2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破05求曲线的轨迹方程(十一大题型)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc176552916" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176552916 \h 2
\l "_Tc176552917" 02题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176552917 \h 3
\l "_Tc176552918" 题型一：直接法 PAGEREF _Tc176552918 \h 3
\l "_Tc176552919" 题型二：定义法 PAGEREF _Tc176552919 \h 4
\l "_Tc176552920" 题型三：相关点法 PAGEREF _Tc176552920 \h 5
\l "_Tc176552921" 题型四：交轨法 PAGEREF _Tc176552921 \h 6
\l "_Tc176552922" 题型五：参数法 PAGEREF _Tc176552922 \h 8
\l "_Tc176552923" 题型六：点差法 PAGEREF _Tc176552923 \h 9
\l "_Tc176552924" 题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹 PAGEREF _Tc176552924 \h 10
\l "_Tc176552925" 题型八：复数与圆锥曲线的轨迹 PAGEREF _Tc176552925 \h 11
\l "_Tc176552926" 题型九：向量与圆锥曲线的轨迹 PAGEREF _Tc176552926 \h 12
\l "_Tc176552927" 题型十：利用韦达定理求轨迹方程 PAGEREF _Tc176552927 \h 13
\l "_Tc176552928" 题型十一：四心的轨迹方程 PAGEREF _Tc176552928 \h 14
\l "_Tc176552929" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176552929 \h 16
一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·高三·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（ ）
A．
B．（除去两点）
C．（除去两点）
D．（除去两点）
【变式1-1】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】在平面直角坐标系中，若定点与动点满足向量在向量上的投影为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2024·浙江温州·一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：定义法
【典例2-1】已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
【典例2-2】已知定点和定圆，动圆和圆外切，且经过点，求圆心的轨迹方程
【变式2-1】已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】 已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为 .
【变式2-3】已知定点，圆，过R点的直线交圆于M，N两点过R点作直线交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；
【变式2-4】设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ．
【变式2-5】（2024·山东青岛·一模）已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-6】（2024·江苏南通·模拟预测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
题型三：相关点法
【典例3-1】设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若，且，则点P的轨迹方程是 ．
【典例3-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（2024·高三·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
题型四：交轨法
【典例4-1】已知A，B分别为椭圆的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
【典例4-2】已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【变式4-1】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．
【变式4-3】已知椭圆经过点，且离心率为.直线与交于两点，连结.
(1)求面积的最大值；
(2)设直线分别与轴交于点，线段的中点为，求直线与直线的交点的轨迹方程.
【变式4-4】抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点．
(1)求的方程；
(2)已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程．
【变式4-5】已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.求直线与直线交点的轨迹方程.
【变式4-6】（2024·高三·湖北·期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
(1)已知为上任意一点，求的最小值；
(2)已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程.
【变式4-7】（2024·吉林·模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求直线和交点的轨迹方程.
题型五：参数法
【典例5-1】方程(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程)
【典例5-2】已知是坐标原点，点满足，且，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ．
【变式5-2】已知O为坐标原点，，A是上的动点，连接OA，线段OA交于点B，过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为 ．
【变式5-3】已知在中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，若，则点P的轨迹方程为 ．
题型六：点差法
【典例6-1】已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ．
【典例6-2】已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
【变式6-1】我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点.
(1)若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)当时，求的取值范围；
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，求斜率为0的平行弦中点的轨迹方程.
【变式6-2】已知：椭圆，求：
（1）以为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
【典例7-1】已知点是正四面体内的动点，是棱的中点，且点到棱和棱的距离相等，则点的轨迹被平面所截得的图形为（ ）
A．线段B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【典例7-2】（2024·广东梅州·一模）如图，正四棱柱中，，点是面上的动点，若点到点的距离是点到直线的距离的2倍，则动点的轨迹是（ ）的一部分
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【变式7-1】已知直线平面，直线平面，且．若P是平面上一动点，且点P到直线m、n的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【变式7-2】在长方体中，点在矩形内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．线段B．圆的一部分
C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分
【变式7-3】已知线段AB与平面所成的角为，点B为斜足，在平面上的动点P满足，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一部分
【变式7-4】已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（ ）

A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
【典例8-1】已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-1】设非零复数是复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（ ）
A．双曲线B．圆C．一条直线D．抛物线
【变式8-2】（2024·陕西咸阳·三模）设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-3】设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的轨迹方程为 .
【变式8-4】设复数z满足，则复数z所对应的点Z在复平面上的轨迹方程为 ．
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
【典例9-1】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【典例9-2】O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．垂心C．内心D．重心
【变式9-1】在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【变式9-2】（2024·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【变式9-3】已知，，且满足，则点的轨迹方程为 ．
【变式9-4】（2024·湖北咸宁·模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量满足，向量满足，则的轨迹方程为 ；的最小值为 .
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，M是椭圆C上一点，且面积的最大值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记O为坐标原点，当点M与椭圆C的顶点不重合时，过点M分别作直线OM，MF，其中直线MF不过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线OM，MF与椭圆C交于异于点M的E，F两点，直线与直线相交于点D，直线OD与直线MF相交于点N，求点N的轨迹方程．
【典例10-2】过点的直线与抛物线相交于两点P，Q，求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.
【变式10-1】已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
【变式10-2】（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
【变式10-3】已知抛物线，焦点为F
(1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标.
(2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程．
【变式10-4】已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.
【变式10-5】过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式10-6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为 .
题型十一：四心的轨迹方程
【典例11-1】设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ；
【典例11-2】点M为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的内心轨迹方程为 .
【变式11-1】已知椭圆C：（，）过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上．
【变式11-2】在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
(1)求的离心率；
(2)若△的重心为，点，求的最小值；
(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.
【变式11-3】求解下列问题：

(1)如图，动圆：，与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点，分别为的左、右顶点．求直线与直线的交点M的轨迹方程．
(2)已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，求的重心G的轨迹方程．
【变式11-4】已知的顶点A是定点，边在定直线上滑动，， 边上的高为3，求的外心的轨迹方程．
【变式11-5】（2024·河北石家庄·一模）已知坐标原点为，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过双曲线上动点的直线分别交双曲线的两条渐近线于，两点，求的外心的轨迹方程.
1．已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知圆，直线l过点.线段AB的端点B在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
6．当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·江西景德镇·三模）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）

A．B．
C．D．
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知圆，圆，已知为两圆外的动点，过点分别作两圆的割线和，总有，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
13．设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是正方体面内的动点，且点到棱和面的距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
15．（2024·北京延庆·一模）已知在正方体中，，是正方形内的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
16．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为正方形对角线的交点，动点在圆柱下底面内（包括圆周）．若直线与直线所成的角为，则点形成的轨迹为（ ）
A．椭圆的一部分B．抛物线的一部分C．双曲线的一部分D．圆的一部分
17．在四棱柱中，已知侧棱底面， 为底面上的动点．当的面积为定值时，点在底面上的运动轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
18．已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
19．已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为 ．
20．设为椭圆的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段的中点，则动点P的轨迹的方程为 ．
21．设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ．
22．（2024·广东·一模）如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
23．已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．