沪科版数学八下期末重难点训练专题2.9 期末重难点突破训练卷（二）（2份，原卷版+解析版）

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1．（4分）下列各根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、2，故不是最简二次根式，不合题意；
B、，故不是最简二次根式，不合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、|a|，故不是最简二次根式，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
2．（4分）用下列哪种方法解方程3（x﹣2）2＝2x﹣4比较简便（ ）
A．直接开平方法B．配方法
C．公式法D．因式分解法
【分析】此题通过观察可知等式的右边可提出公因式2，变为2（x﹣2），移项后可把（x﹣2）看作是公因式，用提公因式的方法把左边分解因式，从而解出方程，所以用因式分解法比较简便．
【解答】解：由方程3（x﹣2）2＝2x﹣4知：
两边有公因式x﹣2，
因此用因式分解法解方程3（x﹣2）2＝2x﹣4比较简便．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
3．（4分）若2，2是关于x的方程x2+ax+b＝0的两个根，则a+b＝（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．5
【分析】利用根与系数的关系得到22a，（2）（2）＝b，再进行二次根式的混合运算求出a、b的值，然后计算a+b的值．
【解答】解：根据题意得22a，（2）（2）＝b，
所以a＝﹣4，b＝4﹣3＝1，
所以a+b＝﹣4+1＝﹣3．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
4．（4分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝360°×2﹣180°，
解得n＝5，
即这个多边形为五边形，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的内角和、外角和，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为360°是解决问题的关键．
5．（4分）若关于x的一元二次方程bx2+2bx+4＝0有两个相等的实数根，则b的值为（ ）
A．0B．4C．0或4D．0或﹣4
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．
【解答】解：根据题意得：△＝（2b）2﹣4×4×b＝4b2﹣16b＝0，
解得b＝4或b＝0（舍去）．
故选：B．
【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．注意考虑二次项系数不为0的条件．
6．（4分）如图，△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是（ ）
A．10B．C．8D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2DE，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE⊥AC，D为AB中点，
∴AB＝2DE＝2×4＝8，
在Rt△ABE中，BE，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质与定理是解题的关键．
7．（4分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20
C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20D．（x+3）（5+0.5x）＝20
【分析】根据题意，可以得到增加x株后，每盆的株数为x+3，每株的价格为5﹣0.5x，再根据每盆的盈利为20元，即可得到（x+3）（5﹣0.5x）＝20，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
（x+3）（5﹣0.5x）＝20，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
8．（4分）某篮球队10名队员的年龄结构如表：
已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数是（ ）
A．21 岁B．22 岁C．23 岁D．24 岁
【分析】先根据数据的总个数及中位数定义得出x＝3、y＝2，再利用众数的定义求解可得．
【解答】解：∵共有10个数据，
∴x+y＝5，
又该队队员年龄的中位数为21.5，即21.5，
∴x＝3、y＝2，
则这组数据的众数为21，
故选：A．
【点睛】本题主要考查中位数、众数，解题的关键是根据中位数的定义得出x、y的值．
9．（4分）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CDBC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（ ）
A．3B．4C．2D．3
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG＝4，设CD＝x，则EF＝BC＝2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF＝EG＝4．
【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EGAB4，
设CD＝x，则EF＝BC＝2x，
∴BG＝CG＝x，
∴EF＝2x＝DG，
∵EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF＝EG＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键．
10．（4分）如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝17﹣BC＝17﹣6＝11，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MNDE．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）若有意义，则a的取值范围为 a≤4且a≠﹣2
【分析】二次根式的被开方数是非负数且分式的分母不等于零．
【解答】解：依题意得：4﹣a≥0且a+2≠0，
解得a≤4且a≠﹣2．
故答案是：a≤4且a≠﹣2．
【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（5分）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2020的值为 2017 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝a代入已知方程，即可求得a2﹣2a＝1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴a2﹣2a＝1，
则﹣3a2+6a+2020＝﹣3（a2﹣2a）+2020＝﹣3+2020＝2017；
故答案为：2017．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．（5分）如图，正方形AOCB的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若BC＝6，BD＝5，则点D的坐标是 （10，3） ．
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，根据菱形的性质得到BD＝CD，求得BG＝CGBC，根据勾股定理得到DG的长，由正方形的性质得到OC＝BC＝6，于是得点D的坐标．
【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，
∵四边形BDCE是菱形，
∴BD＝CD，
∴BG＝CGBC＝3，
∵BD＝5，
∴DG4，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OC＝BC＝6，
∴D（10，3），
故答案为：（10，3）．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答此题的关键．
14．（5分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，O是BC的中点，D是腰AB上一点，把△DOB沿OD折叠得到△DOB′，当∠ADB′＝45°时，BD的长度为 2或4﹣2 ．
【分析】由勾股定理可得BC＝4，由折叠的性质和平行线的性质可得∠BOD＝∠BDO，即可求BD的长．
【解答】解：若点B'在AB右侧，如图所示，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝4，∠ABC＝45°，
∵O是BC的中点，
∴BO＝2
∵把△DOB沿OD折叠得到△DOB′，
∴∠BDO＝∠B'DO，BD＝B'D，BO＝B'O，
∵∠ABC＝∠ADB'＝45°，
∴DB'∥BC，
∴∠BOD＝∠B'DO，
∴∠BOD＝∠BDO，
∴BO＝BD＝2，
若点B'在AB左侧，如图所示：
∵∠ADB′＝45°，△DOB沿OD折叠得到△DOB′，
∴∠BDO＝∠B'DO＝112.5°，
∴∠ADO＝67.5°，
过点O作OH⊥AB于点H，作∠FDH＝45°，交OH于F，
∴∠HDF＝∠HFD，∠FDO＝∠FOD＝22.5°，
∴DH＝FH，FD＝FOHF，
∵BO＝2，∠ABC＝45°，BH⊥OH，
∴HO＝2＝BH，
∴HFHF＝2，
∴HF＝22，
∴BD＝4﹣2
故答案为：2或4﹣2．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：．
【分析】先利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝9﹣12﹣4
＝﹣3﹣4
＝﹣3﹣3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．（8分）解方程：（x﹣2）2＝（2x+5）2．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣（2x+5）2＝0，
（x﹣2+2x+5）（x﹣2﹣2x﹣5）＝0，
x﹣2+2x+5＝0或x﹣2﹣2x﹣5＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣7．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．
17．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
【分析】（1）根据勾股定理可得直角边长为2和1的直角三角形斜边长为；
（2）根据勾股定理可得直角边长为3和1的直角三角形斜边长为，再根据面积为3确定△DEF．
【解答】解：（1）如图所示：线段AB即为所求；
（2）△DEF即为所求．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+4x＝1﹣m．
（1）当m＝5时，试判断此方程根的情况．
（2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，求m的值．
【分析】（1）把m＝5代入方程，再根据根的判别式即可判断此方程根的情况．
（2）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的取值范围，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）当m＝5时，原方程为x2+4x+4＝0，
∵△＝42﹣4×1×4＝0，
此方程根有两个相等的实数根．
（2）∵x1，x2是方程x2+4x＝1﹣m，即x2+4x+m﹣1＝0不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，
∴△＝42﹣4×1×（m﹣1）＞0，解得m＜5
∴（1﹣m）2＝49，
解得m1＝﹣6，m2＝8（舍去）．
故m的值是﹣6．
【点睛】本题主要考查根的判别式，由方程根的情况判断出判别式的符号是解题的关键．
19．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AE＝CE．
（1）用尺规或只用无刻度的直尺作出∠AEC的角平分线，保留作图痕迹，不需要写作法．
（2）设∠AEC的角平分线交边AD于点F，连接CF，求证：四边形AECF为菱形．
【分析】（1）只用无刻度直尺作图过程如下：①连接AC、BD交于点O，②连接EO，EO为∠AEC的角平分线；
（2）先根据AF＝EC，AF∥CE，判定四边形AECF是平行四边形，再根据AE＝EC，即可得出平行四边形AECF是菱形．
【解答】解：（1）如图所示，EO为∠AEC的角平分线；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
又∵∠AEF＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE＝EC，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
20．（10分）由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某校党组织随机抽取了部分党员教师某天的学习成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分，且20≤x＜70），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第2，第5两组测试成绩人数直方图的高度比为3：1，请结合下列图表中相关数据回答下列问题：
学习积分频数分布表
（1）填空：a＝ 5 ，b＝ 30% ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）据统计，该校共有党员教师200人，请你估计每天学习成绩在40分以上的党员教师人数．
【分析】（1）根据第三组的频数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，从而可以求得a和b的值；
（2）根据（1）中的结果可以得到第二组和第五组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据直方图中的数据可以计算出每天学习成绩在40分以上的党员教师人数．
【解答】解：（1）本次抽取的人数为：15÷30%＝50，
∵第2，第5两组测试成绩人数直方图的高度比为3：1，
∴a＝（50﹣5﹣15﹣10）5，b30%，
故答案为：5，30%；
（2）由（1）知，a＝5，则第二组的频数为15，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）200120（人），
答：每天学习成绩在40分以上的党员教师有120人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（12分）如图，已知点D是△ABC的边BC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线DE∥AB，分别交AE、AC于点E、F．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如果四边形ADCE是矩形，△ABC应满足什么条件？并说明理由；
（3）如果四边形ADCE是菱形，直接写出△ABC应满足的条件是 △ABC是直角三角形 ．
【分析】（1）证出四边形ABDE是平行四边形，得出AE＝BD，由已知得出AE＝CD，即可得出四边形ADCE是平行四边形．
（2）由矩形的性质得出∠ADB＝90°，由线段垂直平分线的性质得出AB＝AC即可．
（3）由菱形的性质得出∠DFC＝90°，由三角形的中位线得出DE∥AB，从而得出∠BAC＝90°．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
（2）解：如果四边形ADCE是矩形，△ABC是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ADCE是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
（3）如果四边形ADCE是菱形，△ABC是直角三角形；理由如下：
∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，AF＝FC，AD＝DC，
∵BD＝DC，
∴DE∥AB，
∴∠BAC＝DFC＝90°，
即△ABC是直角三角形．
故答案为：△ABC是直角三角形．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形中位线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
22．（12分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝ （51﹣3x） 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
【分析】（1）设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【解答】解：（1）设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
（2）依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣3x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵△＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△＜0时，方程无实数根”．
23．（14分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
【分析】（1）依据条件得出∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE＝GD，∠CGE＝∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（注：本小题也可以通过证明四边形ECGH为矩形得出结论）
（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC＝AP，由（1）可得EG＝DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG，依据EC＝PD，即可得出AD＝AP+PD＝AC+EC；
（3）依据∠B＝30°，可得∠ADE＝30°，进而得到AEAD，故AE＝AF＝FG，再根据四边形AEGF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．
【解答】解：（1）∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，
∴∠CGE＝∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC＝GP，而AG＝AG，
∴△CAG≌△PAG，∴AC＝AP，
由（1）可得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC＝PD，
∴AD＝AP+PD＝AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∴AEAD，
∴AE＝AF＝FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．年龄/岁
19
20
21
22
24
26
人数
1
1
x
y
2
1
组别
成绩x分
频数
频率
1
20≤x＜30
5
2
30≤x＜40
b
3
40≤x＜50
15
30%
4
50≤x＜60
10
5
60≤x＜70
a