高考数学一轮复习：5 平面向量与复数-专题3练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：5 平面向量与复数-专题3练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题03平面向量的数量积及应用原卷版docx、专题03平面向量的数量积及应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146662454" 题型一： 平面向量数量积的运算 PAGEREF _Tc146662454 \h 4
\l "_Tc146662455" 题型二： 求平面向量的模 PAGEREF _Tc146662455 \h 6
\l "_Tc146662456" 题型三： 向量积求范围 PAGEREF _Tc146662456 \h 9
\l "_Tc146662457" 题型四： 平面向量中的投影 PAGEREF _Tc146662457 \h 16
\l "_Tc146662458" 题型五： 求平面向量的夹角 PAGEREF _Tc146662458 \h 18
\l "_Tc146662459" 题型六： 平面向量的垂直问题 PAGEREF _Tc146662459 \h 20
\l "_Tc146662460" 题型七： 平面向量与三角函数 PAGEREF _Tc146662460 \h 22
知识点总结
1．向量数量积的定义
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．向量的投影
(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(CD,\s\up15(→))＝b，作如下的变换：过eq \(AB,\s\up15(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up15(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up15(→))，则称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up15(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cs θe.
3．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
4．向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)；
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))eq \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)).
(4)设θ是a与b的夹角，则
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
常用结论与知识拓展
1．数量积的有关结论
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b