高考数学一轮复习：9统计与概率-专题4练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：9统计与概率-专题4练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题94随机变量分布原卷版docx、专题94随机变量分布解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154054764" 题型一： 离散型随机变量的分布列性质 PAGEREF _Tc154054764 \h 3
\l "_Tc154054765" 题型二： 确定离散型随机变量的分布列 PAGEREF _Tc154054765 \h 4
\l "_Tc154054766" 题型三： 分布列的期望与方差 PAGEREF _Tc154054766 \h 8
\l "_Tc154054767" 题型四： 方案评价与决策问题 PAGEREF _Tc154054767 \h 10
知识点总结
离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
【常用结论与知识拓展】
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
例题精讲
离散型随机变量的分布列性质
【要点讲解】(1)研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．(2)进行相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0，i＝1,2，…，n和eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1，随时验证计算的准确性．(3)随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与离散型随机变量混为一谈.
某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则
A．0.69B．0.67C．0.66D．0.64
已知随机变量的分布列如表：
则实数
A．0.05B．0.15C．0.25D．0.35
已知随机变量的分布列满足：，2，3，，其中为常数，则
A．B．C．D．
已知离散型随机变量的分布列，则
A．1B．C．D．
某市卫生部门随机抽取该市的16所大学，对其食堂进行“进货渠道合格性”和“食品安全”量化评估，所有大学的食堂评分均在分范围内，以下表格记录了它们的评分情况：
（1）现从16所大学中随机抽取3所，求至多有1所大学的食堂评分不低于9分的概率；
（2）以这16所大学的食堂评分数据估计全市大学的食堂评分，若从全市的大学中任选3所，记食堂评分不低于9分的大学有所，求的分布列．
确定离散型随机变量的分布列
【要点讲解】离散型随机变量的分布列问题的解题策略：(1)先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”；(2)选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率；(3)列出分布列．
在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数的分布列；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列；
（2）他能通过初试的概率．
某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数，
（1）请列出的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数的概率分布列与期望．
生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为．
（1）算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表：
（2）现规定：若，则甲胜；若，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？
福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
（1）求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；
（2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，求概率分布列及期望；
如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率．
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置．
分布列的期望与方差
【要点讲解】计算均值与方差的基本方法：①已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求；②已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求.
若随机变量的分布列为，，若，则的最小值等于
A．0B．1C．4D．2
已知离散型随机变量的分布例如下表所示．
则
A．B．C．0.4D．0.8
已知随机变量的分布列如表（其中为常数），则下列计算结果正确的是
A．B．C．D．
某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则
A．若，，则取最大值时
B．当时，取得最小值
C．当时，（A）随着的增大而增大
D．当时，（A）随着的增大而减小
某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下，选手依次参加第一，二，三关，闯关成功可获得的奖金分别为1000元、2000元、3000元．奖金可累加，若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关，若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手小刘参加闯关游戏，已知他第一，二，三关闯关成功的概率分别为，，．第一关闯关成功选择继续闯关的概率为，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为，且每关闯关成功与否互不影响．
（1）求小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
（2）设小刘所得奖金为，求随机变量的分布列及数学期望．
第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动会大量使用了高科技．为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3分才能参加复试，复试每人都回答，，三道题，每一题答对得2分，答错得0分．已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率都是，乙每题能答对的概率都是．
（1）求甲、乙至少一人通过初试的概率；
（2）若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格的概率谁更大．
方案评价与决策问题
【要点讲解】随机变量的数字特征是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，所以应该从整体和全局上作出科学合理解释，以此对方案选择、评价和决策作出有效判断．一般先比较均值，若均值相同(或相近)，再用方差来决定．
如图，李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线，路线上有、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为．甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
甲乙两人参加一个摸球中奖游戏，一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球，从中依次随机摸出3个球，每次摸出1个球，规定至少有2个红球则中奖．
（1）若甲采用有放回的方式摸球，求甲中奖的概率；
（2）若乙采用不放回的方式摸球，求乙中奖的概率．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
8
9
10
0.36
0.33
1
2
3
4
0.15
0.35
0.25
评分
，
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大学所数
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8
4
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0.2
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0.2
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