高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-跟踪训练5（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则
A．B．C．2D．
【解答】解：因为，故与垂直，
故，解得．
故选：．
2．在三棱柱中，可以作为空间向量一组基底的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解答】解：如图所示：
对于，由于向量，，是共面向量，，所以，，是共面向量，所以不能作为基底，所以错误，
对于，因为，，是共面向量，故不能作为基底，所以错误，
对于，因为，，这三个向量不共面，所以能作为一组基底，所以正确，
对于，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以错误，
故选：．
3．如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．则与分别等于
A．和B．和C．和D．和
【解答】解：已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．
故：，
所以；
．
故选：．
4．已知，，，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，，
所以，
则．
故选：．
5．正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，设、分别为、的中 点，作平面，垂足为，
则由正四面体的性质可得，正四面体的外接球的球心在上，
因为正四面体的棱长为，且为正三角形，
所以，，
设四面体外接球的半径为，则，，
即，解得．
因为，所以，外接球的球心到弦的距离．
根据向量的运算可知：，
因为是四面体外接球的球面上任意一点，则 即，
则，
则的最大值为．
故选：．
6．已知，，，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：因为，，
所以，
因为
所以．
故选：．
7．空间一点，3，出发的一束光线射到平面上反射后，经点，2，出去，则该束光线从到所经历的路程是
A．2B．C．D．
【解答】解：由题意画出图象如图，
，2，关于平面的对称点为：，2，
则
故选：．
8．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
A．B．
C．D．
【解答】解：对于，因为，所以选项中的向量共面，故错误；
对于，因为，所以选项中的向量共面，故错误；
对于，因为，故共面，故错误；
对于，设，则，此方程组无解，不存在实数，，使得共面，所以不共面，故正确．
故选：．
9．已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则
A．9B．8C．3D．
【解答】解：由题意，1，，，3，，，4，，则，2，，
所以，
所以．
故选：．
10．已知，2，，，1，，，0，若，则的值为
A．B．1C．2D．
【解答】解：，2，，，1，，，0，，
，，，，，
，
解得，
故选：．
11．如图，正五边形放入某平面直角坐标系后，若顶点，，，的坐标分别是，，，，则点的坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：因为正五边形放入某平面直角坐标系后，顶点，，，的坐标分别是，，，，
所以点在轴，平行轴，
所以与关于轴对称，
所以点的坐标是，
故选：．
12．在空间直角坐标系中，以，1，，，，，，4，为顶点的三角形是等腰三角形，其中，则的值为
A．B．4C．或4D．6或4
【解答】解：如果点，1，，，，，，4，为顶点的是以为底边的等腰三角形，
，
，
，，
方程无解．
如果点，1，，，，，，4，为顶点的是以为底边的等腰三角形，
，
，
．
，
方程无解．
如果点，1，，，，，，4，为顶点的是以为底边的等腰三角形，
，
，
．解得．
故选：．
13．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），，分别为棱，的中点，则
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：
由正八面体的性质可得，，则，
．
故选：．
14．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为为 与 的交点，
所以
，
故．
故选：．
15．如图，在平行六面体中，，，为的中点，则用向量，，可表示向量为
A．B．C．D．
【解答】解：在平行六面体中，，，，为的中点，
故．
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．已知空间内不同的四点、、、，空间内不共线的三个向量、、，、，则下列命题正确的是
A．“”是“、、、共面”的充分且必要条件
B．“”是“与、共面”的充分且必要条件
C．若，则
D．一定存在一组实数、，使得成立
【解答】解：选项，若，则、、、四点一定共面，
、、、为空间内不同的四点，、、均为非零向量，
若、、、共面，则，
“”是“、、、共面”的充分且必要条件，对，
选项，与不共线，若，则，对，
选项，若，则与、一定共面，
、、为空间内不共线的三个向量，、、均为非零向量，
若与、共面，则，
“”是“与、共面”的充分且必要条件，对，
选项，与不共线，当与、所在的平面垂直时，不成立．
故选．
17．下列说法，不正确的是
A．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量
B．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量
C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
D．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
【解答】解：对于，由，得到是坐标平面的一个法向量，故正确；
对于，当时，不合题意，故错误；
对于，由为空间的一个基底，得不共面，
假设共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，显然不成立，
故不共面，
故构成空间的另一个基底，故正确；
对于，若，
则当且仅当时，，，，四点共面，
而，，
故，，，四点不共面，故错误．
故选：．
18．已知三个非零向量，，共面，则
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，则存在实数，使
【解答】解：对于，，，根据相等向量的定义可得，故正确；
对于，若，，因为它们为共面向量，则，故正确；
对于，由得，因为，，是三个非零向量，
所以得，无法推出，故错误；
对于，因为，为非零向量，由平面向量共线定理可知，若，则存在唯一的实数，使，故正确．
故选：．
19．如图，，，两两垂直，且，，，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则
A．点关于直线的对称点的坐标为，2，
B．点关于点的对称点的坐标为，2，
C．夹角的余弦值为
D．平面的一个法向量的坐标为，1，
【解答】解：，，两两垂直，且，，，以点为坐标原点，
，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，
对于，设点关于直线的对称点为，则四边形为正方形，
所以坐标为，2，，故正确；
对于，设点关于点的对称点为，则中点为，
由，0，，，2，得，4，，故错误；
对于，由，得，
所以夹角的余弦值为，故错误；
对于，因为，设平面的一个法向量的坐标为，，，
则，取得平面的一个法向量的坐标为，1，，故正确．
故选：．
20．下列关于空间向量的命题中，正确的有
A．已知向量、则、与任意向量都不能构成空间的一个基底
B．若，，，四点共面，则
C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．在四面体，，，中，若，则
【解答】解：对于：由空间基底的定义得正确；
对于：当，，三点共线，不在此直线上时，不存在实数组使得，故错误；
对于：因为是空间的一个基底，可知，，两两不共线，所以，，两两也不共线，所以，，也可作为一个基底，所以正确；
对于：若，即，，
即，，
两式相加可得，可得，即，所以正确．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．已知空间向量，2，，，3，，且与相互垂直，则实数的值为 ．
【解答】解：，2，，，3，，
，2，，3，，，，
与相互垂直，
，
解得：．
故答案为：．
22．与同向的单位向量是 ，， ．
【解答】解：与，2，同向的单位向量为：
，，．
故答案为：，，．
23．在空间直角坐标系上，有一个等边三角形，其中点在轴上．已知该等边三角形的边长为2，重心为，点，在平面上，若在轴上的投影是，则 （用字母表示）．
【解答】解：如图，设的中点为，连接，
因为等边三角形的重心为，所以，
设在轴上的投影是，则，
又在轴上的投影是，所以，
因为该等边三角形的边长为2，在中，，
同理可得，
因为，
所以
．
故答案为：．
24．已知向量，则 3或 ．
【解答】解：，
所以，解得或者．
故答案为：3或．
25．已知点，1，、，0，，若，且，求的坐标 ，， ， ．
【解答】解：点，1，、，0，，
，，，
设，，，
，
，
解得，
，，或，1，．
故答案为：，，或，1，．
四．解答题（共3小题）
26．如图，在三棱锥中，，，点，分别是，的中点．
（1）求的值；
（2）求异面直线，所成角的余弦值．
【解答】解：（1）连接，因为，，点，分别是，的中点，
所以，，又因为平面，平面，，所以平面，
又因为平面，所以，
所以，，
所以
；
（2）因为，
舍异面直线，所成的角为，
则，．
27．如图所示，在平行六面体中，、分别在和上，且，．
（1）证明、、、四点共面；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）证明：，
又，
又，
，
，
故、、、四点共面；
（2），
又，
，，，．
28．已知在正三棱锥中，点，分别是线段，的中点，记，，．
（1）分别用，，来表示向量，；
（2）若，，是两两垂直的单位向量，求向量与的数量积．
【解答】解：（1）因为点，分别是线段，的中点，
所以，．
（2）因为，，是两两垂直的单位向量，
所以，，
所以，
故向量与的数量积为．