高考数学一轮复习：5 平面向量与复数-重难点突破1练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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侧重于从投影入手体现几何意义，如平面向量数量积a·b＝|a||b|cs θ，其几何意义为其中一个向量长度乘以另一个向量在其方向上的投影，解题时可结合向量的投影来探寻联系，从而转化为数量积问题．
二、基向量法
解题时有时无法获取对应向量数量积的要素，如模和夹角，此时就可以考虑采用基底法．先设定两个不平行的向量作为基底，然后将所需向量表示出来，最后根据条件进行最值分析．
三、坐标法(数形结合法)
把几何图形放在适当的坐标系中，将向量坐标化，利用向量之间的坐标运算来解答．坐标法是高考中常用的解题技巧，其核心知识点为向量数量积的运算法则，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
一．选择题（共20小题）
1．（2023•宣化区校级三模）已知正方形的边长为2，是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是
A．，B．C．，D．，
【解答】解：当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，
正方形的边长为2，圆的半径为，
如图所示：
则，，
，
点为正方形四条边上的动点，
，又，
，
故选：．
2．（2023•榆林一模）的内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为
A．B．C．，D．，
【解答】解：因为，由正弦定理得，
又，
所以，
因为，
所以，故．
故选：．
3．（2023•重庆模拟）已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：作，则，如图，
，
，与成角，且，点在射线上，
，
的取值范围为：．
故选：．
4．（2023•广东模拟）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，，
所以，即恒成立，
则△，解得，
故，的夹角的取值范围是．
故选：．
5．（2023•鼓楼区校级模拟）在矩形中，，．若，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：在矩形中，，，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
又，
则可设，其中，，
则，，
则，
又，，
则，，
故选：．
6．（2023•思明区校级四模）已知直线与圆相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是
A．B．C．，D．，
【解答】解：点为线段的中点，，
由平面向量数量积的几何意义知：，
直线与圆相交，圆心到直线的距离，，
，．
故选：．
7．（2023•河南三模）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由题可知在上的投影数量的取值范围为，
又因为，
所以的取值范围是．
故选：．
8．（2023•开封二模）已知等边的边长为，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是
A．B．C．，D．，
【解答】解：以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
由题意设，，
则，，
，
，，可得，．
故选：．
9．（2023•厦门模拟）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为
A．B．，C．D．，
【解答】解：由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又，而，若外接圆半径为，
因为，
，
，
两边平方得，，
，
则，
故，且，即，
由，
对于且在圆上，当为直径时，当，重合时，
，
综上，，
锐角三角形中，则，即恒成立，
，则恒成立，
综上所述，的取值范围为，．
故选：．
10．（2023•河南模拟）在锐角三角形中，，，则边上的高的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：设的内角，，的对边分别为，，，
则边上的高，
由正弦定理得．
由为锐角三角形，可知，
则，
所以，从而，
因此边上的高的取值范围是．
故选：．
11．（2023•合肥模拟）已知线段的中点为等边三角形的顶点，且，当绕点转动时，的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：以点为原点，以与平行的直线为轴，与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，易知、两点都是圆上的动点，
方法一：当直线斜率不存在时，，，
此时，，则，
当直线斜率不存在时，可设直线的方程为，
当时，联立，解得，，
则，，，，
，
，
同理，当时，，，
，，
综上所述，的取值范围是，；
方法二：设点，，，
则，
，，
，
，，，．
故答案选：．
12．（2023•重庆模拟）已知向量的夹角为，，若对任意的、，且，，则的取值范围是
A．，B．，C．D．
【解答】解：已知向量的夹角为，，
则，
所以，
所以对任意的、，且，，则，
所以，即，设，即在上单调递减，
又时，，解得，
所以，，在上单调递增；
，，，在，上单调递减，
所以．
故选：．
13．（2023•盐山县校级三模）在中，若，，，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：因为，
所以为的外心，且为外接圆上一动点，
又，，
所以外接圆的半径．
如图，
作，垂足为，则．
所以，当与圆相切时，取最值，即在处取最大值6，
在处取最小值．
故选：．
14．（2022•滨州二模）在中，为边上任意一点，为线段上任意一点，若，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：由题意，设，，
当时，，所以，
所以，从而有，
当时，因为，，
所以，即，
因为、、三点共线，所以，即，，
综上，的取值范围是，．
故选：．
15．（2023•姜堰区模拟）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：由平面向量，，均为单位向量，且，
根据向量的减法的几何意义，可得，向量夹角为，
则
，
所以当与同向时，原式取到最小值；
当与反向时，原式取到最大值4．
故选：．
16．（2023•迎江区校级模拟）已知点为锐角的外接圆上任意一点，，，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：因为，
所以，
设的外接圆的半径为，
则，
在中，由正弦定理得，
又，所以，
则，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，，
所以，
又可得，则，
所以，，
又，在上都为增函数，
所以，故，
又，，，
所以，
故，
所以，当时，即点与点重合时等号成立，
所以的取值范围为，．
故选：．
17．（2023•郑州三模）已知中，，，，，，，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：由平面向量的加法法则可得，就是点到的距离，
，是的平分线，
，
即，
，，
，，，
为等腰直角三角形，，
设，为斜边的两个四等分点，
，，且，
，，三点共线且在的两个四等分点之间运动，
，，，
由图易得：当时，最小，此时，
，，
当在时，最大，此时在中，
由余弦定理有：．
的取值范围为．
故选：．
18．（2023•天津二模）在平面四边形中，，，．若、为边上的动点，且，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，设、交于．不妨设点到点的距离大于点到点的距离，
，且，
平面四边形是平行四边形，
设，，
，
，平面四边形是菱形，
又，，
，又，，
，
，
设的中点为，则，，
，
又易知的最小值为，
的最大值为，
的最小值为，的最大值为，
的取值范围为，．
故选：．
19．（2023•开封三模）等腰直角三角形的直角顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且，为坐标原点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得：为直角三角形，且，
不妨设，，其中，
如图所示，由等腰直角三角形的性质及全等三角形性质易得：
点坐标为，
，
又，，
，．
故选：．
20．（2023•渝中区校级模拟）已知平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是
A．，B．C．D．
【解答】解：，
，即，
，则，
，
，可得，
．
故选：．
二．多选题（共6小题）
21．（2023•浉河区校级模拟）已知曲线上的动点满足，为坐标原点，直线过和两点，为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，，，为切点，则
A．点与曲线上点的最小距离为
B．线段长度的最小值为
C．的最小值为3
D．存在点，使得的面积为3
【解答】解：已知曲线上的动点满足，为坐标原点，
则点的轨迹方程为，
又直线过和两点，
则直线的方程为，
对于选项，圆的圆心到直线的距离为，
则点与曲线上点的最小距离为，
即选项错误；
对于选项，，
即选项错误；
对于选项，由题意可得，
则，
则，
又，
则的值随着的值增大而增大，
即当取最小值时，取最小值3，
即选项正确；
对于选项，由题意可得，
又，
显然当时，的面积随着的增大而减小，
即时，的面积取最小值，
又，
即存在点，使得的面积为3，
即选项正确．
故选：．
22．（2023•桐城市校级一模）在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是
A．若点在上时，则
B．的取值范围为，
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
【解答】解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，设，，，，
，
，，，，，
对于，由题意可得线段的方程为，，，
点在上，，
，，
，故正确；
对于，，，，
，，，，，
，，故错误；
对于，，，，
，，，，
，，
，则，，
，不满足，
不成立，故错误；
对于，，当且仅当时取等号，
当在线段上时，的最小值为，故正确．
故选：．
23．（2023•黄州区校级二模）如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是
A．当为线段上的中点时，
B．的最大值为
C．的取值范围为，
D．的取值范围为
【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：
设，
所以，，，
设，则，
由于，所以，，，，整理得，，则，，
对于：当为上的中点时，则，故，故正确；
对于，由于，当时的最大值为，故正确；
对于：由于，，所以，故的取值范围为，，故正确；
对于，，故的取值范围为，，故错误．
故选：．
24．（2023•香坊区校级三模）已知的三个内角，，所对边的长分别为，，，若，则下列正确的是
A．的取值范围是
B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若是锐角三角形，平分交于点，且，则的最小值为
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
即，又，所以，
，
因为，
所以，，所以，
所以，故错误；
因为，所以，
所以，
，当且仅当，即时取等号，，
的面积的最大值为，故正确；
，
是锐角三角形，，
，，
，，故正确；
由题意得：，
可得：，
可得：，
得
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为，故正确．
故选：．
25．（2023•湖南模拟）如图，正方形的边长为2，是正方形的内切圆上任意一点，，则
A．的最大值为4B．的最大值为
C．的最大值为2D．的最大值为
【解答】解：以为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，
则，，
内切圆的方程为，
可设，
则，，
所以，当，即为的中点时取等号，
所以的最大值为4，正确；
因为，
所以，当，即时等号成立，
所以的最大值为，错误，
由，可得，，，，，
得，，
，，
当，即时，所以所以的最大值为，正确，
当，即时，所以所以的最大值为，正确．
故选：．
26．（2023•葫芦岛二模）已知向量满足，，，．则下列说法正确的是
A．若点在直线上运动，当取得最大值时，的值为
B．若点在直线上运动，在上的投影的数量的取值范围是
C．若点在以为半径且与直线相切的圆上，取得最大值时，的值为3
D．若点在以为半径且与直线相切的圆上，的范围是，
【解答】解：因为，即有，
则以点为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则，，由，得，
点，确定的直线方程为：，即，
当点在直线上时，，即，，
因此当时，取得最大值，
此时，，错误；
在上的投影的数量为，
当时，，当时，，当且仅当时取等号，即，
当时，，
因为恒成立，则，
所以，即在上的投影的数量的取值范围是，正确；
当点在以为半径且与直线相切的圆上时，
因为与直线相切，且半径为的圆的圆心轨迹是与直线平行，且到直线距离为的两条平行直线，
设这两条与平行的直线方程为，，
则，解得或，
因此动圆圆心的轨迹为直线或直线，
设圆心为，则点在圆上，其中或，
于是令，
则
，显然点是直线或上任意一点，
即，，从而无最大值，即无最大值，错误；
，其中锐角满足，
显然，当圆心在直线时，，则，，
当圆心在直线时，，则，，
所以的范围是，，正确．
故选：．
三．填空题（共9小题）
27．（2023•沈阳三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ，， ．
【解答】解：，，与的夹角是锐角，
则且、不同向，即，解得且，
故实数的取值范围是，，．
故答案为：，，．
28．（2023•广陵区校级模拟）已知平面直角坐标系内的两个向量，，，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成，为实数），则的取值范围是 ，， ．
【解答】解：平面内的任一向量都可以唯一的表示成，为实数），则，为基底，即基底不共线．
，
．
故答案为：，，．
29．（2023•漳州模拟）已知，点满足，点为线段上异于，的动点，若，则的取值范围是 ．
【解答】解：由题意设，，因为，所以，
所以，
又，则，
所以，
又因为，由二次函数得性质得，
所以得取值范围为．
故答案为：．
30．（2022•宝山区校级二模）已知单位向量，的夹角为，若，则的取值范围是 ．
【解答】解：由题意，，．
，，，则，，
的取值范围是．
故答案为：．
31．（2023•海淀区校级模拟）已知点是边长为4的正方形的中心，点是正方形所在平面内一点，，若．
（1）的取值范围是 ；
（2）当取得最大值时， ．
【解答】解：（1）建立以为原点的坐标系，如图所示：
由可得的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
设，则有，
所以，
又因为，
所以，
由的轨迹方程可知，
即，所以，
所以的范围为：；
（2）将代入，得，
所以点在圆上，
设，
则，
所以当时，取最大值，此时，
所以，
所以，
所以．
故答案为：；．
32．（2023•盐城三模）在中，，，，则的取值范围是 ．
【解答】解：根据正弦定理得，即，
，
，
，，
，
即的取值范围．
故答案为：．
33．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量满足，则的取值范围是 ．
【解答】解：不妨设，则，
由，可得，
则，
所以的取值范围是．
故答案为：．
34．（2023•黄浦区模拟）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意可知，
向量在方向上的投影向量为，
，
的取值范围是，
．
故答案为：．
35．（2023•武清区校级模拟）在四边形中，，，，则 ；若，分别是边，上的点，且满足，则当时，的取值范围是 ．
【解答】解：在四边形中，，，，
四边形为等腰梯形，，，
，，
．
，，，
，，，
，，
，
，，
解得或，
，，
的取值范围是，
故答案为：，．