高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-专题6练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-专题6练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题76向量法求空间角和距离原卷版docx、专题76向量法求空间角和距离解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154093366" 题型一： 异面直线所成角 PAGEREF _Tc154093366 \h 2
\l "_Tc154093367" 题型二： 直线与平面所成角 PAGEREF _Tc154093367 \h 9
\l "_Tc154093368" 题型三： 平面与平面的夹角 PAGEREF _Tc154093368 \h 18
\l "_Tc154093369" 题型四： 点到平面的距离 PAGEREF _Tc154093369 \h 26
知识点总结
用空间向量研究距离、夹角问题
例题精讲
异面直线所成角
【要点讲解】找出两条异面直线的方向向量，结合数量积的运算，利用向量的夹角公式和异面直线所成角的范围即可求得答案．
在长方体中，已知，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，，
由几何体的特征可得，
所以异面直线与所成角为，
设，则，，
所以，，
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：设与所成角为．
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．
则，0，，，1，，，1，，，0，，
，，0，，，
设，
则，．
，，
当时，，；
当时，，，
此时，，
当且仅当时等号成立．
．
故选：．
如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于
A．B．C．D．
【解答】解：如图，将该几何体补成一个直四棱柱，由题易得底面为菱形，且为等边三角形．
连接，，易得，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．
设，则，
所以．
故选：．
如图所示，在正方体中，为线段上的动点，则下列直线中与直线夹角为定值的直线为
A．直线B．直线C．直线D．直线
【解答】解：设正方体的棱长为1，如图，以为原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，
设，，，，，则，，
，，，
，不是定值，故错；
，不是定值，故错；
，所以直线与直线所成角为，故正确；
，不是定值，故错．
故选：．
某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：取正方体的相邻两个面，，
它们的中心分别为，，是对应钟面圆心，
0点时，两个钟面时针分别指向点，，
显然，直线，分别为正方体相邻两个正方形的面对角线所在直线，
它们成的角，即两个钟面时针分别指向点时，两个时针所成的角为，
当两个钟面时针分别指向点，时，有，
因此当时针从0点转到3点的过程中，两个时针所在直线所成的角从逐渐增大到，
令成角的位置时针分别指向棱，上的点，，
如图，建立空间直角坐标系，令，
则，1，，，2，，设，
显然，则，，，，2，，
，，
，解得，
因此时针从0点转到3点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有1个，
同理时针从3点转到6点，6点转到9点，9点转到12点，两个时针所成的角为的位置各有1个，
所以从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有4个．
故选：．
正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，则，
则（或其补角）为异面直线与所成角，
设正方体的棱长为，则在中，，，
由余弦定理得，
即异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
直线与平面所成角
【要点讲解】利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：①通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角). 注意：直线与平面所成角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：（法一）
取的中点，连接，，
因为直三棱柱中，为的中点，
所以，且，
因为，分别，的中点，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（法二）
取的中点，连接，，
由直三棱柱可得四边形为平行四边形，
又因为为的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
因为点，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
而，平面，平面，
所以平面平面，
而平面，
所以平面．
（2）因为在直三棱柱中又有，
所以，，两两垂直，分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，0，，，2，，，1，，，1，，
所以，，，
设是平面的法向量，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角的余弦为．
如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面所成的锐角的余弦值为，试判断点的位置．
【解答】（1）证明：因为是等边三角形，点是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
（2）解：在平面中，作，以为坐标原点，
，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示，
因为为等边三角形，，，
则，，，0，，
因为，所以，
设，，则，
所以，
，，，
设平面的一个法向量为，
可得，令，得，
设平面的一个法向量为，
可得，令，得，
设平面与平面所成角为，
则，
又因为，解得，
即平面与平面所成的锐角的余弦值为时，点与重合．
如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：设，连接，
由于，，所以四边形是平行四边形，
所以，
由于平面，平面，
所以平面；
（2）解：依题意，面面，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
平面的法向量为，
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设平面与平面的夹角为，
则．
如图，已知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由题意可得：，，1，，
，，
设为平面的法向量，
则有：，
令，则平面的法向量，2，，
，又平面，
平面．
（2）设，，为平面的法向量，
又
则有：，
令，则平面的法向量，1，，
又，
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成的角的正弦值为．
如图，在三棱锥中，，平面平面，平面平面，，，为的中点．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：在线段上任取一点，过点作，垂足为，
因为平面平面，，平面，
所以平面，从而，
同理，由平面平面，可得，
因为，，平面，
所以平面；
（2）解：以为原点，过作平行于的直线为轴，，所在直线分别为， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，1，，，1，，，0，，，
，，
设平面的法向量为，，，
由得，
令，得，0，，
易知平面的一个法向量为，0，，
设二面角的大小为，观察可得为锐角，
所以，
即二面角的余弦值为．
如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以，
又底面为正方形，所以，
又，且，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（Ⅱ）以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，0，，，0，，，2，，，0，，
则，0，，，2，，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，可得，1，，
易知，2，是平面的一个法向量，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
平面与平面的夹角
【要点讲解】解决平面与平面的夹角问题通常用向量法，具体步骤如下：
(1)建立坐标系，建坐标系的原则是尽可能使已知点在坐标轴上或在坐标平面内．
(2)根据题意正确写出所有“相关点”的坐标以及“相关向量”的坐标．
(3)分别求出二面角所在的两个平面的法向量．
(4)利用夹角公式求得法向量的夹角．
(5)将法向量的夹角“翻译”成为所求两平面的夹角．
如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为
A．B．C．D．
【解答】解：因为平面，且为正方形，
故可建立如图所示空间直角坐标系，
因为正方形边长为1，，
则，0，、，1，、，0，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
又，所以．
故选：．
已知二面角的平面角为，与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：作，垂足为，连接，
，即，，，平面，
平面，平面，
，又，故平面，平面，
为在内的射影，则为与平面所成角，即，
，，
为二面角的平面角，即，
，
在中，由正弦定理有：
，
，
，又，
，，又，
，即，．
故选：．
如图，在四棱锥中，底面是菱形，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）设交于，底面是菱形，
则，是中点，
又，所以，
又，，平面，
则平面，
又平面，
则平面平面．
（2），，
不妨设，则，，，
又，则，所以，
所以，
以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，1，，，，，，，0，，
，，，，
设平面的一法向量为，
则，取，则，
同理，求得平面的一法向量，
设平面和平面所成锐角为，
则，
所以，平面和平面所成锐角的余弦值为．
如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，已知，为中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连结交于，连结，
因为为正方形，所以是中点，
又为中点，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，为正方形，所以，，两两垂直．
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，设，则，
则，0，，，2，，，2，，，
，，，，
设，，是平面的法向量，
则，即，取，可得，，，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角正弦值为；
（3）设，，是平面的法向量，
则，即，取，可得，1，，
则，，
显然二面角是钝二面角，故其余弦值为．
如图，平面平面，点为半圆弧上异于，的点，在矩形中，，设平面与平面的交线为．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）当与半圆弧相切时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：四边形为矩形，，
平面，平面，平面，
又平面，平面平面，，
平面，平面；
（Ⅱ）解：取，的中点分别为，，连接，，则，
平面平面，且交线为，平面，
又平面，，当与半圆弧相切时，，即，
以，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，易得，，，，2，，，，，，0，，
则，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，，
令，得，
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，得，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
如图，四棱柱中，底面为正方形，与交于点，平面平面，与底面所成的角为．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：过作于，因为平面平面，
又平面平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，所以，
又因为底面为正方形，，
所以，又，是中点，
可知，为同一点，所以平面；
（2）解：因为底面是正方形，所以，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
又，所以，
所以，
设平面的法向量是，则，，
则有
令，得，
因为，
设平面的法向量为，则，，
则有令，得，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
点到平面的距离
【要点讲解】利用空间向量求距离的基本方法：
①两点间的距离：设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则AB＝|eq \(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22)；
②点到平面的距离：如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|eq \(BO,\s\up16(→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up16(→))·n|,|n|).
如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为
A．B．C．D．
【解答】解：在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，2，，
，，．
设平面的法向量为，
则，令，得，
点到平面的距离为．
故选：．
如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为
A．B．C．D．
【解答】解：以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，4，，，4，，，4，，，4，，
，．
设为平面的法向量为，
则，即，令，得．
又，
点到平面的距离．
故选：．
如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，，，，则点到平面的距离为
A．1B．C．D．
【解答】解：由题意，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，4，，，0，，，0，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
所以点到平面的距离为．
故选：．
正方体的棱长为，则棱到面的距离为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接，，设交点为，则，
因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
所以的长即为棱到面的距离，
由，知所求距离为．
故选：．
在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，则到平面的距离为
A．B．C．D．
【解答】解：由，，，得，，
则，，又四边形为平行四边形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
在平面内，作于点，平面平面，平面平面，
平面，则即为所求点到平面的距离，
在直角三角形中，，又，
．
到平面的距离为．
故选：．
正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：
（1）点到直线的距离；
（2）点到平面的距离．
【解答】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，
，2，，，4，，，4，，，0，，
，
所以到直线的距离为：
．
（2）由（1）得
设平面的法向量为，，，
由，可取，，则，
可得，
所以点到平面的距离为．
分类
图示
计算公式
夹
角
异面直线所成的角
cs θ＝|cs〈u，v〉|＝
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq \f(|u·v|,|u||v|)
直线与平面所成的角
sin θ＝|cs〈u，n〉|＝
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
两个平面的夹角
cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
距
离
点到直线的距离
PQ＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AP,\s\up16(→))|2－|\(AQ,\s\up16(→))|2))＝eq \r(a2－a·u2)(u是直线l的单位方向向量)
点到平面的距离
PQ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up16(→))·\f(n,|n|)))＝
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up16(→))·n,|n|)))＝eq \f(|\(AP,\s\up16(→))·n|,|n|)(n是平面α的法向量)