高考数学一轮复习：8平面解析几何-重难点突破2练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的右焦点为，分别延长，交椭圆于，两点，探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为，，，，
椭圆过点；可得，解得，，
椭圆的标准方程为：；
（2）设直线的方程为，，，，，，
由，可得：，
△，，，
设直线的方程为，其中，，，
由，可得：，
△，，，
设直线的方程为，其中，，，
由，可得：，
△，，，
，，
，
，
则，
即，
，
整理得，又，，
直线的方程为，过定点，．
2．如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点．
（1）求抛物线的标准方程和准线方程；
（2）若，证明：直线恒过定点．
【解答】（1）解：设抛物线的方程为，则
代入，可得，
抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）证明：设，，，，则直线方程，
方程，
联立直线方程与抛物线方程，消去，得，
①
同理②
而直线方程为，③
，
由①②③，整理得．
由且，得，，故直线经过定点．
3．平面直角坐标系中，是不在轴上一个动点，满足条件：过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直，设直线与，轴的交点分别为，．
（1）证明：是一个定点；
（2）求的最小值．
【解答】（1）证明：设以，为切点的切线方程为，
联立抛物线方程，可得，
由△，
得，所以切线
同理以，为切点的切线方程为，
设，则，，
直线的方程为，
两切点连线与垂直，
，
，
直线的方程为，
为定点；
（2）解：直线的方程为，代入直线的方程，求得，，
，
，
如图，由对称性，不妨取，则，求的最小值为．
4．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于，两点，若为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线的定义知，，
抛物线的方程为：．
（2）设的方程为：，代入有，
设，，，，则，
，
，
，
的方程为：，恒过点．
5．已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，
解得，
椭圆的标准方程，
椭圆的离心率．
（Ⅱ）设，，，，则，，
可设的直线方程为
联立方程，整理得，
，
，，
整理得，，
，解得，
的直线方程为：，
直线恒过定点．
6．已知两定点，，过动点的两直线和的斜率之积为．设动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）设，过的直线交曲线于、两点（不与、重合）．设直线与的斜率分别为，，证明为定值．
【解答】解：（1）不妨设点，
因为过动点的两直线和的斜率之积为，
所以，
整理得；
（2）证明：不妨设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
则．
综上，为定值2．
7．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的上顶点为，过的两条直线，分别与交于异于点的，两点，若直线，的斜率之和为，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，
所以，①
因为点在椭圆上，
所以，②
又，③
联立①②③，解得，，，
则椭圆的方程为；
（2）易知直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，， ，，
又，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以
，
所以，
此时直线的方程为，
故直线恒过定点．
8．已知椭圆的离心率，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点．
【解答】解：（1）由题意可得：，解得，
所以椭圆的方程为：；
证明：（2）设点，，，，则，，
设直线的方程为，
联立，整理可得，
则，，△，得，
由题意，直线的方程为，
令，所以点的横坐标．
所以直线与轴交于定点．
9．已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与斜率的乘积为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．
【解答】解：（1）易知为椭圆上一点，
若点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为，
此时，
解得，
又，
所以，
则椭圆的标准方程为；
（2）证明：不妨设，，，，
当直线不平行与轴时，不妨设直线的方程为，
因为直线不经过点，
所以，
联立，消去并整理得，
此时△，
又韦达定理得，，①
而，，
因为直线与斜率的乘积为，
所以，
即，
整理得，②
联立①②，可得，
因为，
所以，
此时直线的方程为，
则直线经过定点；
当直线平行于轴时，
此时，，
不妨设，
因为，
又，两点都在椭圆上，
解得，，
此时直线的方程为，
则直线经过定点，
综上，直线必过定点．
10．已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别为、．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若点的纵坐标为1，计算的值；
（3）求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标．
【解答】解：（1）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，
不妨设抛物线的方程为，
此时，
解得，
则抛物线的标准方程为；
（2）由（1）知抛物线的准线方程为，
因为点是抛物线的准线上任意一点，
若点的纵坐标为1，
此时，
不妨设切线方程为，
联立，消去并整理得，
因为，
则△，
此时，
因为，是关于的二次方程的两根，
所以；
（3）证明：不妨设，，，，
下证抛物线上点的切线方程为，
联立，消去并整理得，
可得，
即，
解得，
同理得，抛物线上点的切线方程为，
不妨设，
此时，
即，
所以，两点满足方程，
则直线的方程为，
由，
解得，，
则直线过定点．
11．已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于、两点，直线分别交直线，于点和点，求证：以为直径的圆经过定点．
【解答】解：（1）因为已知抛物线经过点，
所以，
解得，
则抛物线的方程为，其准线方程为；
（2）证明：由（1）知抛物线的焦点为，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，，，
由韦达定理得，
易知直线的方程为，
不妨，
解得，
同理，
若以为直径的圆经过定点，
此时以为直径的圆与轴一定有交点，
所以定点在轴上，
不妨设，
此时
，
不妨令，
解得或，
综上，以为直径的圆经过轴上的定点和．
12．已知：平面内的动点到定点为和定直线距离之比为，
（1）求动点的轨迹曲线的方程；
（2）若直线与曲线的交点为，，点，
当满足a_____时，求证：b_____．
①；
②；
③直线过定点，并求定点的坐标．
④直线的斜率是定值，并求出定值．
请在①②里选择一个填在处，在③④里选择一个填在处，构成一个命题，在答题卡上陈述你的命题，并证明你的命题．
【解答】解：（1）不妨设，点到的距离为，
因为平面内的动点到定点为和定直线距离之比为，
所以，
整理得，
整理得，
则曲线的方程为；
（2）证明：若选①③，
不妨设，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
此时，
即，
整理得，
当时，直线过点，不符合题意，舍去；
当，直线过点；
若选②④，
不妨设，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
此时，
即，
整理得，
解得．
13．已知双曲线的左右顶点分别为点，，其中，且双曲线过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的直线分别交的左、右支于，两点，过点作垂直于轴的直线，交线段于点，点满足．证明：直线过定点，并求出该定点．
【解答】解：（1）由，则，
又，则，
所以，
故双曲线的方程为：．
（2）证明：如图，
由，，则方程为，
设直线方程为：，，，，，
则，则，，
由，则，，
则，
，
联立，
则，
则，
所以，
故，
故过定点．
14．已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过点的直线交椭圆于，两点，再过点作斜率为的直线交椭圆于点，问直线与直线的交点是否为定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意令，代入得，
所以解得，，
所以椭圆的方程为：；
（2）由题意，直线的斜率显然存在且不为0，
不妨设直线的方程为，即，
联立方程，得，
设，，，，，，
当△，即时，
有，，
则的方程为，①
与椭圆联立得，
则，所以，
代入①得，代入，得，
直线的方程为：，
与联立，得：，
因为，
，
所以，
所以，，
故直线与直线交于定点．
15．抛物线的焦点为，直线过焦点与抛物线交于，两点，当垂直于轴时．
（1）求抛物线的方程；
（2）点，直线，与抛物线的交点分别为，；探究直线是否过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1），
当轴时，，
根据抛物线的定义可得，解得，
抛物线的方程：；
（2）设，，，，
直线方程为：即，
直线过点，
，
同理，直线，即，
直线过点，，同理可得，
，，
直线的方程为：，
，
当时，，
直线恒过定点．