福建省福州市仓山区现代中学2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷-A4

这是一份福建省福州市仓山区现代中学2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷-A4，共23页。
A．B．C．D．
2．（4分）一元二次方程x2＝2x的解为（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
3．（4分）不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球D．3个球中有白球
4．（4分）二次函数y＝2（x+3）2﹣1图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（3，﹣1）C．（3，1）D．（﹣3，1）
5．（4分）如图，将直角三角板30°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，C是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠ACB的度数是（ ）
A．30°B．15°C．22.5°D．20°
6．（4分）如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
7．（4分）反比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．5B．12C．﹣5D．﹣12
8．（4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x−1)2=2070B．x（x+1）＝2070
C．2x（x+1）＝2070D．x（x﹣1）＝2070
9．（4分）已知锐角△ABC中，O是AB的中点，甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（ ）
A．两人都正确B．只有甲正确
C．只有乙正确D．两人都不正确
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交x轴的负半轴和y轴的正半轴于A点，B点，分别以点A，点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于P点，若点P的坐标为（m，n），则下列结论正确的是（ ）
A．m＝2nB．2m＝nC．m＝nD．m＝﹣n
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若反比例函数y=k−3x的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ．
12．（4分）若扇形的圆心角为40°，半径为6，则扇形的弧长为 ．
13．（4分）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 .（精确到0.1）
14．（4分）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
15．（4分）若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k上，则y1、y2的大小关系为：y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
16．（4分）如图，抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（4分）用公式法解方程：x2﹣4x+1＝0
18．（6分）已知：如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE，AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，求证：△ADE∽△ACB．
19．（8分）已知一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个根x1，x2满足（2x1+x2）（x1+2x2）＝10，求m的值．
20．（10分）为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动．在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子．
（1）如图①，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为 ；
（2）如图②，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率．
21．（10分）如图，在网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D，E都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中，画一条直线MN平分△ABC的周长；
（2）在1的基础上，在直线MN上且在AC的上方找点D，使∠ACD＝∠ACB；
（3）在图2中，画格点F，使AF＝AE且AF⊥AE；
（4）在图2中，在线段DC上找一点M，连ME，使DM+BE＝ME．
22．（10分）阅读下列内容：
如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．
所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．
根据阅读内容解决下列问题：
（1）如果点P（a，b）在反比例函数y=2x的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．
（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．
23．（12分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是AC，BC 的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．
（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．
（2）求证FG+AB＝AF+BG．
（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）
（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是 ．
24．（12分）正五边形是一个具有和谐美的几何图形，其尺规作图法引起了学者们的关注，里士满提出了一个构造圆内接正五边形的尺规作图方法，并且通过计算得到，当圆的半径为1时，其内接正五边形的边长为5−52．如图，圆O的半径1，AC和BD是相互垂直的直径，直线l是过点C的圆的切线．
（1）尺规作图：①作OC的中点E，②以C为圆心，OE的长为半径交切线于点F，③以F为圆心，OF的长半径交切线于点G，且F、G在直线AC的两侧，连接OF、OG；
（2）结合材料，在线段OF、OG、EF中，判断哪条线段的长度等于圆O的内接正五边形的边长，并说明理由．
25．（14分）已知如图：抛物线交x轴于点B（1，0）、点C（5，0），交y轴于点A（0，5），点B、点D关于y轴对称．
（1）求抛物线解析式．
（2）点P是抛物线上对称轴右侧一点，连接AD，△ADP面积最大时，求出△ADP最大面积和此时点P的坐标．
（3）点M在对称轴上，点Q是第一象限内一点，以点A、D、M、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点Q的坐标．
福建省福州市仓山区现代中学2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
2．（4分）一元二次方程x2＝2x的解为（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
【解答】解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
3．（4分）不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球D．3个球中有白球
【解答】解：由题意知，3个球都是黑球，是不可能事件，故A符合要求；
3个球都是白球，是随机事件，故B不符合要求；
三个球中有黑球，是随机事件，故C不符合要求；
3个球中有白球，是必然事件，故D不符合要求；
故选：A．
4．（4分）二次函数y＝2（x+3）2﹣1图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（3，﹣1）C．（3，1）D．（﹣3，1）
【解答】解：∵二次函数y＝2（x+3）2﹣1是顶点式，
∴顶点坐标为（﹣3，﹣1），
故选：A．
5．（4分）如图，将直角三角板30°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，C是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠ACB的度数是（ ）
A．30°B．15°C．22.5°D．20°
【解答】解：根据题意得：∠AOB＝30°，
∴∠ACB=12∠AOB=12×30°=15°．
故选：B．
6．（4分）如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【解答】解：如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为1：4，
故选：B．
7．（4分）反比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．5B．12C．﹣5D．﹣12
【解答】解：如图所示：A（﹣3，3），B（2，﹣2）都不在反比例函数图象上，
则﹣3×3＜k＜2×（﹣2），
即﹣9＜k＜﹣4，
故k的值可能是﹣5．
故选：C．
8．（4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x−1)2=2070B．x（x+1）＝2070
C．2x（x+1）＝2070D．x（x﹣1）＝2070
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝2070，
故选：D．
9．（4分）已知锐角△ABC中，O是AB的中点，甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（ ）
A．两人都正确B．只有甲正确
C．只有乙正确D．两人都不正确
【解答】解：甲的作法，
∵BP⊥AC，
∴∠APB＝90°，
∵O是AB中点，
∴PO=12AB，
∴PO＝AO＝BO，
∴O是△PAB的外心，
∴甲的作法正确．
乙的作法，
由作法知：OA＝OB＝OP，
∴O是△PAB的外心，
∴乙的作法正确．
故选：A．
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交x轴的负半轴和y轴的正半轴于A点，B点，分别以点A，点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于P点，若点P的坐标为（m，n），则下列结论正确的是（ ）
A．m＝2nB．2m＝nC．m＝nD．m＝﹣n
【解答】解：如图，m，n的数量关系为m+n＝0．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若反比例函数y=k−3x的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 k＜3 ．
【解答】解：∵反比例函数y=k−3x的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴k﹣3＜0，解得k＜3．
故答案为：k＜3．
12．（4分）若扇形的圆心角为40°，半径为6，则扇形的弧长为 4π3 ．
【解答】解：40360×2π×6=4π3，
∴扇形的弧长为4π3．
故答案为：4π3．
13．（4分）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 0.6 .（精确到0.1）
【解答】解：根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，
所以摸一次，摸到白球的概率为0.6．
故答案为：0.6．
14．（4分）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 10% ．
【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，
根据题意得：40（1+x）2＝48.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去），
∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%．
故答案为：10%．
15．（4分）若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k上，则y1、y2的大小关系为：y1 ＜ y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴离对称轴越远，函数值越小．
∵对称轴是直线x＝3，3﹣（﹣1）＝4，3﹣2＝1，
∴A（﹣1，y1）比B（2，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
16．（4分）如图，抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 (175，85) 和 (335，−85) ．
【解答】解：根据D点坐标，有m＝22﹣6×2+5＝﹣3，所，以D点坐标（2，﹣3），
设BC所在直线解析式为 y＝kx+b，其过点C（0，5）、B（5，0），
b=55k+b=0，
解得k=−1b=5，
BC所在直线的解析式为：y＝﹣x+5，
当E点在线段BC上时，设E（a，﹣a+5），∠DEB＝∠DCE+∠CDE，而∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
因为E（a，﹣a+5），C（0，5），D（2，﹣3），
有a2+(−a+5−5)2=(a−2)2+[−a+5−(−3)]2，
解得：a=175，−a+5=85，所以E点的坐标为：(175，85)，
当E在CB的延长线上时，
在△BDC中，BD2＝（5﹣2）2+32＝18，
BC2＝52+52＝50，DC2＝（5+3）2+22＝68，
BD2+BC2＝DC2，
∴BD⊥BC 如图延长EB至 E'，取 BE'＝BE，
则有△DEE'为等腰三角形，DE＝DE'，
∴∠DEE′＝∠DE′E，
又∵∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DE′E＝2∠DCB，
则E′为符合题意的点，
∵OC＝OB＝5，∠OBC＝45°，
E′的横坐标：5+(5−175)=335，纵坐标为 −85；
综上E点的坐标为：(175，85) 和 (335，−85)．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（4分）用公式法解方程：x2﹣4x+1＝0
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝1，△＝16﹣4×1×1＝12，
∴x=4±122×1=2±3，
∴x1＝2+3，x2＝2−3．
18．（6分）已知：如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE，AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，求证：△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AD＝12，BD＝12，
∴AB＝AD+BD＝12+12＝24，
∵AE＝16，CE＝2，
∴AC＝AE+CE＝16+2＝18，
∴ADAC=AEAB=23，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
19．（8分）已知一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个根x1，x2满足（2x1+x2）（x1+2x2）＝10，求m的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个根，
∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2+m）＝﹣4m≥0，
解得m≤0；
（2）对于一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0，
可有x1+x2＝﹣2m，x1x2=m2+m，
∵（2x1+x2）（x1+2x2）＝10，
∴2x12+5x1x2+2x22=2[（x1+x2）2﹣2x1x2]+5x1x2＝10，
∴2（x1+x2）2+x1x2＝10，
即8m2+（m2+m）＝9m2+m＝10，
解得m1=−109，m2＝1，
由（1）可知，m≤0，
∴m的值为−109．
20．（10分）为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动．在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子．
（1）如图①，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为 17 ；
（2）如图②，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率．
【解答】解：（1）如图①，还有7把椅子可入座，入座后刚好在同一条直线上只有1种情况，
∴P（三把椅子刚好在同一直线上）=17．
故答案为：17；
（2）将第m排，第n列记为（m，n），
由图②知，第1排可入座的位置有：（1，1），（1，2），（1，3）；
第2排可入座的位置有：（2，2），（2，3）．
画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能情况，其中甲、乙刚好坐在同一列有2种情况，
∴P（甲、乙两人刚好坐在同一列上）=26=13．
21．（10分）如图，在网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D，E都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中，画一条直线MN平分△ABC的周长；
（2）在1的基础上，在直线MN上且在AC的上方找点D，使∠ACD＝∠ACB；
（3）在图2中，画格点F，使AF＝AE且AF⊥AE；
（4）在图2中，在线段DC上找一点M，连ME，使DM+BE＝ME．
【解答】解：（1）如图1.1，MN即为所求；
（2）如图1.2，点D即为所求；理由如下：
由图可知：△CFH为等腰直角三角形，∠BCH＝∠CFT，
∴∠OCH＝∠OCF＝45°，
∵E为CF中点，
∴OE是CF垂直平分线，
∴CT＝CF，
∴∠BCH＝∠CFT＝∠FCT，
∴∠OCH﹣∠BCH＝∠OCF﹣∠TCF，
∴∠ACT＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB；
（3）如图2，点F即为所求；
（4）如图2，点M即为所求；理由如下：
由（3）可得：△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，BE＝DF，
由图可知：△AFT为等腰直角三角形，
∴∠TAE＝∠TAF＝45°，
∵AE＝AF，AM＝AM，
∴△AME≌△AMF（SAS），
∴EM＝MF，
∴DM+BE＝ME．
22．（10分）阅读下列内容：
如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．
所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．
根据阅读内容解决下列问题：
（1）如果点P（a，b）在反比例函数y=2x的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．
（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．
【解答】解：（1）∵点P（a，b）在反比例函数y=2x的图象上，
∴ab＝2，
对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，
∴xy＝4ab，
将ab＝2代入xy＝4ab，得xy＝8，
即y=8x，
∴点（2a，2b）一定在y=8x这个函数的图象上；
如图所示：
（2）点（a+b，ab）一定在y=29x2这个函数的图象上，理由如下：
∵点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，
∴b＝2a，
对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，
∵x＝3a，
∴a2=19x2，
∴y=29x2．
∴点（a+b，ab）一定在y=29x2这个函数的图象上．
23．（12分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是AC，BC 的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．
（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．
（2）求证FG+AB＝AF+BG．
（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）
（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是 0≤d＜23 ．
【解答】（1）解：当点C运动到优弧AB的中点时，DE∥AB且DE＝AB，
连接AD，BE，AE，CE，
∵A，B是⊙O的2个三等分点，
∴AB=AC=BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
又∵D，E分别是AC，BC 的中点，
∴AD=DC=CE=EB，
∴∠DEA＝∠EAB＝∠DEC＝∠CBE＝∠DAC＝∠CED＝∠ECB＝30°，
∴DE∥AB，
∴∠DAB＝∠EBA＝90°，
∴DA⊥AB，EB⊥AB，
∴四边形ABED是矩形，
∴AB＝DE；
（2）证明：方法一：如图，连接AE、BD，
∵A，B是⊙O的2个三等分点，
ACB=240°，AB=120°，
∵D，E分别是AC，BC 的中点，
∴DC=12AC=AD，CE=12BC=DE，
∴∠E＝∠CBD，∠D＝∠CAE，
∴DE=DC+CE=12AC+12BC=12ACB=120°，
∴DE=AB，
∴DE＝AB，DE+BE=AB+BE，
∴BD=AE，
∴BD＝AE，
∴△AEF≌△DBG（AAS），
∴EF＝BG，AF＝DG，
∴EF+DG＝AF+BG，
∵EF+DG＝FG+DE＝FG+AB，
∴FG+AB＝AF+BG．
方法二：在（1）的条件下，
∵∠ACB＝60°，FG∥AB，
∴∠CFG＝∠CGF＝60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴CF＝FG＝CG，
又∵∠CED＝∠ECB＝30°，
∴CG＝GE，
∵在△GEB中，∠GBE＝30°，∠GEB＝90°，
∴BG＝2GE＝2FG，
∵AB＝AF+CF，
∴AB+FG＝AF+CF+FG＝AF+BG；
（3）解：连接OB，作OM⊥AB，
∵当点C运动到优弧AB的中点时，此时AE，BD的交点I与圆心O重合，
∴点O与点I的距离d为0，
∵A，B是⊙O的2个三等分点，
∴劣弧AB对的圆心角为120°，
∴∠OBM＝30°，
又∵AB＝6，
∴OB＝23，
∵OI≤OB+IB，
∴当点C运动到点A或点B时，OI＝OB＝23，
∵点C不与A，B两点重合，
∴OI＜23，
∴0≤d＜23，
故答案为：0≤d＜23．
24．（12分）正五边形是一个具有和谐美的几何图形，其尺规作图法引起了学者们的关注，里士满提出了一个构造圆内接正五边形的尺规作图方法，并且通过计算得到，当圆的半径为1时，其内接正五边形的边长为5−52．如图，圆O的半径1，AC和BD是相互垂直的直径，直线l是过点C的圆的切线．
（1）尺规作图：①作OC的中点E，②以C为圆心，OE的长为半径交切线于点F，③以F为圆心，OF的长半径交切线于点G，且F、G在直线AC的两侧，连接OF、OG；
（2）结合材料，在线段OF、OG、EF中，判断哪条线段的长度等于圆O的内接正五边形的边长，并说明理由．
【解答】解：（1）尺规作图如下：
（2）OG是圆O的内接正五边形的边长，理由如下：
∵直线l为⊙O的切线，
∴∠OCE＝∠OCG＝90°，
∵E为OC中点，
∴OE＝CE＝CF=12，
∴EF=CE2+CF2=22，OF=OC2+CF2=52=FG，
∴CG＝FG﹣CF=52−12=5−12，
∴OG=OC2+CG2=12+(5−12)2=5−52；
∴OG是圆O的内接正五边形的边长．
25．（14分）已知如图：抛物线交x轴于点B（1，0）、点C（5，0），交y轴于点A（0，5），点B、点D关于y轴对称．
（1）求抛物线解析式．
（2）点P是抛物线上对称轴右侧一点，连接AD，△ADP面积最大时，求出△ADP最大面积和此时点P的坐标．
（3）点M在对称轴上，点Q是第一象限内一点，以点A、D、M、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线交x轴于点B（1，0）、点C（5，0），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），
将点A（0，5）代入得：a（0﹣1）（0﹣5）＝5，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝（x﹣1）（x﹣5），
即y＝x2﹣6x+5；
（2）作PH∥y轴交直线AD于点H，
∵点D与点B（1，0）关于y轴对称，
∴D（﹣1，0）
设直线AD：y＝kx+n，
∵点D（﹣1，0）、点A（0，5）
∴−k+n=0n=5 解得：k=5n=5
∴直线AD：y＝5x+5，
设P（m，m2﹣6m+5），
∴点H为（m，5m+5），
∴PH＝5m+5﹣m2+6m﹣5＝﹣m2+11m，
∴S△ADP＝S△PHD﹣S△PHA=12×PH×OD
=12×1×(−m2+11m)=−12(m−112)2+1218，
∵−12＜0，
∴当m=112 时S△ADP有最大值1218，此时yP=94，
∴当点P的坐标为（112，94）时，△ADP面积最大为 1218；
（3）设点M（3，m），点Q（s，t），
由点A、D的坐标得，AD2＝26；
当AD为对角线时，此时点Q不在第一象限，故不符合题意；
当AM或AQ是对角线时，由中点坐标公式和AD＝AQ或AD＝AM得：
3=s−1m+5=t26=s2+(t−5)2或s=3−1t+5=m26=9+(m−5)2，
解得：s=4t=5±10或s=2t=17（不合题意的值已舍去），
甲的作法
过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，则P即为所求．
乙的作法
以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于点P，则P即为所求．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率mn
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
A
B
B
C
D
A
D
甲的作法
过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，则P即为所求．
乙的作法
以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于点P，则P即为所求．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率mn
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601