黑龙江省哈尔滨市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷-A4

这是一份黑龙江省哈尔滨市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷-A4，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷 选择题（68分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有1个选项符合题
意。
1．集合A=yy=x2,x∈R,B=xy=1−x，则A∩B=（ ）
A．∅B．RC．0,1D．−∞,1
2．已知复数z=2i1−i，则下列结论正确的是（ ）
A．z=2B．z的虚部是i
C．z在复平面对应的点位于第三象限D．z=1+i
3．设向量a=x+1,x,b=x,2，则（ ）
A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件B．“x=−3”是“a//b”的必要条件
C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件D．“x=−1+3”是“a//b”的充分条件
4．设等差数列an的前n项和为Sn，且满足a10，则实数m的取值范围是（ ）
A．1,+∞B．−∞,−2C．−∞,−2∪1,+∞D．−2,1
7．将函数fx=csωx+φω>0,φf0D．f−1+f00时，f(x)=2x−1−1,02，若关于x的方程[f(x)]2−(a+1)f(x)+a=0(a∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．−4B．4C．8D．−4或8
10．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(3−x)=4,f(x)的导函数为g(x)，函数y=g(1+3x)−1为奇函数，则f32+g2024=（ ）
A．−3B．3C．−1D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的4个选项中有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．2a−b>12
C．lg2a+lg2b≥−2D．a+b≤2
12．等差数列an中，a1>0，则下列命题正确的是（ ）
A．若a3+a7=4，则S9=18
B．若S15>0，S16a92
C．若a1+a2=5，a3+a4=9，则a7+a8=17
D．若a8=S10，则S9>0，S100在区间0,π恰有三个极值点，两个零点，则ω的取值范围是 .
16．设A,B,C是一个三角形的三个内角，则csA3sinB+4sinC的最小值为 .
四、解答题：本题共4小题，共64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（16分）已知向量m=3sinx2,sinx2+csx2，n=2csx2,sinx2−csx2，且函数fx=m⋅n−a在x∈R上的最大值为2−3．
(1)求常数a的值；
(2)求函数fx的单调递减区间．
18．（16分）已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x.
(1)讨论fx的单调性；
(2)当a−fm−2=f2−m，
又fx为R上的增函数，所以m2>2−m，
即m2+m−2>0，解得m1，
所以实数m的取值范围为−∞,−2∪1,+∞.
故选：C.
7．将函数fx=csωx+φω>0,φf0D．f−1+f00时，f(x)=2x−1−1,02，若关于x的方程[f(x)]2−(a+1)f(x)+a=0(a∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．−4B．4C．8D．−4或8
【答案】D
【分析】根据函数的解析式作出函数在x≥0时图象，换元f(x)=t解方程可得t=a或t=1，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分t=a=12与t=a=−12两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在x≥0时的图象，如图所示，

设f(x)=t，
则关于x的方程[f(x)]2−(a+1)f(x)+a=0(a∈R)的方程等价于 t2−(a+1)t+a=0,
解得：t=a或t=1，
如图，

当t=1时，即f(x)=1对应一个交点为x1=2，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1）t=a=12，即f(x)=12对应3个交点，且 x2+x3=2,x4=4，
此时4个实数根之和为8；
（2）t=a=−12，即f(x)=−12对应3个交点，且 x2+x3=−2, x4=−4，
此时4个实数根之和为−4.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解t=a或t=1，
第二结合函数图象处理方程f(x)=t有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
10．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(3−x)=4,f(x)的导函数为g(x)，函数y=g(1+3x)−1为奇函数，则f32+g2024=（ ）
A．−3B．3C．−1D．1
【答案】B
【分析】根据题意，利用赋值法分析f32的值，对f(x)+f(3−x)=4求导，结合g(x)的对称性分析g(x)的周期，分析求出g(2024)的值，即可得答案.
【详解】根据题意，f(x)满足f(x)+f(3−x)=4，令x=32可得：f32+f3−32=f32+f32=4，则有f32=2，
又由f(x)+f(3−x)=4，两边同时求导可得：
f′(x)−f′(3−x)=0，即g(x)=g(3−x)①，
因为函数y=g(1+3x)−1为奇函数，
所以g(1−3x)−1=−[g(1+3x)−1]=−g(1+3x)+1，
即，g(1−3x)+g(1+3x)=2
所以g(x)的图象关于点(1,1)对称，
则有g(x)+g(2−x)=2②，且g(1)=1，
联立①②可得：g(3−x)+g(2−x)=2，变形可得g(x)+g(x+1)=2，
则有g(x+1)+g(x+2)=2，
综合可得：g(x+2)=g(x)，
即函数g(x)是周期为2的周期函数，
所以g(2024)=g(2)=g(1)=1，
故f32+g2024=2+1=3.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及导数的计算，解题的关键在于利用导数、奇偶性求解函数g(x)的周期.
二、多选题
11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．2a−b>12
C．lg2a+lg2b≥−2D．a+b≤2
【答案】ABD
【分析】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，a2+b2=a2+1−a2=2a2−2a+1 =2a−122+12≥12，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；
对于B，a−b=2a−1>−1，所以2a−b>2−1=12，故B正确；
对于C，lg2a+lg2b=lg2ab≤lg2a+b22=lg214=−2，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，
所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
12．等差数列an中，a1>0，则下列命题正确的是（ ）
A．若a3+a7=4，则S9=18
B．若S15>0，S16a92
C．若a1+a2=5，a3+a4=9，则a7+a8=17
D．若a8=S10，则S9>0，S100，
对于A，a3+a7=4，S9=9(a1+a9)2=9(a3+a7)2=18，A正确；
对于B，S15=15(a1+a15)2=15a8>0，则a8>0，S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)