内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了所有题目须在答题卡上作答．， 一元二次方程根的情况是等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：
1.本次考试设置的分值为100分，考试时间90分钟．
2.作答时，请将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上．
3.答选择题时，须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
4.答非选择题时，须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
5.所有题目须在答题卡上作答．
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．
1. 方程的解是（ ）
A. B. x=0
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴x=0或，
∴，，
故选：．
2. 把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，0B. 2，－5，0C. 2，－3，－1D. 2，5，0
【答案】B
【解析】
【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数、一次项系数、常数项的概念即可得出结果．
【详解】解：方程，
整理得：，
则二次项系数为2，一次项系数为－5，常数项为0．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数．
3. 将一元二次方程x2＋4x＋2＝0配方后可得到方程（ ）
A. （x﹣2）2＝2B. （x＋2）2＝2C. （x﹣2）2＝6D. （x＋2）2＝6
【答案】B
【解析】
【分析】首项为1的一元二次方程配方法的公式为．
【详解】原式x2＋4x＋2＝0
配方得=0
化为完全平方式得
化简得
移项得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程配方法，一元二次方程配方法步骤如下（1）化二次项系数为1. 当二次项系数不是1时，可提取二次项系数，但不能像解方程那样，除以二次项系数（因为二次三项式配方是恒等变形，而配方法解一元二次方程是同解变形）；（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此二次三项式的值不变，故在加的同时，还要减去一次项系数一半的平方；（3）配方后将原二次三项式化为的形式．
4. 若，那么一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；在方程ax2+bx+c=0中令x=1，则左边是a+b+c，因为a+b+c=0即当x=1时方程ax2+bx+c=0的左右两边相等，因而方程必有一根是1．
【详解】将x=1代入原方程可得：
a+b+c=0，
∴方程必有一根为1，
故选B.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键.
5. 已知关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查方程有实数根求参数范围，涉及一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系等知识，根据一元二次方程定义，得，再由一元二次方程根的情况与判别式关系列不等式求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，解得，
当时，则，解得；
综上所述，的取值范围是且，
故选：A．
6. 某市从2020年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2020年“竹文化”旅游收入约为4亿元．预计2022年“竹文化“旅游收入达到亿元，据此估计该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设年平均增长率约为x，利用2022年旅游收入和2020年旅游收入，即可得出关于x的一元二次方程，解方程其正值即可得出结论．
【详解】解：设该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为．
故选：C．
7. 、、是三边长，且关于的方程有两个相等的实数根，这个三角形是（ ）
A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的判别式解题即可.
【详解】根据题意得△=（-2c）2-4（a2+b2）=0，
即a2+b2=c2，
所以原三角形为直角三角形．
故选C．
【点睛】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有一个正根，一个负根
C. 有两个正根，且都小于3D. 有两个正根，且有一根大于3
【答案】D
【解析】
【详解】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x值．
详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+2＞3，x2=2﹣2，故有两个正根，且有一根大于3．
故选D．
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
9. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】B
【解析】
【详解】解：设这个航空公司共有飞机场共有x个．
x(x−1)＝15×2，
解得x₁＝5，x₂＝−4（不合题意，舍去）．
答：这个航空公司共有飞机场共有5个．
故选B．
10. 甲、乙两个同学分别解一道二次项系数是1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，牢记根与系数的关系是解决此类问题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系：可得常数项为，一次项系数为，进而即可得到答案．
【详解】解：由题意得：甲的常数项是对的，所以常数项为：，
乙的一次项系数是对的，所以是一次项系数为：，
原方程是，
故选B．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．
11. 一元二次方程根是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接解一元二次方程即可．
【详解】解：
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
12. 已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．把代入已知方程得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的值即可．
【详解】解：把代入，得：
，
解得：．
故答案为：．
13. 已知、是方程的两个实根，则________．
【答案】-4
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4代入数值计算即可．
【详解】解：由于x1+x2=3，x1x2=-2，
∴（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=-2-2×3+4=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系根与系数的关系求出两根之积或两根之和.
14. 已知，那么的值为______．
【答案】2022
【解析】
【分析】先计算出，再将换算成，最后将带入计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2022
【点睛】本题考查了求代数式的值，把所给式子代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．
15. 一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为________．
【答案】或
【解析】
【详解】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为()．
依题意得：，
解得:.
∴ 这个两位数为25或36．
16. 在中，，设，若是方程的两根，则斜边上的中线长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得到，再由勾股定理及完全平方公式求出斜边的长度，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得到答案．
【详解】解：是方程的两根，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
斜边上的中线长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求线段长，涉及一元二次方程根与系数关系、勾股定理、完全平方公式、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握相关知识，灵活求解是解决问题的关键．
三、解答题：本大题共有6小题，共52分．
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】本题考查配方法及因式分解法解一元二次方程，熟记一元二次方程的常规解法是解决问题的关键．
（1）先移项得到，再由配方法得到，最后直接开平方求解即可得到答案；
（2）先移项、系数化为1得，再由配方法得到，最后直接开平方求解即可得到答案；
（3）先提公因式得到，从而得到或，解一元一次方程即可得到答案；
（4）由十字相乘因式分解得到，从而得到或，解一元一次方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
移项得，
，
即，
，
，；
【小问2详解】
解：，
移项、系数化为1得，
，即，
，
，；
【小问3详解】
解：，
，
则或，
解得，；
【小问4详解】
解：，
，
则或，
解得，．
18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取正整数时，求此时方程的根．
【答案】（1）的取值范围为
（2）当取正整数时，此时方程的根为和
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出m=1，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解．
【小问1详解】
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的取值范围为；
【小问2详解】
为正整数，
，
原方程为，即，
解得：，，
当取正整数时，此时方程的根为和．
【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．
19. 阅读材料：为解方程，我们可以将看成一个整体，然后设①，那么原方程可化为，解得，.当时，，∴，∴.当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，.
解答问题：（1）上述解题，在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想.（2）请利用以上方法解方程.
【答案】（1）换元；（2），
【解析】
【分析】根据题意利用换元法来解方程即可．
【详解】解：（1）换元
（2）设，那么原方程可化为，解得，.
当时，，∴.
当时，（无意义，舍去）.
∴原方程的解为，.
【点睛】此题考查解高次方程，解题关键在于利用换元法解题.
20. 如图，在长15米、宽10米的矩形场地上，建有三条同样宽的走道，其中一条与平行，另两条与平行，其余的部分为草坪，已知草坪的总面积为126平方米，求走道的宽度．
【答案】走道的宽度为米
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及解一元二次方程，读懂题意，找到等量关系列出一元二次方程求解即可得到答案，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键．
【详解】解：设走道的宽度为，
，即，
，解得（大于矩形场地边长，舍去）或，
答：走道的宽度为米．
21. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为米．若围成的花圃面积为36平方米，求此时宽．
【答案】此时宽米
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系列出方程求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：设花圃的宽为米，则长米，
，即，
，解得或，
墙的最大可用长度为10米，
当时，长，不符合题意，舍去，
答：此时宽米．
22. 商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）；
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？
（3）若商场日盈利元，求的最大值．
【答案】（1）7200
（2）每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元
（3）的最大值为8450元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程求解是解决问题的关键．
（1）根据销量可得出降价的数目，根据降价后每件的利润销量日盈利进行计算即可；
（2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元，列出方程求解即可；
（3）表示出关于的方程，然后整理为关于的一元二次方程，根据判别式，可得出的最大值．
【小问1详解】
解：由销量增加了20件，得降价了10元，
日盈利（元，
故答案为：7200；
【小问2详解】
解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元，
由题意得：，
化简得：，解得：，，
该商场为了尽快减少库存，则不合题意，舍去，
，
答：每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元；
【小问3详解】
解：由（2）得，
化简得：，
由得，，解得：，
故的最大值为8450，