北师大版数学九上期末重难点培优训练专题12 圆周角和圆心角的关系（2份，原卷版+解析版）

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考点一 圆周角概念辨析 考点二 圆周角定理
考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等 考点四 直径所对的圆周角是直角
考点五 90°的圆周角所对的弦是直径 考点六 圆内接四边形对角互补

考点一 圆周角概念辨析
例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心
2．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
考点二 圆周角定理
例题：（2022秋·广东惠州·九年级统考期末）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝50°，则∠A的度数为__________．
【变式训练】
1．（2022秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图，是的直径，，则等于______．
2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，是的直径，上的两点A，B分别在直径的两侧，且，则__________．
考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等
例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
考点四 直径所对的圆周角是直角
例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BDB．∠CBA＝31°C．D．BD＝DE
【变式训练】
1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD=，BC=4，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．D．2
2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．
考点五 90°的圆周角所对的弦是直径
例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，的弦垂直于，，则的半径等于（ ）
A．B．C．D．4
【变式训练】
1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
考点六 圆内接四边形对角互补
例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B，C，D在⊙O上，若，则的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
【变式训练】
1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A．110°B．115°C．120°D．125°
一、选择题
1．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，已知是的直径，，平分，则的度数是（ ）
A．110°B．100°C．120°D．130°
2．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）如图，在中，弦，相交于点，，，则的大小是（ ）
A．35°B．45°C．60°D．70°
3．（2022秋·广东阳江·九年级统考期末）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，是的直径，以点为圆心，以长为半径画圆弧交于点，为上一点，连结，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，是的直径，C，D是上的两点，且平分，分别与，相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）如图，四边形内接于，，则的大小为______°．
7．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，都是的半径，，若，则的度数是______．
8．（2022秋·山东威海·九年级校考期末）如图，是的直径，点在上，，交于点，若，则的度数为___________．
9．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________．
10．（2022·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校联考阶段练习）如图，点坐标是，经过原点，交轴正半轴于点，点在上，，则点的坐标是________．
三、解答题
11．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期中）如图，在的内接四边形中，，平分．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的半径．
12．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图，是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，．
(1)求的度数；
(2)求的长度．
13．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）现有半圆形纸片，点O是圆心，直径的长是．
(1)如图1，点C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接、，沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)如图2，是弦，小明将半圆形纸片沿弦折叠使得点C与圆心O重合，顺次连接O、D、C、E得四边形，试判断四边形的形状，请说明理由并求出它的边长．
14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，为的内接三角形，，连接．
(1)求证：；
(2)延长交于，过点作于点，交于点，求证：；
(3)在(2)的条件下，连接并延长交于，连接，若，求线段的长．
15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
(1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想 ______180°；（请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想；
(2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
(3)如图3，凸四边形中，对角线长为6，，则四边形面积的最大值是______．
16．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．
(1)如图1，若点D是的中点，求的度数．
(2)过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在上．求证．
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求∠ABD的最大值．