沪科版数学八下期末重难点训练专题2.1 二次根式（2份，原卷版+解析版）

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1．（3分）（2020春•大悟县期中）下列式子是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可．
【答案】解：A、无意义，故本选项不符合题意；
B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；
C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；
D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
2．（3分）（2019秋•闵行区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式
B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式
C．同类二次根式一定都是最简二次根式
D．两个最简二次根式不一定是同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的概念判断．
【答案】解：A、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3．（3分）（2019春•萧山区期中）代数式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣4B．x＞2C．x≥﹣4且x≠2D．x＞﹣4且x≠2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+4≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．
【答案】解：由题意得：x+4≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣4且x≠2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
4．（3分）（2019秋•虹口区校级月考）下列各式中，互为有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用有理化因式判断即可．
【答案】解：与互为有理化因式，
故选：C．
【点睛】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式定义是解本题的关键．
5．（3分）（2020春•郯城县期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．3B．5C．15D．45
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【答案】解：由于45n＝32×5n，
∴3，
由于是整数，
∴n的最小值为5，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
6．（3分）（2020春•石城县期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【答案】解：由数轴上点的位置，得
4＜a＜8．
a﹣3+10﹣a＝7，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质化简是解题关键．
7．（3分）（2020春•芝罘区期中）若，则的值是（ ）
A．3B．±3C．D．±
【分析】先（）2＝x+27+2＝9，再开平方，可得结论．
【答案】解：∵，
∴（）2＝x+27+2＝9，
∵0，
∴3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，本题熟练掌握完全平方公式是关键，并注意二次根式的双重非负性．
8．（3分）（2020春•奉化区期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式＝48，然后利用新定义对各选项进行判断．
【答案】解：2+26＝48，
所以是型无理数．
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
9．（3分）（2020春•铁东区期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（24）cm2
【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积．
【答案】解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是4+2，
留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+1624﹣16﹣24＝16（cm2）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
10．（3分）（2020春•新泰市期中）如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|的结果是（ ）
A．3k﹣11B．k+1C．1D．11﹣3k
【分析】由于三角形的三边长分别为1、k、4，根据三角形的三边关系，1+4＞k，即k＜5，4﹣1＜k，所以k＞3，根据k的取值范围，再对代数式进行化简．
【答案】解：∵三角形的三边长分别为1、k、4，
∴，
解得，3＜k＜5，
所以，2k﹣5＞0，k﹣6＜0，
∴|2k﹣5|2k﹣52k﹣5﹣[﹣（k﹣6）]＝3k﹣11．
故选：A．
【点睛】化简，要根据二次根式的性质，先将化为|a|，然后根据a的符号，去绝对值符号进行化简．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020春•民权县期末）在根式，，，，，最简二次根式的个数有 1 个．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【答案】解：最简二次根式有这1个，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
12．（3分）（2020春•玄武区期中）如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是 x ．
【分析】根据已知得出3a﹣4＝16﹣a，求出a的值再根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．
【答案】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴3a﹣4＝16﹣a，
解得：a＝5，
∴，
要使有意义，必须25﹣2x≥0，
解得：x，
故答案为：x．
【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键．
13．（3分）（2020春•郯城县期中）若式子2﹣x成立，则x的取值范围为 x≤2 ．
【分析】根据二次根式的性质可得x﹣2≤0，再解即可．
【答案】解：由题意得：x﹣2≤0，
解得：x≤2，
故答案为：x≤2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握|a|．
14．（3分）（2019秋•二七区校级期中）若，则yx＝ 9或 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可求x＝±2，进一步求得y的值，再代值计算即可求解．
【答案】解：∵，
∴x＝±2，
∴y＝3，
∴yx＝32＝9或yx＝3﹣2．
故答案为：9或．
【点睛】考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式有意义的条件求得x＝±2．
15．（3分）（2020春•桦南县期中）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则 ．
【分析】先化简，再代入求值即可．
【答案】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，
∴x＜0，y＜0，
（），
∵x+y＝﹣5，xy＝4，
∴原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，化简二次根式是解题的关键．
16．（3分）（2019春•海阳市期中）若m满足等式|2019﹣m|＝m，则m﹣20192的值为 2020 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得m≥2020，再利用绝对值的性质计算|2019﹣m|＝m即可．
【答案】解：∵m﹣2020≥0，
∴m≥2020，
∴|2019﹣m|＝m，
m﹣2019＝m，
2019，
∴m﹣2020＝20192，
m﹣20192＝2020，
故答案为：2020．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式中的被开方数是非负数确定m的取值范围．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2020春•安丘市期中）计算题：
（1）2；
（2）先化简，再求值．（6x）﹣（4x），其中x，y＝27．
【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可；
（2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．
【答案】解：（1）原式＝2×2
＝2

＝0；
（2）原式＝6x4x
＝636
＝（3）
，
当x，y＝27时，原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简计算，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
18．（8分）（2020春•齐齐哈尔期末）计算
（1）（2）0；
（2）（2）（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算得出答案．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式＝（2）2﹣（）2＝6．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19．（8分）（2018秋•金牛区校级月考）已知0，求的值；
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x，y的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．
【答案】解：∵0，
∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，且x+3≠0，
解得：x＝3，y＝1，
故

＝2（2）
＝2．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
20．（8分）（2019春•确山县期中）已知a，b，c满足等式|a|+（c﹣4）2（1）求a，b，c的值．
（2）判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得b的值，再根据绝对值和偶次方的非负性可得a和c的值．
（2）先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a，b，c为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形；然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可．
【答案】解：（1）∵|a|+（c﹣4）2
∴b﹣5≥0，5﹣b≥0
∴b＝5
∴|a|+（c﹣4）2＝0
∴a0，c﹣40
∴a，b＝5，c＝4．
（2）∵a，b＝5，c＝4．
∴a+b5＞4．
∴以a，b，c为边能构成三角形；
∵a2+b2＝7+25＝32，c232
∴a2+b2＝c2
∴此三角形是直角三角形．
此三角形的面积为：5．
答：以a，b，c为边能构成三角形；此三角形是直角三角形；此三角形的面积为．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性、三角形的三边关系和勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
21．（10分）（2020春•安丘市期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2
∴1；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【答案】解：（1）∵5+23+2+2
＝（）2+（）2+2
＝（）2，
∴；
（2）∵7﹣44+3﹣422+（）2﹣2×2
＝（2）2，
∴2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
22．（10分）（2020春•遵义期末）材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）运用分母有理化，化简：；
（2）运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
（3）计算：的值．
【分析】（1）先分母有理化，然后合并即可；
（2）先利用分母有理化比较它们的倒数的大小，从而得到它们的大小关系；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【答案】解：（1）原式
2
＝2；
（2）．
理由如下：
∵，，
而，
∵，
∴；
（3）原式1
1
＝10﹣1
＝9．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.