2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破01圆中的范围与最值问题(八大题型)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc176538861" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176538861 \h 2
\l "_Tc176538862" 题型一：斜率型 PAGEREF _Tc176538862 \h 2
\l "_Tc176538863" 题型二：直线型 PAGEREF _Tc176538863 \h 3
\l "_Tc176538864" 题型三：距离型 PAGEREF _Tc176538864 \h 3
\l "_Tc176538865" 题型四：周长面积型 PAGEREF _Tc176538865 \h 4
\l "_Tc176538866" 题型五：数量积型 PAGEREF _Tc176538866 \h 4
\l "_Tc176538867" 题型六：坐标与角度型 PAGEREF _Tc176538867 \h 5
\l "_Tc176538868" 题型七：长度和差型 PAGEREF _Tc176538868 \h 6
\l "_Tc176538869" 题型八：方程中的参数型 PAGEREF _Tc176538869 \h 7
\l "_Tc176538870" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176538870 \h 8
1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
题型一：斜率型
【典例1-1】已知实数，满足方程，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】如果实数，满足，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·山东日照·二模）若实数满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型二：直线型
【典例2-1】（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．5
【典例2-2】已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4B．C．D．
【变式2-1】点在圆上，则的范围是 ．
【变式2-2】已知，满足，则的范围是 ．
【变式2-3】如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ．
题型三：距离型
【典例3-1】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ．
【典例3-2】直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．1B．3C．4D．2
【变式3-1】（2024·浙江·三模）已知，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．32
【变式3-2】（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
【变式3-3】已知，且，则的最大值为（ ）
A．9B．12C．36D．48
【变式3-4】（2024·四川乐山·三模）已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
题型四：周长面积型
【典例4-1】（2024·高三·河南·开学考试）若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（ ）
A．B．C．1D．－1
【典例4-2】在直角坐标系中，已知，动点满足，则面积的范围为
【变式4-1】若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A．8B．5C．2D．1
题型五：数量积型
【典例5-1】已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ）

A．7B．12C．14D．16
【典例5-2】在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．8D．
【变式5-2】在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
题型六：坐标与角度型
【典例6-1】已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是 .
【典例6-2】已知，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，已知是圆上一点，，则的正切值的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【变式6-4】已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型七：长度和差型
【典例7-1】已知复数，，，，，，若，且，则的最大值为 ．
【典例7-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知圆上两点，，O为坐标原点，若，则的最大值是（ ）
A．8B．C．D．12
【变式7-1】设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】在定圆内过点作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则 的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型八：方程中的参数型
【典例8-1】（2024·山东泰安·二模）已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 .
【典例8-2】如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【变式8-1】已知，，，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】已知过点的动直线与圆交于两点，过分别作的切线，两切线交于点.若动点，则的最小值为 ．
1．（多选题）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的范围是
2．（多选题）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．直线的斜率范围为
D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为
3．（多选题）点是圆上的动点，则下面正确的有（ ）
A．圆的半径为3
B．既没有最大值，也没有最小值
C．的范围是
D．的最大值为72
4．（多选题）（2024·高三·福建福州·期末）已知，，动点C满足，记的轨迹为.过的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，则( )
A．关于轴对称B．的面积的最大值为
C．当时，D．直线的斜率的范围为
5．（多选题）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（ ）
A．的范围是B．的范围是
C．的最大值为1D．的范围是
6．（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆M上点到直线的最小距离为
B．圆M上点到直线的最大距离为
C．圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个
D．圆与圆M有公共点，则a的范围是
7．（多选题）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．存在点使
D．过点作圆的切线，则切线长为
8．（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离最大为4
9．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（ ）
A．面积的最大值为12B．的最大值为72
C．若，则的最小值为10D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
10．（多选题）已知点在圆C：上，点，，则（ ）
A．直线与圆相切
B．点到直线的距离小于7
C．当最大时，
D．的最小值小于15°
11．（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点的轨迹方程为B．
C．的最小值为D．的最大角为
12．（多选题）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（ ）
A．的最小值为B．直线必过定点
C．满足的点有两个D．的最小值为
13．（2024·高三·山东济宁·开学考试）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是 ．
14．已知与相交于点线段是圆的一条动弦，且则的范围为
15．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为 .
16．（2024·江西宜春·一模）已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是 .
17．已知若圆上存在点P，使得，则m的范围 ．
18．（2024·上海·一模）已知点为圆的弦的中点，点的坐标为，且，则的范围是 ．
19．已知，，若圆（）上恰有两点，，使得和的面积均为，则的范围是 ．
20．（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 .
21．已知圆，动点在圆上，则面积的最大值为 ．
22．（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 .
23．已知满足，则函数的最小值为 ．