模）已知函数．
(1)求的极值；
(2)证明：．
题型八：同构法
【典例8-1】已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
【典例8-2】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
【变式8-1】（2024·甘肃定西·一模）设函数，
(1)证明：.
(2)当时，证明：.
【变式8-2】（2024·甘肃白银·三模）设函数，．
(1)讨论的单调性．
(2)证明：．
(3)当时，证明：．
【变式8-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时，求证：.
【变式8-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的方程；
(2)若，求证：当时，．
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
【典例9-1】证明不等式：．
【典例9-2】已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．
【变式9-1】（2024·河南周口·模拟预测）已知函数．
(1)求函数在区间上的极值点的个数．
(2)“”是一个求和符号，例如，，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当时，对，都有；
（ii）．
【变式9-2】英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；
(3)设，证明：.
【变式9-3】阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Jhann Bernulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
【典例10-1】已知函数．
（1）讨论函数的导函数的单调性；
（2）若，求证：对，恒成立．
【典例10-2】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，且时，．
【变式10-1】若定义在上的函数满足，，．
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．
【变式10-2】已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，，．
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
【典例11-1】（2024·河南·模拟预测）已知，函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求a，b的值;
(2)若方程（e为自然对数的底数）有两个实数根，且，证明：
【典例11-2】已知函数.
(1)求函数的单调性；
(2)若有两个不相等的零点，且.
①证明：随的增大而增大；
②证明：.
【变式11-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数．
(1)求证：；
(2)若是的两个相异零点，求证：．
题型十二：函数与数列不等式问题
【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．
(1)证明：时，；
(2)证明：．
【典例12-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
(1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标；
(2)①当时，求在上的最小值；
②证明：．
【变式12-1】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，且在上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.
（i）求证：函数在上具有性质；
（ii）记，其中，求证：.
【变式12-2】（2024·天津·模拟预测）已知函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：．
【变式12-3】（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列的前项和为，首项.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若函数，正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
题型十三：三角函数
【典例13-1】（2024·全国·三模）已知函数在处的切线方程为.
(1)求a的值；
(2)证明：.
【典例13-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，
(1)求的最小值；
(2)证明：.
【变式13-1】（2024·四川广安·二模）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，，证明：.
【变式13-2】已知函数，（为自然对数的底数）．
(1)求曲线在处的切线方程
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；
(3)证明：．
【变式13-3】（2024·广东湛江·二模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，且，证明：.
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．
2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数．
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为，求证;
（i）是一个递减数列
（ii）．
3．（2024·山东·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，判断的单调性；
(2)若存在两个极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：时，．
4．已知，.
(1)若，判断函数在的单调性；
(2)设，对，，有恒成立，求k的最小值；
(3)证明：..
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的值；
(2)求证：．
6．（2024·河北·三模）已知函数．
(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：．
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数．
(1)求的值域；
(2)求证：当时，．
8．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
9．已知，函数，．
(1)若函数的最小值是0，求实数m的值；
(2)已知曲线在点处切线的纵截距为正数．
（ⅰ）证明：函数恰有两个零点；
（ⅱ）证明：．
10．（2024·河北邢台·二模）已知函数，
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：.
15．（2024·福建莆田·三模）已知函数，其中.
(1)当时，，求的取值范围.
(2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.
(3)证明：（）.
16．（2024·广东揭阳·二模）已知函数.
(1)当时，证明：是增函数.
(2)若恒成立，求的取值范围.
(3)证明：（，）.
17．已知函数.
(1)证明：，总有成立；
(2)设，证明：．
18．求证：．
19．（2024·河南·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
20．已知函数 （），.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：时，.
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若函数有两个极值点，求的取值范围；
(2)若曲线在点处的切线与轴垂直，求证：．