高考数学一轮复习：5 平面向量与复数-专题2练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146662364" 题型一： 平面向量基本定理及其应用 PAGEREF _Tc146662364 \h 3
\l "_Tc146662365" 题型二： 平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc146662365 \h 4
\l "_Tc146662366" 题型三： 平面向量坐标应用 PAGEREF _Tc146662366 \h 6
\l "_Tc146662367" 题型四： 共线向量坐标表示及其应用 PAGEREF _Tc146662367 \h 12
\l "_Tc146662368" 题型五： 利用向量求最值问题 PAGEREF _Tc146662368 \h 14
知识点总结
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐标运算
①平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R)．
②向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
③向量坐标的求法
a．若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
b．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up15(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
3．平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(3)平面向量基本定理的推论：
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得eq \(OP,\s\up15(→))＝(1－t)eq \(OA,\s\up15(→))＋teq \(OB,\s\up15(→)).特别地，当t＝eq \f(1,2)时，点P是线段AB的中点．
②对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得eq \(OP,\s\up15(→))＝λeq \(OA,\s\up15(→))＋μeq \(OB,\s\up15(→))，且λ＋μ＝1.
常用结论与知识拓展
已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，△ABC的重心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
例题精讲
平面向量基本定理及其应用
【要点讲解】(1)合理选择基底，注意基底必须是两个不共线的向量．
(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用基底表示出来．
(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
注意：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：对，不能用表示，故，不共线，所以符合；
对，，所以，共线，故不符合；
对，不能用表示，故，不共线，所以符合；
对，不能用表示，故，不共线，所以符合．
故选：．
设，是同一平面内两个不共线的向量，以下不能作为基底的是
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：根据两不共线向量可以作为平面内一组基底，
则选项中因为，即两向量共线，所以不可以，
故选：．
已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：是平面内两个不共线的向量，
对于A，，即向量共线，A不是；
对于B，，即向量共线，B不是；
对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是．
对于D，，即向量共线，D不是．
故选：C．
平面向量的坐标运算
【要点讲解】(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；
(2)注意待定系数法的应用．先求出有关向量的坐标，再用“向量相等，则坐标相同”这一结论，列方程(组)进行求解．
已知，，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
．
故选：．
若向量，，则
A．B．C．D．
【解答】解：向量，，则，
故选：．
已知向量，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
．
故选：．
已知向量与，且，则
A．B．C．1D．4
【解答】解：向量与，且，
．
故选：．
如果向量，，那么等于
A．B．C．D．
【解答】解：向量，，
则于，，，，，，，
故选：．
平面向量坐标应用
如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则
A．2B．C．D．
【解答】解：以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，则，，，．
，
，解得．
．
故选：．
已知矩形中，，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
如图所示的矩形中，，满足，为的中点，若，则的值为
A．B．C．D．2
【解答】解：由题意可知，，
，
因为为的中点，
所以，
所以，，．
故选：．
在中，点，满足与交于点，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为在上，故，所以存在唯一实数，使得，又，故为的中点，
所以，所以；同理存在，使得，
又，
所以，所以，所以，所以，所以．
故选：．
如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意及图，，
又，，所以，，
又，所以，解得，，
故选：．
向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则
A．B．C．4D．2
【解答】解：设正方形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系
则易知，，，
，
，，，，
解得，，，故．
故选：．
如图，在中，点是的中点．过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为
A．1B．2C．D．
【解答】解：由已知得，
结合，，所以．
又因为，，三点共线，所以，
所以．
故选：．
中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
【解答】解：因为，所以，
所以，
因为、、三点共线，所以，故错误；
则，则，
即最大值为，当且仅当，即，时取等号，故正确；
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故错误；
，当且仅当，时取等号，
所以的最小值为，故正确．
故选：．
设为的重心，过作直线分别交线段，（不与端点重合）于，．若，．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）连接并延长，交于，则是的中点，设，
，
，．
，，三点共线，故存在实数，使，
，；
（2）由（1）得，
，，，解得．．
．
当时，取得最小值，当或2时，取得最大值．
的取值范围是，．
共线向量坐标表示及其应用
【要点讲解】)利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题；
利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
已知向量，，，若，则 ．
【解答】解：，
，
所以
故答案为：
已知向量，，若与共线，则等于
A．B．C．D．2
【解答】解：，，与共线，
，，则，
故选：．
已知平面向量，，若与共线，则实数
A．B．8C．D．2
【解答】解：因为，，
所以，
因为与共线，所以，
解得．
故选：．
已知向量，，，若，则 ．
【解答】解：由题意可得，
，
，，，
，，解得，
故答案为 5．
设向量，，若向量与向量共线，则 ．
【解答】解：向量，，若向量，
又向量与向量共线，
，
．
故答案为：2．
已知向量，，，若，则实数 ．
【解答】解：向量，，，
，
，
，
解得．
实数．
故答案为：．
已知向量，，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为向量，，
若，则，即，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
利用向量求最值问题
如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 ．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
，
，，，
，，，，．
，，，
，，，
，．
设，
与比较，可得：，，
解得．
，，，，
．
故答案为：．
在中，已知，，点满足，其中满足，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，所以，
所以，
则，
所以当时，取最小值，
则的最小值为，
故选：．
如图，在四边形中，，，，，，，则
A．B．2C．3D．6
【解答】解：以为坐标原点，以为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，
故，
则由可得，
即，，
故．
故选：．
中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是
A．的最小值为16B．的最大值为
C．的最大值为16D．的最小值为4
【解答】解：因为为上一点且满足，
所以，因为，则，
又为上一点，所以，，三点共线，则有，
由基本不等式可得，，解得，当且仅当时取等号，
故的最大值为，故选项错误，选项正确；
由公式可得，，当且仅当时取等号，
故的最小值为4，故选项错误，选项正确．
故选：．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．在中，点在线段上，，则
A．B．C．D．1
【解答】解：因为点在线段上，
所以存在实数，使得，
由平面向量的减法法则可得：，
即，
所以，
又，
所以，所以．
故选：．
2．已知向量，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意．
故选：．
3．如图，在中，，，设，，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为，所以．
因为，所以．
故选：．
4．若向量，则向量的坐标为
A．B．C．D．
【解答】解：，
．
故选：．
5．已知O为△ABC的重心，AD＝2DC，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：取BC的中点M，
因为O为△ABC的重心，
所以，
又因为AD＝2DC，所以，
则＝＝＝．
故选：B．
6．下列各组向量中，可以作为基底的是
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：对于，，不可以作为基底，错误；
对于，，， 共线，不可以作为基底，错误；
对于， 与 为不共线的非零向量，可以作为一组基底，正确；
对于，，， 共线，不可以作为基底，错误．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量的基底的是
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：，
，不共线，
，可作为一组基底，
故选项正确；
同理可判断，
选项、正确，选项错误；
故选：．
8．已知，则下列结论正确的有
A．
B．与方向相同的单位向量是
C．
D．与平行
【解答】解：，则，正确；
与方向相同的单位向量是，正确；
，而，所以，正确；
因，则与不平行，不正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．如图，在中，向量，且，则 1 ．
【解答】解：，，，三点共线，
，
，
故答案为：1．
10．已知中，，，，为的外心，若，则的值为 ．
【解答】解：由题意可知，为的外心，
设半径为，在圆中，过作，，垂足分别为，，
因为，两边乘以，即，的夹角为，而，
则，得①，
同理两边乘，即，，
则，得②，
①②联立解得，，
所以．
故答案为：．
11．如图，点，是线段的三等分点，以为基底表示 ．
【解答】解：因为、是线段的三等分点，所以，
故
．
故答案为：．
12．半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则 ．
【解答】解：建立直角坐标系，如图所示，．
，．
，即．
．
，即．
．
．
，解得．
．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
13．已知平面上两点、的坐标分别为、，求的单位向量的坐标．
【解答】解：，，
的单位向量．
14．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点．求证：．
【解答】证明：因为，，，分别是边，，，的中点，
所以在中，为中位线，所以且，
所以，
在中，为中位线，所以且，
所以，
所以．
15．如图，在四边形中，，，，，是的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若，与交于点，求．
【解答】解：如图建立直角坐标系：
（1）由题意易知，，，，则，．
因为是的中点，所以点坐标为，则．
令，则，，，，解得，．
所以．
（2）因为，所以点坐标为，又点坐标为，所以直线的方程为，整理得到①．
因为点坐标为，点坐标为，所以直线的方程为，整理得到②．
联立①②，解得点坐标为，．
则，，则．