湖南省岳阳市岳阳县岳阳集英中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份湖南省岳阳市岳阳县岳阳集英中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 下列代数式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义：掌握分式的定义是解题的关键．如果、不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子叫做分式，其中称为分子，称为分母，根据分式的概念判断即可．
【详解】解：A．该代数式中分母中不含字母，故不是分式，该选项不符合题意；
B．该代数式中分母中不含字母，故不是分式，该选项不符合题意；
C．该代数式符合分式的概念，该选项符合题意；
D．该代数式中分母中不含字母，故不是分式，该选项不符合题意；
故选：C．
2. 若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质，，的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，符合题意；
D．，不符合题意；
故选：C．
3. “桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
详解】解：．
故选：A
4. 下面各式化简结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的加减运算，根据整式及分式的运算法则逐项计算，可得答案．
【详解】解：A，不能化简，不合题意；
B，，不合题意；
C，，不合题意；
D，，符合题意；
故选D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方运算及合并同类项运算．直接利用同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方运算及合并同类项运算法则分别判断，进而得出答案．
【详解】解：A. ，运算正确，符合题意；
B. ，原计算错误，不符合题意；
C. ，原计算错误，不符合题意；
D. 不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的除法运算，把除法变形为乘法，即可求解．
详解】解：
．
故选：B
7. 计算等于（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同分母分式的加减，利用分式的基本性质先把分式化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则计算．
【详解】解：
．
故选：C．
8. 下列与的结果相等的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查乘方和负整数指数幂，计算乘方和负整数指数幂，再进行约分即可求解.
【详解】解：，
故选A．
9. 关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A. ±3B. 3C. －3D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程计算即可求出k的值．
【详解】去分母得：x=2x−6+k，
由分式方程无解，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：3=2×3−6+k，k=3，
故选B.
【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
10. 已知，则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．把化为，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
即，
∴
，
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11. 约分__________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．直接利用分式的基本性质化简得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 若分式 的值为零，那么x的值为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟记分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．根据分式的值为零的条件建立等式或不等式求解，即可解题．
【详解】解：分式 的值为零，
且，
解得且，
，
故答案为：．
13. 将写成只含有正整数指数幂的形式____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题关键．根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【详解】解：原式，
故答案为：．
14. 化简__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是分式的加法运算，先把分母化为相同，再计算即可．
【详解】解：；
故答案为：
15. 某班同学到距离学校的烈士陵园扫墓．一部分同学骑自行车先行，20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的3倍．设骑自行车的速度为千米/小时，则列出的方程是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．骑自行车的速度为，则汽车的速度是，用时间作等量可列出方程．
【详解】解：根据题意得：，即，
故答案为：．
16. 已知，，则____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，灵活运用同底数幂的乘除法是解题的关键．
根据逆用同底数幂乘除法和幂的乘方进行计算即可．
详解】∵，，
∴．
故答案为：．
17. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的异分母加法运算以及已知式子的值求代数式的值，先整理，再把，分别代入计算，即可作答．
【详解】解：
∵，，
∴
故答案：
18. 对于正数x， 规定 例如：则_________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法，分式加减运算的关键是通分，根据规定的，找到规律是解决问题的关键．根据，，得到，然后化简式子即可求解．
【详解】解： 对于正数x， 规定
，，为正整数，
，

故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. 化简下列分式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法．
（1）根据分式的约分的方法可以化简本题；
（2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：．
20. 计算
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
（1）先计算乘法，再进行通分，最后相减即可；
（2）先将括号内通分并相加，并将除法化为乘法，再约分即可．
【小问1详解】
解：原式，
，
；
【小问2详解】
解：原式，
，
，
21. 先化简，然后从，0，2，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
因为，，，即不能为，0，3
所以；当时，原式．
22. 解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
（1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以是原方程的解；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
检验：当时，，
所以是原方程的解；
23. 计算
（1）
（2）（结果化为只含正整数指数幂的形式）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算和负整数指数次幂运算，熟练掌握指数幂是解题的关键．
（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用负整数指数幂法则，以及除法法则计算即可得到结果．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
24. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
（1）填空：
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（2）请直接写出该分式化简后的正确结果： ．
【答案】（1）①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
（2）．
【解析】
【分析】（1）①根据分式的通分的定义进行判定即可得出答案；②根据去括号的法则即可得到第五步出现错误；
（2）应用分式的加减运算法则进行计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：①根据题意，以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的性质；
故答案为：三，分式的性质；
②第五步出现错误，出现错误的原因是括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
【小问2详解】
解：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算的法则进行求解是解决本题的关键．
25. 一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍．
（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天?
（2）若已知甲乙合做完成此项工程共需费用102000元，并且乙公司每天费用比甲公司每天费用少1500元，分别计算甲、乙单独完成此项工程各需多少费用并选择合理的施工方案．
【答案】（1）甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天
（2）甲100000元，乙105000元；从施工费用考虑，选择甲公司；从完工时间考虑，选择甲乙合作．
【解析】
【分析】（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程天，根据甲做的工作量＋乙做的工作量＝工作总量建立方程求出其解即可；
（2）设甲公司每天的施工费元，则乙公司每天的施工费元，根据甲、乙两公司合做，12天可以完成共需费用102000元即可建立方程求出每天费用．再计算比较即可．
【小问1详解】
解：设甲公司单独完成此工程天，则乙公司单独完成此项工程天，
根据题意，得，
解得，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴乙公司单独完成需要的时间为天．
答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天；
【小问2详解】
解：设甲公司每天的施工费元，则乙公司每天的施工费元，
根据题意，得，解得，，
∴甲公司单独完成此工程所需施工费：（元），
乙公司单独完成此工程所需施工费：（元），
从施工费用考虑，选择甲公司；
从完工时间考虑，选择甲乙合作．
【点睛】本题主要考查了分式方程实际应用，找准等量关系，列出方程是关键．
26. 请仔细阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：==2+=2，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：==1+．
（1）将分式化为带分式；
（2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？
（3）当x的值变化时，分式的最大值为 ．
【答案】（1）；（2）x=0，2，﹣2，4；（3）
【解析】
【详解】试题分析：（1）仿照阅读材料中的方法加你个原式变形即可；
（2）原式变形后，根据结果为整数确定出整数x的值即可；
（3）原式变形后，确定出分式的最大值即可．
试题解析:（1）原式==2+；
（2）由（1）得： =2+，
要使为整数，则必为整数，
∴x﹣1为3的因数，
∴x﹣1=±1或±3，
解得：x=0，2，﹣2，4；
（3）原式==2+，
当x2=0时，原式取得最大值．
故答案为.