数学八年级下册1 等腰三角形教学ppt课件

这是一份数学八年级下册1 等腰三角形教学ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了复习导入，探索新知，一一般三角形，二等腰三角形，合作探索，归纳总结，典例精练，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.
1.等腰三角形的判定方法：
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法）
2.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形；性质：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
思考：(1)一个三角形满足什么条件时是等边三角形？　 (2) 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
（1）以“边”判定: 三边都相等的三角形叫等边三角形；(定义法)（2）以“角”判定:
猜想： 三个角都相等的三角形是等边三角形.
　已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ． 求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A =∠B，∴　BC =AC， ∵∠B =∠C ，∴ AC =AB．　 ∴　AB =BC =AC． ∴　△ABC 是等边三角形．
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
（1）当顶角为60°时（2）当底角为60°时
证明：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
已知： 如图，在△ABC中 ，若AB=AC , ∠A= 60°.求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.∴∠A= ∠ B=∠C.∴AB=AC=BC.
情况一：顶角为60°的等腰三角形
已知：如图，在△ABC中 ，AB=AC , ∠B= 60°.求证： AB=AC=BC.
情况二：底角为60°的等腰三角形
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，∴∠A=60°(三角形内角和定理)．∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
三边相等的三角形是等边三角形.
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
∵在△ABC 中， ∠A=∠B =∠C =60°， ∴△ABC 是等边三角形．
∵在△ABC 中，BC =AC，∠A =60°（或∠B =60°），∴△ABC 是等边三角形．
∵在△ABC 中， AB=AC =BC ， ∴△ABC 是等边三角形．
等边三角形的判定方法
操作：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?
思考：拼出的等边三角形中， 找找Rt△ABD的直角边BD与斜边AB之间的数量关系吗？
证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知: 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°求证: BC= AB.
分析：突破证明“线段的倍、分”问题
∵ ∠ACB=90°, ∴∠ACD=90°，在△ABC与△ADC中， BC=DC，（作图）　∠ACB=∠ACD，（已证） AC=AC，（公共边） ∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AD=AB； ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°， ∴∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BC= BD= AB．
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD，
证明：在△ACB 内部∠ACD=∠A=30°，交 AB于D ∴AD=CD， ∵∠ACB=90°，∠DCB=∠B=60° ∴△ADC是等腰三角形 又∵ ∠B=60° ∴△BCD是等边三角形 (有一个角是600的等腰三角形是等边三角形) ∴CD=BD=BC ∴BC=AD=BD ∴BC= AB．
已知: 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°求证: BC= AB.
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°．∴BC= AB．
知识点一：等边三角形的判定定理1
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：△AED为等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝30°，∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠EAB＝∠DAC＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠B＝60°，∠ADC＝90°﹣∠C＝60°，∴∠DAE＝180°﹣∠AEB﹣∠ADC＝60°，∴∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，∴△AED为等边三角形．
知识点二：等边三角形的判定定理2
例2：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．
证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC， ∴BC＝BE， ∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D， ∴∠ECB＝60°， ∴△CEB为等边三角形．
证明：∵ AB=AC ，∠B=15° ∴∠B=∠ACB=150, ∴∠DAC=∠B+∠ACB=150+150=300 ∵ CD是腰AB的高 ∴∠ADC=90° ∴CD= AC= AB (在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
例3：求证: 等腰三角形的底角为150，那么腰上的高是腰长的一半 已知：在△ABC中，AB=AC, ∠B=15°，CD是腰AB的高， 求证：CD= AB
知识点三：在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半
1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）A．三边都相等的三角形B．三个角都相等的三角形C．有一个角等于60°的三角形D．有两个角等于60°的三角形
2．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　）A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，∠B＝60°C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C
3.下列说法正确的是（ ）A.直角三角形中30°角所对的直角边是另一直角边的一半． B.三角形中30°角所对的边等于最长边的一半 C.直角三角形中最小的直角边是斜边的一半 D.直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍
4.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°，AB =10，则BC 的长为 .
5.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD是高，∠A =30°，AB =4，则BD = .
6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（　　）
A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形 D．不能确定形状
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，D为AB中点，且DE⊥AB，交BC于点E，AC＝6cm，则BE等于（　　）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
8．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E为AC中点，且DE⊥AB，交AB于点D，DE＝3，求AB的长．
解：（1）∵E为AC中点，DE⊥AB∴CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝30°，∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°， ∠B＝90°﹣∠A＝60°∴∠BCD＝∠B＝60°∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD＝ AB ∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，∴AD＝2DE＝6，∴AB＝2AD＝12．
9.如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠EDF＝60°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中， ∠B＝∠C，BD＝CD，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∴△DEF是等边三角形．
10．如图，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险？
解：作PC⊥AB于点C．∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，∴∠PAB＝∠APB＝15°，∴BP＝AB＝20×2＝40（海里），在直角△PBC中，PC＝ PB＝40× ＝20＜22．则若轮船仍向前航行有触礁的危险．
1.等边三角形的判定:三边相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．三个角都相等的三角形是等边三角形．
2.特殊的直角三角形的性质:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
完成课本P12习题1.4中第1、2、3题