北师大版数学九上期末重难点培优训练专题02 矩形的性质与判定（2份，原卷版+解析版）

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考点一 根据矩形的性质与判定求角度 考点二 根据矩形的性质与判定求线段长
考点三 根据矩形的性质与判定求面积 考点四 根据矩形的性质与判定求动点中的最值问题
考点五 根据矩形的性质与判定求折叠问题 考点六 根据矩形的性质与判定无刻度作图
考点一 根据矩形的性质与判定求角度
例题：（2021·河南信阳·八年级期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
2．（2022·广西·河池市宜州区教育局教学研究室八年级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠OAE＝15°，
①求证：DA＝DO＝DE；
②直接写出∠DOE的度数．
考点二 根据矩形的性质与判定求线段长
例题：（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，菱形的对角线、相交于点，是的中点，点、在上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【变式训练】
1．（2021·江西九江·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，，，点P在BC边上，点M在AD边上，，点Q为AP的中点，当为直角三角形时，AP的长为__________．
2．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学八年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DEAC且DE=AC，连接AE交OD于点F，连接OE、CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)已知AB=2，DE=1，求OD的长．
考点三 根据矩形的性质与判定求面积
例题：（2022·云南昆明·三模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，点E是CD的中点，过点C作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD．
(1)求证：四边形OCFD是矩形；
(2)若四边形ABCD的周长为，△AOB的周长为，求四边形OCFD的面积．
【变式训练】
1．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足．
(1)联结DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形；
(2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积．
2．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学三模）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)若AB＝2，DE＝1，求四边形AODE的面积．
考点四 根据矩形的性质与判定求动点中的最值问题
例题：（广东省珠海市凤凰中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，对角线AC、BD相交于点O，点P是AD上一动点（不与A、D重合），过点P作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F，则PE+PF的值是（ ）
A．B．C．D．3
【变式训练】
1．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
2．（2022·重庆开州·八年级期中）如图，在中，，，，是边上的一个动点异于、两点，过点分别作、边的垂线，垂足分别为、，则最小值是______．
考点五 根据矩形的性质与判定求折叠问题
例题：（2022·广东·深圳市光明区公明中学八年级期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于_____．
【变式训练】
1．（2022·青海西宁·二模）如图，矩形AOBC的顶点A，B在坐标轴上，点C的坐标是（-10，8），点D在AC上，将沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则D点坐标是______．
2．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作交BE于点G，连接CG．
(1)求证：四边形CEFG是菱形；
(2)若，，求四边形CEFG的面积．
考点六 根据矩形的性质与判定无刻度作图
例题：（2022·江西南昌·模拟预测）如图，在矩形和等腰中，边和边交于点，且.请仅用无刻度直尺按下列要求作图.（保留作图痕迹）
(1)如图1，在边上找一点，使得；
(2)如图2，作边的中点．
【变式训练】
1．（2021·江西·崇仁县第二中学九年级期中）已知：矩形，点是的中点，点在上，请用无刻度尺画图：
（1）在图甲中，在边上找一点，使；
（2）在图乙中：在边上找一点，使．
2．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图，矩形ABCD中，AD＞AB，
（如需画草图，请使用备用图）
(1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①在BC边上取一点E，使AE＝BC；
②在CD上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等．
(2)在（1）中，若AB＝6，AD＝10，则△AEF 的面积＝ ．
一、选择题
1．（2022·全国·八年级）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，且．则EF的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2022·江苏·八年级）如图，在矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片使边DC落在对角线DB上，折痕为DE，则的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．18
3．（2022·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝9cm，BC＝12cm，E为边CD上一点，将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN的长为（ ）
A．7cmB．7.5cmC．8cmD．8.5cm
4．（2022·河南新乡·八年级期中）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
二、填空题
5．（2022·广东·雷州四中八年级期中）如图，在矩形中，对角线，，则的长为______
6．（2022·全国·九年级）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则ABM的周长为_____．
7．（2022·广东·珠海市拱北中学八年级期中）如图，矩形中，，将矩形沿着对角线折叠，点落在点处，过的中点作，交，于点，，且点恰好是的中点，则的长度=______．
8．（2022·浙江宁波·八年级期中）如图，矩形中，，，E为线段上一动点，作点B关于的轴对称点F，连接，，G为中点．当D，F，E三点共线时，的长为___________；在E的整个运动过程中，C，G两点距离的最小值为___________．
三、解答题
9．（2021·江苏·常州市第二十四中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝EC，分别在图1和图2中按要求仅用无刻度的直尺画图．（保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出∠DAE的平分线：
（2）在图2中，画出∠AEC的平分线EF，交AD于点F，并说明理由．
10．（2022·广东·深圳市光明区公明中学八年级期中）如图，△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，DG⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为G，F．
(1)求证：四边形DEFG为矩形；
(2)若AB＝AC＝2，EF＝2，求CF的长．
11．（2022·广东·广州市南武中学八年级期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，，．
(1)求证：四边形OBEC是矩形；
(2)若，，求矩形OBEC的面积．
12．（2022·山东青岛·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线GH经过点O，分别与BA、DC的延长线交于点G、H，与AD、CB交于点E、F．
(1)求证：△BOG≌△DOH．
(2)连接AH、CG，若GH＝GD，当点C位于DH的什么位置时，四边形AHCG是矩形？请说明理由．
13．（2022·北京朝阳·二模）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
(1)求证：四边形OMPN是矩形；
(2)连接AP，若，，求AP的长．
14．（2022·江苏·八年级）如图，平行四边形中，对角线、相交于点， BE∥AC交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
15．（2022·黑龙江大庆·二模）如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，．点是中点，连结并延长到，且，连接，．
(1)试判断四边形的形状，说明理由；
(2)当时，求的长．
16．（2022·江苏泰州·一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m （m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．
(1)求证：EG＝BG；
(2)若m＝2．
①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；
(3)随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BGAE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．