八上数学全等三角形问题中常见的辅助线的作法教学设计

这是一份八上数学全等三角形问题中常见的辅助线的作法教学设计，共6页。教案主要包含了常见辅助线的作法，常见题型等内容，欢迎下载使用。
在证明两个三角形全等时,选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”,“ASA”,“AAS”，“HL”）中,至少有一组相等的边,因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”;若找到一组角则需找另一组角(可能用“ASA”或“AAS”)或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为:
S&S&S(用SSS)&A(用SAS)&A&S(用SAS)&A(用AAS或ASA)
【常见辅助线的作法】
1．遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3．遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”．
5．截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
【常见题型】
一、截长补短法
一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．
例1、如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．
分析:要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．
截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2、如图甲,AD∥BC,点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB。求证:CD=AD+BC.
思路分析：
解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
解题后的思考:遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长法或补短法：
截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
1)对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。
2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明。
二、中线倍长法
三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．
例1、已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是 ．
分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．
例2、已知在△ABC中,AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证:AF=EF
提示:倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA，三角形BEG是等腰三角形。
例3、已知：如图，在ΔABC中，AB≠AC,D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC。求证：AE平分∠BAC。
提示：
方法1:倍长AE至G,连结DG
方法2：倍长FE至H,连结CH
例4、已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE。
提示：倍长AE至F，连结DF
证明ΔABE≌ΔFDE（SAS)
进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）
三、作平行线
当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．
例1、如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证:DF=EF．

分析：要证DF=EF，必须借助三角形全等．而现有图形中没有全等三角形．由等腰三角形条件,可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．则△DBH为等腰三角形．
四、补全图形
在一些求证三角形问题中,延长某两条线段(边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系,有助于问题的解决．
例1、如图4,在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．
分析：题设中只有一条已知线段AD，且为直角边,而要求的BE为斜边．要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形．
五、利用角的平分线对称构造全等
角的平分线是角的对称轴,在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法．
法一：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。在AB上截取AE=AC，连结DE。
法二：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。延长AC到F，使AF=AB，连结DF。
法三：在△ABC中，AD平分∠BAC。作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。
例1、如图5,在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD．
分析：由角的平分线条件，在BC上截取BE=BA，可构造△ABD≌△EBD,从而AD=DE．则只要证明DE=CD．
例2、已知，如图2，∠1=∠2,P为BN上一点，且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD。求证:∠BAP+∠BCP=180°.
例3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.
六、利用特殊图形可通过旋转变换构造全等
正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
例2、D为等腰RtΔABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当∠MDN绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。