2025年高考数学一轮复习考点突破和专题练习专题09函数与方程（Word版附解析）

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一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
一、单选题
1．（2024·湖北）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以，
所以，
由，解得或；
由解得或（舍去），
所以函数的零点的集合为.
故选：D.
考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知指数函数为，则函数的零点为（ ）
A．B．0
C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.
【详解】函数，由，即，整理得，解得，
所以函数的零点为1.
故选：C
3．（2024高三上·江西鹰潭·阶段练习）函数的零点为（ ）
A．2，3B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，解方程求出函数零点作答.
【详解】由，得，即或，解得或，
所以函数的零点为2，3.
故选：A
4．（2024·山东）已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
5．（2024高三·全国·专题练习）若，则函数的两个零点分别位于区间
A．和内B．和内
C．和内D．和内
【答案】A
【详解】试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点.
考点：零点与二分法.
【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.
6．（2024·全国）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
7．（2024高三上·宁夏·阶段练习）已知函数，函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】求得的解析式，画出和的图象，根据两个函数图象交点的个数，判断出函数的零点个数.
【详解】依题意，
，
，
，
，
即.
画出和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有个交点.
所以函数有个零点.
故选：A

【点睛】求解函数零点个数问题，可转化为两个函数图象交点个数来研究.
8．（2024高三上·江苏淮安·期中）已知函数，则函数，的零点个数（ ）
A．3个B．5个C．10个D．9个
【答案】D
【分析】设，利用导数研究图象的性质，将零点问题转化为函数图象交点的问题求解.
【详解】令，则，
令，即，
，令得或，令得，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
因为，所以方程有三个解，
当时，，，，
当时，，，，
当时，，，，
当时，方程有个根，当时，方程有个根，当
时，方程有个根，故函数零点的个数为个;
同理可得当时和时均可得到函数零点的个数为个.
故选：D.
【点睛】嵌套函数的零点问题，通常采用换元法求解，即令，转化为求函数和图象交点的问题，接着不断分析，层层递进即可求解.
9．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由题得，在同一坐标系下，作出函数的图象，即得解.
【详解】令，
在同一坐标系下，作出函数的图象，如图所示，
由于的图象有两个交点，
所以的零点个数为2,
故选：B
【点睛】本题主要考查零点个数的判定，考查指数对数函数图象的作法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.
10．（2024·天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
11．（2024·全国）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
【答案】C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
12．（2024·广西·一模）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.
【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，
而函数是奇函数，则有，
所以.
故选：D
13．（2024·吉林·模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得.
【详解】因为是函数的一个零点，
所以，即，故，
则．
故选：D．
14．（2024高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数的零点依次为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别讨论 的零点所在的区间，然后比较大小.
【详解】对于 ，显然是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
；
故选：A.
15．（2024·陕西·一模）已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得是方程的解，令，对求导，结合零点存在性定理即可得出答案.
【详解】，所以，
因为是方程的一个解，
所以是方程的解，令，
则，当时，恒成立，
所以单调递增，
又，
所以.
故选：C.
16．（2024·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
17．（2024高三·天津·学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数定义求出，确定函数的单调性，然后由的零点是0得出结论．
【详解】∵是奇函数，∴，，，易知在上是增函数，
∴有唯一零点0，
函数的零点在区间内，∴在上有解，，∴．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点，解题关键是等价转化，把函数零点转化为方程在某个区间上有解，从而再转化为求函数值域．
18．（2024高一上·四川资阳·期末）定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为
A．2B．4
C．2或4D．2或4或6
【答案】B
【分析】由函数关于点对称，得是奇函数，由此可作出函数的图象，利用图象可分析方程的根的个数，再用换元法（设）把原方程转化为一元二次方程，通过这个二次方程根的研究得出原方程解的个数．
【详解】∵函数关于点对称，∴是奇函数，时，在上递减，在上递增，
作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是1，2，3.
或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解，
方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设，
若，则，，和都有两个根，原方程有4个根；
若，则，，∴，，有三个根，有一个根，原方程共有4个根；
若，则，，∴，，有一个根，有三个根，原方程共有4个根．
综上原方程有4个根．
故选：B.
【点睛】本题考查考查函数零点与方程根的个数问题，解题时作出函数图象利用数形结合思想求解是明智之举．而换元把方程转化为一元二次方程是解题关键．
19．（2024·广东揭阳·二模）已知函数的图象上存在点P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得函数关于原点对称的函数，把函数的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，转化为在上有解，利用导数求得函数的最值，借助有解，即求解．
【详解】由题意，函数关于原点对称的函数为，即，
若函数的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，
则等价为在上有解，即，在上有解，
由，则，
当时，，此时函数为单调增函数；
当时，，此时函数为单调减函数，
即当时，取得极小值同时也是最小值，且，即，
当时，，即，
设，要使得有解，
则当过点 时，得，过点时，，解得，
综上可得．
故选C．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的有解问题，以及函数的对称问题的应用，其中把函数的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，转化为有解，利用导数求得函数的最值，结合图象是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
20．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，参变分离成的形式，画图可得k的取值范围.
【详解】由题知，，设，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，的图象如下，由图可知，当时，与无交点，即无零点.
故选：D.
21．（2024·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
22．（2024高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设上一点关于轴对称点坐标为，则在上，得到方程有解，即函数与在上有交点，利用导数判断出函数的单调性和最值，可得实数的取值范围．
【详解】设上一点，，且关于轴对称点坐标为，在上，
有解，即有解.
令，则，，
当时，；当时，，在上单调递减；在上单调递增
，，，
有解等价于与图象有交点， .
故选：B
【点睛】本题考查导数在最值中的应用，考查函数与方程思想，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．
23．（2024高二下·浙江宁波·期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将条件转化为有解，然后利用导数求出右边函数的值域即可.
【详解】因为函数至少存在一个零点
所以有解
即有解
令，
则
因为，且由图象可知，所以
所以在上单调递减，令得
当时，单调递增
当时，单调递减
所以
且当时
所以的取值范围为函数的值域，即
故选：A
【点睛】1.本题主要考查函数与方程、导数与函数的单调性及简单复合函数的导数，属于中档题.
2. 若方程有根，则的范围即为函数的值域
24．（2024高二下·湖北·期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意先求函数的定义域，由方程有解得到方程有解，
即有解，令，根据单调性求出函数的值域即为所求．
【详解】由题意得函数的定义域为．
又，
∵函数至少存在一个零点，
∴方程有解，
即有解．
令，
则，
∴当时，单调递增；当时，单调递减．
∴．
又当时，；当时，．
要使方程有解，则需满足，
∴实数的取值范围是．
故选D．
【点睛】解答本题的关键是把方程有解的问题转化为两函数图象有公共点的问题，解题时需要根据函数的单调性得到函数图象的大体形状，然后再根据数形结合求解，属于中档题．
25．（2024·福建厦门·一模）若至少存在一个实数，使得方程成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，且，设，则的取值范围即的值域，利用导数的应用能求出实数的取值范围．
【详解】∵，∴，且，
设，则的取值范围即的值域．
，
当时，；当时，；当时，．
∴当时，取最大值，
当时，；当时，，
∴实数的取值范围为．
故选：D．
26．（2024高三·湖南长沙·阶段练习）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意得，构造新函数，通过利用函数的单调性，可知在处取最小值，函数至少存在一个零点，只需即可，即可求出实数的取值范围.
【详解】依题意得，函数至少存在一个零点，且，
可构造函数和，
因为，开口向上，对称轴为，所以为单调递减，为单调递增；
而，则，由于，所以为单调递减，为单调递增；
可知函数及均在处取最小值，所以在处取最小值，
又因为函数至少存在一个零点，只需即可，即：
解得：.
故选：D.
【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，通过构造新函数以及利用二次函数性质和导数求出函数的单调性进而求出函数最小值，结合零点求出参数范围．
27．（2024·山东·模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】设，由函数奇偶性定义得到为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，由零点唯一性得到，求出的值.
【详解】设，定义域为R,
∴，
故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，
故函数的图象关于直线对称，
∵有唯一零点，
∴，即．
故选：D．
28．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】换元后，根据函数的对称性，可知是偶函数，根据只有一个零点，可知只能在对称轴的地方取值，即可求解.
【详解】令，则，
记，则，令则，所以是偶函数，图象关于轴对称，因为只有唯一的零点，所以零点只能是于是
故选：C
29．（2024高三下·重庆渝北·阶段练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或B．1或C．或2D．或1
【答案】A
【解析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出和都关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.
【详解】解：已知，①
且，分别是上的偶函数和奇函数，
则，
得：，②
①+②得：，
由于关于对称，
则关于对称，
为偶函数，关于轴对称，
则关于对称，
由于有唯一零点，
则必有，，
即：，
解得：或.
故选：A.
【点睛】本题考查函数基本性质的应用，涉及函数的奇偶函数，对称性和零点，考查函数思想和分析能力.
30．（2024·甘肃张掖·三模）已知函数有唯一零点，则负实数
A．B．C．D．或
【答案】A
【详解】函数有唯一零点，
设
则函数有唯一零点，
则
设∴ 为偶函数，
∵函数 有唯一零点，
∴与有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），
故选A．
31．（2024高一上·天津南开·期末）已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，数形结合求解.
【详解】
存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：
由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足，解得：
故选：A.
32．（2024高三上·江西·阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别求出两段函数各自的零点，作出图像利用数形结合即可得出答案.
【详解】设，，
求导
由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增，
且，，故在内必有唯一零点，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
令，解得或2，可作出函数的图像，
令，即，在之间解得或或，
作出图像如下图
数形结合可得：，
故选：A
33．（2024高三上·陕西西安·期末）已知函数， 若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】本题首先通过函数奇偶性求出，再利用导数研究其在上的零点个数即可.
【详解】当时，，
当时，，
，
，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，
所以我们求出时零点个数即可，
，，令，解得，
故在上单调递增，在单调递减，
且，而，故在有1零点，
，故在上有1零点，图像大致如图所示：
故在上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在上也有2个零点，且，故共5个零点，
故选：D.
34．（2024·天津和平·二模）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知，对实数的取值进行分类讨论，确定函数在上的零点个数，然后再确定函数在上的零点个数，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.
函数的对称轴为直线，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.
①当时，即当时，则函数在上无零点，
所以，函数在上有个零点，
当时，，则，
由题意可得，解得，此时不存在；
②当时，即当时，函数在上只有一个零点，
当时，，则，则函数在上只有个零点，
此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；
③当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时；
④当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
35．（2024·河南洛阳·一模）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为
A．B．C．-1D．1
【答案】D
【详解】令f（x）=0，分离参数得a=令h（x）=由h′（x）= 得x=1或x=e．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．

∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=则a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，
μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，
对于μ=， 则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．不妨设μ1＜μ2，则μ1=， =（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）
=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．
故选D．
点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强．
36．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且 则的值是（ ）
A．81B．-81C．9D．-9
【答案】A
【分析】将函数由三个不同零点转化为方程有三个不同的实根，可得并令，整理得关于的一元二次方程，若两根为可求，再由导数研究的单调性结合方程最多只有两个根，可知，即，，进而可求目标式的值.
【详解】由有三个不同的零点知：有三个不同的实根，即有三个不同实根，
若，则，整理得，若方程的两根为，
∴，而，
∴当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增；即当时有极小值为，又，有，即.
∵方程最多只有两个不同根，
∴，即，，
∴.
故选：A
【点睛】关键点点睛：将问题转化为方程有三个不同实根的问题，应用换元法转换方程主元为，并结合导数研究主元的单调性，由一元二次方程根只有两个，可得即有，即可求值.
37．（2024高三上·天津南开·阶段练习）设函数
①若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
②若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
④方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6
四个结论中，正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】作出的图像，利用函数与方程之间的关系，分析问题，即可得出答案．
【详解】解：对于①：作出的图像如下：
若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设，
则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根，
所以，，所以，所以，
所以，故①正确；
对于②：由上可知，，，且，
所以，
所以，，
所以，
所以，故②错误；
对于③：方程的实数根的个数，即为函数与的交点个数，
因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，
当与相切时，设切点为，
即，所以，解得，所以，所以，
所以当与相切时， 即时，此时有4个交点，
若有4个实数根，即有4个交点，
当时由图可知只有3个交点，当时，
令，，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，
所以当时，函数取得极大值即最大值，，
又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故③错误；
对于④：，
所以，
所以或，
由图可知，当时，的交点个数为2，
当，0时，的交点个数为3，
当时，的交点个数为4，
当时，的交点个数为1，
所以若时，则，交点的个数为个，
若时，则，交点的个数为3个，
若，则，交点有个，
若且时，则且，交点有个，
若，交点有1个，
综上所述，交点可能有1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故④正确；
故选：B．
38．（2024高一上·天津·期中）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出的图象，根据图象将表示为只含的形式，结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】.
先作图象，由图象可得
因此为，
，
从而.
故选：A

39．（2024高一上·四川南充·期末）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.
【详解】作出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的实根，，，，满足，
则，
即：，所以，
，所以，根据二次函数的对称性可得：，
，
考虑函数单调递增，
，
所以时的取值范围为.
故选：A
【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.
40．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则的取值范围是（ ）
A．（）B．（1，4）C．（，4）D．（4，6）
【答案】A
【分析】由函数解析式作出图像，令f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），把转化为关于t的函数求解．
【详解】解：画出分段函数f(x)＝的图像如图：
令互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），
则x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），
则＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，
又t∈（0，），
∴∈（）．
故选：A．
41．（2024·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出迭代关系为，结合逐项计算可得出结果.
【详解】令，则，
令，即，可得，
迭代关系为，
取，则，，
故选：D.
42．（2024·天津）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
43．（2024·全国）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
44．（2024·湖南）已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题可得存在满足
,
令,
因为函数和在定义域内都是单调递增的,
所以函数在定义域内是单调递增的,
又因为趋近于时,函数且在上有解(即函数有零点),
所以,
故选：B.
考点：指对数函数 方程 单调性
45．（2024·安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.
46．（2024·湖南）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【详解】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
47．（2024·福建）若函数的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：因为函数g(x)＝4x＋2x－2在R上连续，且，，设函数的g(x)＝4x＋2x－2的零点为，根据零点存在性定理，有，则，所以，又因为f (x)＝4x－1的零点为，函数f (x)＝(x－1)2的零点为x=1，f (x)＝ex－1的零点为，f (x)＝ln(x－0．5)的零点为，符合为，所以选A．
考点： 零点的概念，零点存在性定理．
48．（2024高三上·河南许昌·开学考试）已知二次函数的两个零点为，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】由，，得，，由，
由，解得，
．
，
故选：D
【点睛】关键点睛：根据已知不等式得到是解题的关键.
49．（河北省唐山市第十一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
【答案】B
【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．
考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．
点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．
50．（2024高三上·江西·开学考试）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据零点存在性定理分析判断
【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以至多有一个零点，
因为，，
所以在零点在区间，
故选：A．
51．（2024·浙江）已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可
【详解】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，
则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
52．（2024高二下·河南·期末）对实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据新定义的运算法则，列出函数的解析式，从而问题转化为图象的交点问题，结合图象即可得解.
【详解】由，得=，
因为函数的图象与轴恰有两个公共点，
所以的图象有两个交点，如图：

由图可知，当时，函数的图象有两个公共点，
所以的取值范围是，
故选：B．
53．（2024高三下·上海宝山·阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数，且当时，，则关于在R上零点的说法正确的是（ ）
A．有4个零点，其中只有一个零点在内
B．有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内
C．有5个零点，都不在内
D．有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在
【答案】C
【分析】解法一：先研究时，零点的情况，根据零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程，也可以得出时零点的个数. 然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.
【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究
(1)的情况，是把抛物线与轴交点为向上平移了0.02，则与轴交点变至之间了，所以在之间有两个零点；
(2)当时，，根据对称性之间也有两个零点
(3)是定义在R上的奇函数，故，
所以有五个零点.
解法二：
(1)直接解方程的两根
也可以得两根为，都在之间；
(2)当时，，根据对称性之间也有两个零点
(3)是定义在R上的奇函数，故，
所以有五个零点.
故选：C.
【点睛】方法点睛：先求出时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.
54．（2024·湖南·模拟预测）有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程（千米）与时间t（时）的关系为，乙物体运动的路程（千米）与时间t（时）的关系为，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，，利用导数探讨函数零点作答.
【详解】设当甲、乙再次相遇时，所用的时间为t小时，则，
令，，求导得，由得，
而函数在上单调递增，即当时，，当，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，，，因此存在唯一，使得，
所以当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间.
故选：B
55．（2024高一·上海·假期作业）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】令，则，作出这两个函数的图象，利用两个函数的图象可得结果.
【详解】令，则，
作出这两个函数的图象，如图：

由图可知，
当时，只有一个大于的根，则方程恰有两个实根；故①为真命题；
当时，由得或，
当时，，当时，或，此时原方程恰有5个实根，故③为真命题；
当时，有两个实根，两个实根在内，此时原方程有8个实根，故④为真命题；
当时，由得，则方程恰有4个实根；此时原方程恰有4个实根，故②为真命题.
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造两个函数，利用两个函数的图象求解是本题的解题关键.
56．（2024高一上·浙江金华·阶段练习）是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A．若，则函数的图象关于原点对称
B．若，，则方程有大于2的实根
C．若，，则方程有两个实根
D．若，，则方程有三个实根
【答案】B
【分析】A.取，判断；B.由，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，再由上下平移判断； C.取，判断；D.取，判断.
【详解】A.若，，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，故错误；
B.当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加b，，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，故正确；
C.若，，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，那么只有1个零点，所以只有1个实根，故错误；
D.若，，则的图象由的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即只有一个实根，故错误.
故选：B.
57．（2024高一上·广东中山·期中）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先判断图像对应的是否函数，再判断它们是不是变号零点，逐项判断可得答案.
【详解】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，
对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；
对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；
对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.
故选：C．
58．（2024高一下·湖北·阶段练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
【答案】B
【分析】根据二分法基本原理满足判断即可.
【详解】，又
A错误；
，又，
满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误；
， C错误.
故选：B.
59．（2024高一下·江苏南京·期中）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1B．C．0.25D．0.75
【答案】C
【分析】根据二分法的定义计算可得；
【详解】解：因为，，所以在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中；
故选：C
二、多选题
60．（2024高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A．当，有1个零点B．当时，有3个零点
C．当，有2个零点D．当时，有7个零点
【答案】ABD
【分析】将函数的零点个数问题转化为解的个数问题，设，即有，然后结合每个选项中t的范围作出函数图象，数形结合，即可求解相应方程的解，进而确定函数零点个数.
【详解】令，则，设，则等价于，
则函数的零点个数问题即为解的个数问题；
二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，
对于A，当时，作出函数的图象如图：

由图象可知有一个根，
则由可知此时方程只有一个解，
此时函数的零点个数为1，A正确；
对于B，当时，，
作出函数的图象如图：

由图象可知有一个根，
令，令，
则有3个解，即和，
此时此时函数有3个零点，B正确；
对于C，当时，分析同A，函数有1个零点，C错误；
对于D，当时，，
作出函数的图象如图：

由图象可知有3个根，
当时，；
当时，，
则对于，
当时，，当时，，此时共有3个解；
对于，此时有1个解，
即有2个解，
对于，此时有1个解，
即无解，
故此时函数有7个零点，D正确；
故选：ABD
【点睛】方法点睛：本题是关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.
61．（2024·广东佛山·模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的取值与无关D．的最小值为10
【答案】AD
【分析】根据题意分析可得：原函数的4个零点可表示为直线与函数交点的横坐标，结合图象以及基本不等式逐项分析判断.
【详解】令，可得：
当时，即，可得；
当时，即，可得，；
当时，即，可得，.
原函数的4个零点可表示为直线与函数交点的横坐标，
对于选项A、C：如图所示，是方程的两个解，
根据韦达定理可得：，即可知选项A成立，选项C不成立；
对于选项B：因为，结合图象可得，即可知选项B不成立；
对于选项D：其中，
则有，当且仅当时，成立，
综上所述：的最小值为10，选项D成立.
故选：AD.

【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
62．（2024高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若关于的方程有个不等的实根、、、且，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，B．当时，的范围为
C．当时，D．当时，的范围为
【答案】ABC
【分析】令，求出方程的两根，数形结合可判断A选项；根据零点个数得出关于的不等式组，求出的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项.
【详解】令，则，，
A.当时，，，由有解，有4解，故，A对；
B.当时，则方程、各有一解，
当时，，当且仅当时，等号成立，
由图可得，解得，B对；
C.当时，如下图所示：
由图象可知，点、关于直线对称，则，
由图可知，，，由可得，所以，，
则，因此，，C对；
D.当时，有两种情况：或，
从而可得的范围为，D错.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
63．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（ ）
A．的解集为
B．当时，
C．有且只有两个零点
D．
【答案】ABD
【分析】由函数的奇偶性求解可判断B；利用B中的结论及已知条件解不等式可判断A；由函数的解析式及奇函数的性质求出零点可判断C；利用导数研究函数的最值可判断D.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，
当时，，则，故B正确；
当时，，由即，解得；
当时，，由即，解得，
所以的解集为，故A正确；
当时，由，解得；
因为是定义在上的奇函数，所以；
当时，由，解得，
故有且只有三个零点，故C错误；
当时，，，
故在上单调递增，所以，，
则，故D正确．
故选：ABD．
64．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点0B．
C．在上单调递增D．在上单调递减
【答案】BC
【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．
【详解】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；
由于，故B正确；
当时，所以在上单调递增，故C正确；
当时，所以在上单调递减，上单调递增，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
65．（2024·山东）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则
【答案】
【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.
【详解】解：定义在R上的奇函数，所以，，
又，所以，8是函数的一个周期，
所以，所以是函数的一条对称轴，函数的对称轴是，根据以上性质画出函数的大致图像:

有图像知，，所以，
故答案为：
【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.
66．（2024·天津）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数过定点（0，-2），由数形结合：
【考点定位】本题考查函数的图像和性质，考查学生画图、识图以及利用图像解决问题的能力.
67．（2024·安徽）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 .
【答案】
【详解】试题分析：时取得最小值．即函数的图像的最低点为．
当时，由数形结合可知此时直线与的图像必有两个交点，故舍；
当时，要使直线与的图像只有一个交点，则有直线必过点，
即，解得．
综上可得．
考点：1函数图像交点问题；2数形结合思想．
68．（2024高三·全国·专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 ．
【答案】
【分析】第一空，理解消楚“迭代”的含义，实际上是一个递推数列，反复代入给定的表达式，计算即可；第二空，根据二分法依次取区间中点值计算即可.
【详解】已知，则．
迭代1次后，；
选代2次后，；
用二分法计算第1次，区间的中点为，，，所以近似解在区间上；
用二分法计算第2次，区间的中点为，，，所以近似解在区间上，取其中点值，
故所求近似解为．
故答案为：，
69．（2003·全国）方程的根 ．（结果精确到0.1）
【答案】2.6
【分析】首先确定根在之间，设，通过二分法结合计算器确定其答案.
【详解】设，函数单调递增，
且
，
，
结果保留到,则.
故答案为：.
70．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知实数，满足，，则 .
【答案】4
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合函数单调性和零点存在原理进行求解即可.
【详解】由，即，
即，
令，则，
即，即.
由，得，
设函数，显然该函数增函数，
又，
所以函数在上有唯一的零点，
因此，即，
所以.
故答案为：4.
71．（2024·新疆·二模）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】通过对进行分类讨论，利用导数来判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理，判断出函数在定义上的零点，进而得出结果．
【详解】因为，所以
当时，有，解得，所以当时，有两个零点，不符合题意；
当时，由，解得或，且有，，
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
又因为，，
所以，存在一个正数零点，所以不符合题意；
当时，令，解得或，且有，
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
又因为，，
所以，存在一个负数零点，要使存在唯一的零点，
则满足，解得或，又因为，所以，
综上，的取值范围是．
故答案为：.
72．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数与方程之间的关系转化两个函数图象交点个数问题，利用分段函数的表达式，结合题意将其转化为二次函数根的分布问题，利用数形结合进行求解即可．
【详解】当时，，
因为恰有三个不同的零点，
函数在上恰有三个不同的零点，即有三个解，
而无解，故.
当时，函数在上恰有三个不同的零点，
即，即与的图象有三个交点，如下图，
当时，与必有1个交点，
所以当时，有2个交点，
即，即令在内有两个实数解，
，

当时，函数在上恰有三个不同的零点，
即，即与的图象有三个交点，如下图，

当时，必有1个交点，
当时，与有2个交点，
所以，即在上有根，
令
故，解得：.
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题主要考查函数方程的应用，结合分段函数的表达式转化为两个函数交点个数问题，数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
73．（2024·江苏·模拟预测）若曲线有两条过的切线，则a的范围是 .
【答案】
【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点.后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案.
【详解】设切线切点为，因，则切线方程为：.
因过，则，由题函数图象
与直线有两个交点.，
得在上单调递增，在上单调递减.
又，，.
据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线.
故答案为：
74．（2024·广东·模拟预测）已知实数m，n满足，则 .
【答案】
【分析】首先根据条件进行同构变形，从而构造函数，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】因为，所以，
故，即，
即.
由，得.
令，因为增函数+增函数=增函数，所以函数在R上单调递增，
而，故，解得，则.
故答案为：
75．（2024·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
【答案】2
【分析】根据零点的定义，等价转化为两个函数求交点，根据反函数的定义，结合对称性，可得答案.
【详解】由，得， 函数与互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，
如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称，
则，.
故答案为：.
76．（2024高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数，，若函数存在零点2023，则函数一定存在零点，且 ．（只写一个即可）
【答案】
【分析】由函数存在零点2023求得值，代入函数，再求解方程 得答案.
【详解】存在零点2023，
是方程的根，即，
所以.
由，得,
得，
即一定是方程的一个根，
也就是函数一定存在零点，且.
故答案为：.
（一）
求函数的零点或零点所在区间
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
题型1：求函数的零点或零点所在区间
1-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数， ，函数的零点为 .
【答案】
【分析】第一空：利用代入法直接求解即可；第二空，令，分类讨论即可得解.
【详解】因为，
所以，则；
令，则，即，
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）；
综上：函数的零点为.
故答案为：；.
1-2．（2024高三·全国·专题练习）函数的零点为 ．
【答案】4
【分析】根据对数函数的定义及函数零点的定义计算即可.
【详解】依题意有，
所以.
故答案为：4.
1-3．（2007·湖南）函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=lg2x的图象，如下图所示：
由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.
考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．
1-4．（2024·湖北）方程的实数解的个数为 .
【答案】2
【详解】因为,作出函数的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程的实数解的个数为2.
1-5．（2024·北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
1-6．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的零点位于区间内，则 .
【答案】2
【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知，函数在区间内存在零点即可得出结果.
【详解】由题意可知函数在定义域内单调递增，
易知，
而，所以,
根据零点存在定理可知，函数在区间内存在零点，
所以可得.
故答案为：
1-7．（2024高一上·北京·期中）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
【答案】B
【解析】函数y＝x3与y＝的图象的交点的横坐标即为的零点，将问题转化为确定函数的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．
【详解】设，则是增函数，又
.
所以，
所以x0所在的区间是(1，2)
故选：B
【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定理，属于中档题.
（二）
利用函数的零点确定参数的取值范围
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
题型2：利用函数的零点(个数）确定参数的取值范围
2-1．（2024·天津北辰·三模）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析函数的零点，由条件列不等式求a的取值范围.
【详解】令，
因为函数有一个零点，函数至多有两个零点，
又有三个零点，
所以必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等，
且函数与函数的零点均为函数的零点，
由可得，，所以，
所以为函数的零点，
即，
所以，
令，可得，
由已知有两个根，
设，则有两个正根，
所以，，
所以，故，
当时，有两个根，
设其根为，，则，
设，则，，
所以，
令，则，
则，，
且，，
所以当时，，
所以当时，为函数的零点，又也为函数的零点，
且与互不相等，
所以当时，函数有三个零点.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2-2．（2024高一上·江西·阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.
【详解】∵和在上是增函数，
∴在上是增函数，
∴只需即可，即，解得.
故选：D.
2-3．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知函数在上有零点，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】通过讨论的范围，利用函数的单调性及零点存在定理判断函数的零点个数，从而确定的范围.
【详解】当时，，，，
故，由零点存在性定理知：在区间上至少有1个零点；
当时，，符合题意；
当时，，
，
由零点存在性定理知，在区间至少有1个零点；
当时，
，
因为，，所以，，
当时，，，递增，
当时，，，递减，
故在上递增，在上递减，
又，即在上，，
故在区间上没有零点．
所以，当时，函数在上有零点.
令，，
可知为奇函数，图象关于原点对称，
从而，当时，函数在上有零点.
又当时，，符合题意，
综上，实数的取值范围．
故答案为：．
2-4．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设，即可求出b，继而求出的表达式，将看作主元，配方得，记，即可求解最大值.
【详解】设，则，
此时，则，
令，
当时，，
记，则，
所以在上递增，在上递减，
故,所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题是双参数函数的零点问题，
第一步消参：通过设零点，代入方程，得到其中一个参数的表达式，
第二步主元法求最值：将所求表达式通过主元法（关于另一个参数）构造函数求出最值，即可求解.
2-5．（2024·天津）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
2-6．（2024·天津）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
（三）
嵌套函数的零点问题
1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
题型3：嵌套函数的零点问题
3-1．（2024高三上·浙江绍兴·期中）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】令，求得导数和单调性，画出图象，从而考虑有两个不同的根，从而可得或，结合图象可得，，，结合韦达定理即可得到所求值．
【详解】解：令，则，
故当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
可得处取得最小值，
，，画出的图象，
由可化为，
故结合题意可知，有两个不同的根，
故，故或，
不妨设方程的两个根分别为，，
①若，，
与相矛盾，故不成立；
②若，则方程的两个根，一正一负；
不妨设，结合的性质可得，，，，
故
又，，
．
故选：A．

【点睛】本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，同时考查了分类讨论思想的应用，属于难题．
3-2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简函数解析式，分析可知关于的方程、共有个不同的实数解，利用代数法可知方程有两个根，分析可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为，
由可得，
所以，关于的方程、共有个不同的实数解.
①先讨论方程的解的个数.
当时，由，可得，
当时，由，可得，
当时，由，可得，
所以，方程只有两解和；
②下面讨论方程的解的个数.
当时，由可得，可得或，
当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意，
当时，由可得，
因为，由题意可得或或，
解得或.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
3-3．（2024·河南安阳·模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】令，利用换元法可得，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根、，作出函数的图象，结合题意和图象可得、，进而得出结果.
【详解】令，作出函数的图象如下图所示：
由于方程至多两个实根，设为和，
由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，
由于关于x的方程有7个不同实数解，
则关于u的二次方程的一根为，则，
则方程的另一根为，
直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.
所以且.
故选：C.
3-4．（2024·四川广安·一模）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A．B．或C．或D．或或
【答案】A
【详解】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：
令，则方程必有两个根，且，不仿设 ，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
（四）
二分法
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
题型4：二分法
4-1．（2024高三·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.
【详解】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过次操作后，区间长度变为，
令，解得，且，
故所需二分区间的次数最少为7.
故选：C.
4-2．（2024高一上·辽宁·期中）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据零点存在定理进行判断.
【详解】设，易知为增函数，而，，
∴函数在区间内有零点，
即用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是．
故选：A．
4-3．（2024高一上·四川广安·期中）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：


那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
【答案】C
【分析】根据二分法的定义和精确度的要求分析判断即可
【详解】由所给数据可知，函数在区间内有一个根，
因为，，
所以根在内，
因为，所以不满足精确度，
继续取区间中点，
因为 ，，
所以根在区间，
因为，所以不满足精确度，
继续取区间中点，
因为，，
所以根在区间内，
因为满足精确度，
因为，所以根在内，
所以方程的一个近似解为，
故选：C
4-4．（2024高一上·贵州遵义·期末）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．
【详解】解：设，
当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，
即方程在区间上有解，
又（2），（3），
故（2）（3），
故方程在区间上有解，
即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.
故选：C．
4-5．（2024高三上·宁夏·期末）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：，，，，）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据函数特点及所给数据计算相关函数值，再结合零点存在定理即可获得解答.
【详解】由题意可知：
，
，
又因为函数在上连续，所以函数在区间上有零点，
约为
故选：C.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4-6．（2024高三上·湖南长沙·期中）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】由题可得经过n次操作后，区间的长度为，令即可求解.
【详解】根据题意，原来区间的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过n次操作后，区间的长度为，若，即.
故选：B．