北师大版数学八下期末重难点培优训练专题05 直角三角形(2份，原卷版+解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18670" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18670 \h 1
\l "_Tc3963" 【考点一 直角三角形的两个锐角互余】 PAGEREF _Tc3963 \h 1
\l "_Tc22803" 【考点二 全等的性质和HL综合】 PAGEREF _Tc22803 \h 2
\l "_Tc12672" 【考点三 判断三边能否构成直角三角形】 PAGEREF _Tc12672 \h 5
\l "_Tc8651" 【考点四 在网格中判断直角三角形】 PAGEREF _Tc8651 \h 7
\l "_Tc22691" 【考点五 利用勾股定理的逆定理求解】 PAGEREF _Tc22691 \h 11
\l "_Tc32672" 【考点六 勾股定理逆定理的实际应用】 PAGEREF _Tc32672 \h 14
\l "_Tc16395" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16395 \h 17
【典型例题】
【考点一 直角三角形的两个锐角互余】
例题：（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）在中，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质计算可求解．
【详解】解：在中，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·校考二模）如图，已知，分别与、相交，点、分别为，上一点，且，若，则为（ ）
A．43°B．47°C．53°D．
【答案】A
【分析】利用直角三角形的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，两直线平行同位角相等的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
2．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，则的度数为 __．
【答案】##65度
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。
【详解】解：在中，，，
则，
是的外角，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关键.
【考点二 全等的性质和HL综合】
例题：（2022秋·浙江·八年级期中）如图，，相交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由“HL”可证RtRt，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由全等三角形的性质可得，再根据角的和差即可求解．
【详解】（1）∵，
∴和都是直角三角形，
在Rt和Rt中，
，
∴RtRt（HL），
∴
（2）在Rt中，，
∴，
由（1）可知RtRt，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用HL证明RtRt是本题的关键．
【变式训练】
1．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，，是上的一点，且，．
(1)与全等吗？并说明理由．
(2)若，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)．
【分析】（1）根据证明和全等解答即可；
（2）根据全等三角形的性质及平角的定义证明是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：，
证明：∵，
∴，
∵，
在和中，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据证明是解题的关键．
2．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，与交于点O．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）直接利用证明即可；
（2）首先根据三角形内角和定理和全等三角形的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∵
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【考点三 判断三边能否构成直角三角形】
例题：（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图所示，已知中，于，，，．
(1)求的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)1.2
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）先在中，利用勾股定理可求出的长，从而求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
的长为1.2；
（2）是直角三角形，
理由：在中，，，
，
，
，，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级单元测试）如图，，垂足为D，且，．点E从B点沿射线向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为的中点，连接，设点E运动的时间为t．
(1)当t为何值时，；
(2)当时，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)当时，；
(2)是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得：，再根据线段中点的定义可得，从而可得，，由等腰三角形的性质得，则建立方程即可解答；
（2）当时，，，然后分别在和中，利用勾股定理求出和，最后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵F为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
即，
解得：，
∴当时，；
（2）解：是直角三角形，
理由：当时，，
∴，
在中，，
在中，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知 满足．
(1)求的值；
(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)不能构成直角三角形，见解析
【分析】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可；
（2）根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解；
【详解】（1）∵，
∴， ，＝0，
∴，，；
（2）∵，
∴不能构成直角三角形．
【点睛】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关键．
【考点四 在网格中判断直角三角形】
例题：（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．
(1)直接写出______，______，______；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)直接写出边上的高______．
【答案】(1)，，
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；
（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
（3）利用面积法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：是直角三角形，
理由：∵，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）设边上的高为h，
∵的面积，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．
(1)求四边形的面积，
(2)是直角吗？为什么？
【答案】(1)
(2)是直角，理由见解析
【分析】（1）根据网格中图形，用大正方形面积减去四个顶点处的直角三角形面积和一个正方形面积即可得到答案；
（2）由图，连接，分别在网格中利用勾股定理计算出三条线段长，利用勾股定理的逆定理验证即可得到答案．
【详解】（1）解：由网格图可知，四边形的面积为
；
（2）解：是直角，
理由如下：连接，如图所示：
∴，，，
，
∴是直角三角形，是直角．
【点睛】本题考查网格中求四边形面积及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握网格中求图形面积的方法及网格中利用勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
2．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1，点，．
(1)建立平面直角坐标系；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)在轴上找一点，当最小时，此时点坐标是 ．
【答案】(1)详见解析
(2)是直角三角形，详见解析
(3)
【分析】（1）根据、两点坐标确定平面直角坐标系即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，直线的解析式，可得点坐标．
【详解】（1）如图，平面直角坐标系如图所示：
（2）∵，BC＝，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）如图，点即为所求，
∵，，，
∴设直线的解析式为，则有，解得：，
∴直线的解析式为，
令，可得，
∴．
【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，勾股定理以及逆定理等知识，明确、、在一条直线上时，有最小值是解题的关键．
【考点五 利用勾股定理的逆定理求解】
例题：（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数；
(2)四边形的面积为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据已知先证明是等边三角形，从而可得，，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后进行计算即可解答；
（2）过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质求出的长，从而利用勾股定理求出的长，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：连接，
，，
∴是等边三角形，
，，
，，
，
∴是直角三角形，
，
，
的度数为；
（2）解：过点作，垂足为，
是等边三角形，
，
，
四边形的面积的面积的面积
，
四边形的面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，求的长．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是通过勾股定理的逆定理得到为直角三角形．
2．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，四边形中，已知，，，，且．求四边形的面积．
【答案】四边形的面积为．
【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积的面积的面积
，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
【考点六 勾股定理逆定理的实际应用】
例题：（2022秋·辽宁·八年级校考期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长．
【答案】千米
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明，得出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度．
【详解】解：∵千米，千米，千米，即，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，即，
解得：，
答：原来的路线的长为千米．
【点睛】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河南平顶山·八年级校联考期中）某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．
(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
【答案】(1)会受到影响
(2)小时
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出城镇C是否会受到沙尘暴影响；
（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出沙尘暴影响该城镇持续的时间．
【详解】（1）解：作于D，
在三角形中，，
∴是直角三角形，即，
，
，
解得∶千米，
所以，城镇C会受到影响．
（2）解：设沙尘暴中心到点E处城镇C开始受到影响，此时千米，
到F处结束影响，此时千米，
，千米，
受影响的时间为（小时）
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
2．（2022秋·云南楚雄·八年级统考期末）为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得，，，，，如果种植草皮费用是200元/，那么共需投入多少钱？
【答案】46800
【分析】连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理逆定理，求出为直角三角形，进而利用两个直角三角形的面积和求出四边形的面积，再用面积乘以费用，即可得解．
【详解】解：如图所示，
连接．
，，，
，

又，，，即，
是直角三角形，

所需费用为元．
答：共需投入46800元．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．熟练掌握勾股定理，以及利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·河北保定·八年级统考期中）如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用直角三角形的性质求得的度数，再利用三角形外角的性质，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了直角三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
2．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期中）已知、、是的三边长，且满足关系式，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．以上都有可能
【答案】C
【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性得出​，​，即可确定三角形的形状．
【详解】解：​，
​，​，
解得：​，​，
​的形状为等腰直角三角形；
故选C．
【点睛】题目主要考查算术平方根及绝对值的非负性，勾股定理逆定理，理解题意，熟练运用算术平方根及绝对值的非负性是解题关键．
3．（2021秋·天津静海·八年级校考阶段练习）如图，于点E，于点F，且．若，则的度数为（ ）
A．50°B．100°C．150°D．200°
【答案】B
【分析】证明，即可作答．
【详解】∵于点E，于点F，
∴，是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
4．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．在中，若，则是直角三角形
B．在中，若，则是直角三角形
C．在中，若，则是直角三角形
D．在中，若三边长，，满足，则是直角三角形
【答案】B
【分析】A、B、C选项先根据三角形内角和定理计算出中最大角的度数，再依据直角三角形定义进行判断，D选项根据勾股逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、在中，若，可得，，则是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、在中，若，可得，则不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、在中，若，则，则是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，所以是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键．
5．（2022秋·湖北恩施·八年级校联考期中）如图，在中，，一条线段，P，Q两点分别在线段和的垂线上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则的值为( )
A．6cm B．12cm C．12cm或6cm D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】分两种情况：①当时，，②当P运动到与C点重合时，，，分别求解即可．
【详解】解：①当时，，
在与中，
，
∴，
即；
②当P运动到与C点重合时，，，
在与中，
，
∴，
即．
综上所述，或12cm．
故选：C
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握证明三角形全等，分类讨论思想方法是关键．
二、填空题
6．（北京市延庆区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使得和全等，（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据三角形全等判定条件即可解答．
【详解】解：当时满足条件；
在和中，
，
∴．
故答案是：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定条件，掌握全等三角形的判定性质是解题的关键．
7．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点A、、是小正方形的顶点，则的度数为________．
【答案】
【分析】连接根据勾股定理求出，，，根据勾股定理逆定理得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，由题意可得，
，，，
∴，，
∴，
∴ ，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理及等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据勾股定理求出，，，得到．
8．（2022秋·四川广元·八年级统考期末）如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为______°．
【答案】
【分析】先证明，得到，再根据直角三角形两锐角互余求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，证明，得到是解题的关键．
9．（2022秋·辽宁大连·八年级校考期末）一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中______度．
【答案】
【分析】由题意可得，由三角形的内角和及对顶角,从而可求解．
【详解】解：由图和题意，可知：，
则：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角板中的角度的计算．熟练掌握一副三角板中每个角的度数，是解题的关键．
10．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．判断是______三角形；计算的面积______．
【答案】 直角
【分析】根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理证明是，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴是，且,
∴，
故答案为：直角；．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．
三、解答题
11．（2021春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）如图，在中，，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用证明即可；
（2）延长交于点，利用全等三角形的性质，以及对顶角相等，得到，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（）；
（2）证明：延长交于点，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
12．（2022秋·广东佛山·八年级大沥中学校考阶段练习）如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出，再根据勾股定理的逆定理得出即可；
（2）设，则，根据勾股定理求出，求出，再求出周长即可．
【详解】（1）证明：在中，，，．
，
，
是直角三角形；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，，
，
的周长是．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．
13．（2022秋·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在中，是上一点，若，，，．
(1)求证：；
(2)求的面积
【答案】(1)见解析
(2)60
【分析】（1）先根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形，即可求得答案；
（2）先由勾股定理求出的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，
；
（2）解：，
，
，，
，
的面积为，
的面积为60．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理的运用，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形．
14．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，点B、F、C、E在同一直线上，、相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)50°
【分析】（1）由HL即可得出；
（2）由直角三角形的性质得出，利用全等三角形的性质即可得到，再由三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，，
∴
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形的外角性质；证明三角形全等是解题的关键．
15．（2022秋·山西临汾·八年级统考期末）如图，的三边分别为，，，如果将沿折叠，使恰好落在边上．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求线段的长．
【答案】(1)是直角三角形；
(2)CD．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断是否成立即可．
（2）设折叠后点与上的点重合．在Rt中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）是直角三角形，
理由：
∵，
∴，
是直角三角形；
（2）设折叠后点与上的点重合，
设，则，，，，
∵，
在Rt中，，
整理得：，
解得：，
即线段的长为．
【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是运用勾股定理逆定理证得．
16．（2023春·八年级单元测试）如图，的三个顶点的坐标分别为．
(1)判断的形状，请说明理由．
(2)求的周长和面积．
(3)在x轴上有一点P，使得最小，则的最小值为________．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)周长为，面积为5
(3)
【分析】（1）根据勾股定理，分别求出，再由勾股定理的逆定理，即可求解；
（2）分别求出，，再由三角形的周长公式和面积公式计算，即可求解；
（3）作C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，可得最小值即为线段的长度，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
∴，，
∴的周长为，
的面积为；
（3）解：作C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，如图：
∵C关于x轴的对称点，
∴，
∴，
又两点之间线段最短，
∴最小值即为线段的长度，
而，
∴最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，坐标与图形变换，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
17．（2022秋·福建泉州·八年级南安市实验中学校考阶段练习）如图，在中，，于E，，，点F在边上，连接．
(1)若，试说明．
(2)在（1）的条件下，若，求的长（用含m，n的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)的长为．
【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解；
（2）由可知：，设，利用列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18．（2022秋·浙江金华·八年级统考期中）已知：在四边形中，，，．
(1)求证：．
(2)若，．
①求四边形的面积．
②点到的距离是________．
【答案】(1)见解析
(2)①49；②7
【分析】（1）根据勾股定理可得，再由，可得，即可；
（2）①根据勾股定理可得，进而得到，再由四边形的面积，即可求解；②过点B作于点E，交延长线于点F，连接，可得，从而得到，可证得，从而得到，再由，即可求解．
【详解】（1）证明∶∵ ，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，即；
（2）解：①∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积
；
②如图，过点B作于点E，交延长线于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．