北师大版数学八下期末重难点培优训练专题01 等腰三角形的定义 性质与判定(2份，原卷版+解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8912" 【典型例题】 PAGEREF _Tc8912 \h 1
\l "_Tc16533" 【考点一 等腰三角形的定义】 PAGEREF _Tc16533 \h 1
\l "_Tc15813" 【考点二 根据等边对等角求角度】 PAGEREF _Tc15813 \h 2
\l "_Tc32426" 【考点三 根据三线合一求解】 PAGEREF _Tc32426 \h 5
\l "_Tc7884" 【考点四 格点图中画等腰三角形】 PAGEREF _Tc7884 \h 7
\l "_Tc12647" 【考点五 求与图形中任意两点构成等腰三角形】 PAGEREF _Tc12647 \h 10
\l "_Tc3654" 【考点六 等腰三角形的性质与判定】 PAGEREF _Tc3654 \h 12
\l "_Tc12421" 【考点七 等边三角形的性质与判定】 PAGEREF _Tc12421 \h 16
\l "_Tc31331" 【过关检测】 PAGEREF _Tc31331 \h 19
【典型例题】
【考点一 等腰三角形的定义】
例题：（2022春·江苏·八年级期中）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则此三角形的周长为_____．
【变式训练】
1．（2022春·吉林·八年级期末）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为_____．
2．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）已知是等腰三角形，若，则的顶角度数是______．
3．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为9cm，5cm，则该等腰三角形的周长为_____cm．
【考点二 根据等边对等角求角度】
例题：（2022春·辽宁大连·八年级期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是______°．
【变式训练】
1．（北京市朝阳区2022-2023学年八年级上学期期末检测数学试题）如图，在中，平分，则_____________．
2．（2022春·全国·八年级期中）如图，在中，，，则的外角_____°．
3．（2022春·上海虹口·八年级校考期中）如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是____________．
【考点三 根据三线合一求解】
例题：（2021春·福建福州·八年级校考期末）如图，在等腰中，，为上一点，且，若，，则的长是______．
【变式训练】
1．（2022春·广西河池·八年级统考期中）如图，在中，，．若，则_____．
2．（2022春·江苏南京·八年级南京师范大学附属中学江宁分校阶段练习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则______．
3．（2021春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，，点D在边上，且，若，，则的长为______．
【考点四 格点图中画等腰三角形】
例题：（2022春·吉林长春·八年级长春市第八十七中学期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点在格点上．
(1)在图①中画出一个以为腰的等腰直角三角形；
(2)在图②中画出一个以为底的等腰三角形，其面积为______．
【变式训练】
1．（2022春·福建莆田·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，已知点，点均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．
(1)请在图①中，画出以AB为一边的等腰直角；
(2)请在图②中，画出以AB为腰的等腰（必须是与上题形状不相同的三角形）；
(3)请在图③中，画出以AB为底的等腰．
【考点五 求与图形中任意两点构成等腰三角形】
例题：（2022春·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5B．6C．8D．9
2．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【考点六 等腰三角形的性质与判定】
例题：（2022春·江苏·八年级期末）如图，在中，，于点D．
(1)若，求的度数；
(2)若点E在边上，交的延长线于点F．求证：．
【变式训练】
1．（2022春·广东广州·八年级校考期末）如图，，，．
(1)求证：；
(2)过点B作于点F交直线于点M，连接，判断与的位置关系，并说明理由．
2．（北京市朝阳区2022-2023学年八年级上学期期末检测数学试题）在中，是边的中线，E是边上一点，交于点F．
(1)如图①，判断的形状并证明；
(2)如图②，，
①补全图形；
②用等式表示之间的数量关系并证明．
【考点七 等边三角形的性质与判定】
例题：（2022春·福建福州·八年级期末）如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)点D在的延长线上，点M在的平分线上，连接，且．
①求证：是等边三角形；
②的值是否为定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．
【变式训练】
1．（2022春·广东广州·八年级校考期中）如图，已知P是等边中边上一点，
(1)过点P作，求证：为等边三角形；
(2)连接，以P为顶点作，交的外角平分线于点Q，连接，那么是什么特殊三角形？证明你的结论．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022春·全国·八年级期中）等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形底角的度数是（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2022·四川宜宾·模拟预测）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则三角形的周长为（ ）
A．1B．1C．1或D．1
3．（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，在中，，平分，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）如图，在中，，点是延长线上一点，且，已知，，则的面积为（ ）
A．7B．14C．21D．28
5．（2022春·江苏南京·八年级南师附中新城初中校考阶段练习）如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2022春·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）如图，已知中，平分交于点D，点E是边上的一点，且满足；过点D作交于点F，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
二、填空题
7．（2022春·浙江·八年级期中）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为__．
8．（2022春·广东东莞·八年级东莞市厚街海月学校校考期中）一个等腰三角形的周长为，已知一边为3，则它的另两边长分别为________．
9．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，正方形的网格中，点，是小正方形的顶点，如果点是小正方形的顶点，且使是等腰三角形，则点的个数为 ___________．
10．（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为_____．
11．（2022春·八年级单元测试）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点A坐标为，则________，若是以为腰的等腰三角形，点B为格点且点B在x轴上，则满足条件的点B的坐标为________．
12．（2022春·河南平顶山·八年级校联考期中）如图，B、C、D在同一直线上，，，于O，，P为线段上一个动点，点P从点D向终点B运动（不包括D、B），当为等腰三角形时，的长为______．
三、解答题
13．（2022春·江苏·八年级期末）如图，在中，，，平分，交于点D，E为中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
14．（2022春·吉林长春·八年级统考期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图①中以线段为一腰画一个等腰锐角三角形；
(2)在图②中以线段CD为底画一个等腰直角三角形；
(3)在图③中画等腰钝角三角形．
15．（2022春·河南周口·八年级校联考期中）如图，在中，，D，E分别在上，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)延长至点F，使，连接，判定的形状，并说明理由．
16．（2021春·陕西安康·八年级统考期末）已知在中，的平分线交于点D，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长．
17．（北京市海淀区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷）已知在中，，且=．作，使得．
(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；
(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；
(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．
18．（2022春·江苏·八年级期中）在中，点是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点．
(1)如图1，当，时．
和有怎样的位置关系，为什么？
若，，求线段的长．
(2)如图2，若，折叠后要使和，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时的度数．
19．（2022春·全国·八年级期末）等边三角形中，点为线段上一动点，点与、不重合，点在的延长线上，且．试确定与的数量关系．
【特例研究】
(1)如图①，当点为的中点时，请判断线段与的数量关系： （填“”“ ”或“”，并说明理由；
【一般探索】
(2)如图②，当点为边上任意一点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系；若成立，请说明理由．
【拓展应用】
(3)在等边三角形中，点在的延长线上，点在的延长线上，且，，，求的长．