2025年高考数学一轮复习考点突破和专题练习专题06指数与指数函数（Word版附解析）

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1、指数及指数运算
（1）根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
（2）根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
（4）有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
（5）有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指数函数
一、单选题
1．（2024高三上·陕西西安·期中）若是指数函数，则有（ ）
A．或B．
C．D．且
【答案】C
【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
【详解】因为是指数函数，
所以，解得.
故选：C．
2．（2024高三·山东·学业考试）函数是指数函数，则（ ）
A．或B．C．D．且
【答案】C
【分析】由指数函数的定义可得，同时，且，从而可求出的值
【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
3．（2024高三·全国·专题练习）当x>0时，函数的值总大于1，则实数a的取值范围是（ ）
A．1c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A
考点：函数的单调性.
11．（2024高二下·安徽宣城·阶段练习）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案.
【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
因为当时，为单调递增函数，
定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以当时，单调递减，
因为，所以，即.
故选：B.
12．（2024·海南·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，将不等式转化为，利用单调性可解.
【详解】构造函数，易知函数在上为单调递增函数．
因为不等式等价于，
又，所以，
所以由函数的单调性知，即，
解得或，所以原不等式的解集为.
故选：D
13．（2024·全国）设函数，则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
14．（2024·全国）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
15．（2024·北京）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
16．（2024·北京西城·三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断.
【详解】解：A. 的增区间为，在整个定义域上不单调，故错误；
B.的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；
C. 在R上递增，故正确；
D. 的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；
故选：C
17．（2024高一·全国·课后作业）函数对于任意的实数、都有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由指数的运算性质得到，逐一核对四个选项即可得到结论.
【详解】解：由函数，
得，
所以函数对于任意的实数、都有.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数的运算性质，是基础题.
18．（2024高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负.
【详解】由图象可知，函数为减函数，
从而有；
法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，
令，得，
由，即，解得 .
法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，
则，即.
故选：D.
19．（2024高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．
【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且，
，且．
故选：．
20．（2024高一上·全国·课后作业）若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义可得出，然后分、两种情况讨论，分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于实数的方程，解出即可.
【详解】因为函数为指数函数，所以.
当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得或（舍）；
当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得（舍）或（舍）.
综上可知，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用指数函数在区间上的最值求参数，解题的关键在于对指数函数的底数的取值范围进行分类讨论，结合函数的单调性得出等式求解.
21．（2024·陕西西安·一模）已知实数a、b满足，则a、b的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】构造函数，，结合指数函数和一次函数的单调性求解即可.
【详解】设，，则，
因为函数和在上都为增函数，
所以函数在上为增函数，
所以.
故选：C.
22．（2024·陕西）下了函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数定义一一代入分析即可.
【详解】A选项：由，，得，所以A错误；
B选项：由，，得；
又函数是定义在上增函数，所以B正确；
C选项：由，，得，所以C错误；
D选项：函数是定义在上减函数，所以D错误；
故选：B.
23．（2024·全国）已知，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b