浙教版数学七下期末培优训练专题06 多项式乘多项式压轴题四种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

这是一份浙教版数学七下期末培优训练专题06 多项式乘多项式压轴题四种模型全攻略（2份，原卷版+解析版），文件包含浙教版数学七下期末培优训练专题06多项式乘多项式压轴题四种模型全攻略原卷版doc、浙教版数学七下期末培优训练专题06多项式乘多项式压轴题四种模型全攻略解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
【类型一 字母参数问题】
例1．（2022·重庆·八年级期末）若的结果中不含的一次项，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
将原式化简后，将含有的项进行合并，然后令其系数为即可求出答案．
【详解】
解：原式

令，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的乘法法则，本题属于基础题型．
【变式训练1】（2022·吉林长春·八年级期末）若关于x的多项式（x+m）（2x﹣3）展开后不含x项，则m的值为 _____．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】
根据多项式乘多项式可进行把含x的多项式进行展开，然后再根据题意可求解．
【详解】
解：，
∵展开后不含x项，
∴，
解得：；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
【变式训练2】（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室八年级期末）（x2﹣mx+6）（4x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是 ___．
【答案】##
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式的法则将已知代数式化简，再令二次项系数为0，即可求得的值．
【详解】
（x2﹣mx+6）（4x﹣2）
不含x的二次项，
解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，正确的计算是解题的关键．
【变式训练3】（2022·辽宁大连·八年级期末）若（x－1）（x2＋ax＋2）的展开式中不含x2项，则a的值是_______
【答案】1
【解析】
【分析】
根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值．
【详解】
解：（x－1）（x2＋ax＋2）
=x3+ax2+2x-x2-ax-2
=x3+（a-1）x2+（2-a）x-2，
∵展开式中不含x2项，
∴a-1=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了整式的乘法—多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0．
【类型二 多项式乘多项式化简及求值问题】
例2．（2022·江苏·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，
【答案】，1
【解析】
【分析】
先利用整式乘法计算括号内的运算，然后合并同类项，得到最简整式，再把，代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：
；
当，
原式．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
【变式训练1】（2021·全国·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
利用多项式乘以多项式法则计算即可得到；
【详解】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】
此题考查整式的乘法法则，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【变式训练2】（2021·江苏南京·七年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】
多项式乘以多项式，单项式乘以多项式展开，合并同类项对整式进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】
解：
，
，
，
当时，原式．
【点睛】
本题主要考查整式的乘法运算，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式展开，合并同类项代入求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．
【变式训练3】（2021·河南·八年级阶段练习）已知将展开的结果不含和项，（m、n为常数）
（1）求m、n的值；
（2）在（1）的条件下，求的值．（先化简，再求值）
【答案】（1）；（2），-1792
【解析】
【分析】
（1）先按照多项式乘以多项式的计算法则展开，根据题意不含和项，则展开项的和项的系数为0，据此列出方程组，解方程组即可求得的值；
（2）先将代数式化简，再根据（1）中的结论，将的值代入代数式求解即可．
【详解】
解：（1），
，
由题意得：，
解得：；
（2）
，
当，时，
原式
【点睛】
本题考查了整式的乘法运算，整式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
【类型三 多项式乘多项式与图形面积问题】
例2．（2022·江西南昌·八年级期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为c、b的长方形纸片．请解答下列问题：
（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝ ；
（2）请写出图3中所表示的数学等式： ；
（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝ ．
（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b＝，求2a+b的值．
【答案】（1）a2+3ab+2b2；（2）（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2；（3）画图见详解，2a2+3ab+b2；（4）5
【解析】
【分析】
（1）根据长方形面积的两种算法，即可得到答案；
（2）根据长方形面积的两种算法，即可得到答案；
（3）先画出长方形，再根据长方形面积的两种算法，即可得到答案；
（4）根据（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，代入求值即可．
【详解】
解：（1）∵长方形的面积=a2+3ab+2b2，长方形的面积=（a+b）（a+2b），
∴（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，
故答案是：a2+3ab+2b2；
（2）∵长方形的面积=3a2+4ab+b2，长方形的面积=（3a+b）（a+b），
∴（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2，
故答案是：（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2；
（3）如图所示：
∴（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，
故答案是：2a2+3ab+b2；
（4）∵4a2+6ab+2b2＝5，
∴2a2+3ab+b2=，
∵a+b＝，（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，
∴2a+b=÷=5．
【点睛】
本题是一个阅读理解问题，考查了多项式乘多项式的几何背景问题及因式分解的应用，与几何图形相结合，通过面积法直观理解、几何图形之间的数量关系对多项式乘法做出几何解释是解题的关键．
【变式训练1】（2021·湖南长沙·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，求的值．
（3）小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值．
【答案】（1）；（2）14；（3）121
【解析】
【分析】
（1）根据图形，利用面积的不同计算方法可以写出相应的等式；
（2）根据（1）中的结果和，可以求得所求式子的值；
（3）将展开，即可得到x、y、z的值，本题得以解决．
【详解】
解：（1）由图可得，图2中所表示的数学等式是：，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴；
（3）由题可知，所拼图形的面积为：，
∵＝，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是乘法公式的几何意义，整式的乘法运算，公式的应用能力，掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练2】（2021·河南南阳·八年级阶段练习）老师出了一道题，让学生计算（a＋b）（p＋q）的值．
（1）填空：小聪发现这是道“多×多”的问题，直接利用多项式的乘法法则计算即可，（a＋b）（p＋q）＝ ；
小明观察这个式子后，发现可以把这个式了看成长为（a＋b），宽为（p＋q）的长方形，式子的结果就是长方形的面积；如图，通过分别大长方形为四个小长方形，就可以用四个小长方形的面积表达这个大长方形的面积_______．
比较大长方形和四个小长方形的面积我们可以得到等式：_______．
（2）请你类比上面的做法，通过画出符合题意得图形，利用分割面积的方法计算（a＋b）（a＋2b）．
【答案】（1），，；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据多项式乘以多项式的法则直接计算即可；
（2）画一个长为，宽为的长方形即可．
【详解】
解：（1），
大长方形的面积为：，
可以得到等式为：，
故答案为：，，；
（2）如图所示：．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是利用数形结合的思想来求解．
【类型四 多项式乘多项式与规律探究问题】
例4．（2020·福建·石狮市中英文实验学校八年级阶段练习）探究应用：
（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： ．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
A．（m+2）（m2+2m+4）
B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）
C．（3﹣n）（9+3n+n2）
D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．
【答案】（1）x3﹣1，8x3﹣y3；（2）a3﹣b3；（3）C；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；
（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；
（3）判断各选项是否符合公式的特点；
（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．
【详解】
解：（1）（x-1）（x2+x+1）
=x3+x2+x-x2-x-1
=x3-1；
（2x-y）（4x2+2xy+y2）
=8x3+4x2y+2xy2-4x2y-2xy2-y3
=8x3-y3；
故答案为：x3-1；8x3-y3；
（2）从第（1）问发现的规律是：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，
故答案为：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；
（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；
B．最后一项应该是4n2，不符合题意；
C．符合题意；
D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．
故选：C．
（4）A=109-1
=（103）3-1
=（103-1）（106+103+12）
=999×1001001
=3×3×3×37×1001001，
∴A能被37整除．
【点晴】
本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查学生的计算能力，能对公式进行逆用是解题的关键．
【变式训练1】（2022·江苏·七年级专题练习）观察下列各式：
……
（1）根据以上规律，______；
（2）你能否由此归纳出一般规律：______；
（3）根据以上规律求的结果．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据已知等式的规律即可求出结论；
（2）根据已知等式的规律即可求出结论；
（3）将x=2，n=2018代入（2）的公式中即可求出结论．
【详解】
解：（1）根据已知等式的规律可得：
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3）令x=2，n=2018
由（2）可得．
【点睛】
此题考查的是探索运算规律题，找出运算规律并归纳公式是解决此题的关键．
【变式训练2】（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．
例如：规定：
那么，，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________……
根据以上规律，写出的展开式：=________
【答案】五；1，4，6，4，1；
【解析】
【分析】
由图可知，从第三行开始，除去首项和最后一项，其余项应该等于上一行与其列数相同的数+上一行前一列的数．那么第五行的五个数就应该是1，4，6，4，1．即可得到答案．
【详解】
解：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
所以（a+b）4的展开式有五项，系数分别为：1，4，6，4，1．
故答案为：五；1，4，6，4，1．
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查完全平方公式的推广，读懂题目信息，准确找出规律是解题的关键，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
【变式训练3】（2021·山西省灵石县教育局教学研究室八年级期中）（1）探究发现：
小明计算下面几个题目
①；②；③；④
后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：
（2）面积说明：
上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式．
（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：.
【答案】（1）x，，pq；（2）如图见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用多项式乘以多项式的法则相乘即可得到结论
（2）通过总结（1）的计算结果：在结合图形的面积，即可已得到答案．
（3）观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可得到答案．
【详解】
（1），
，
，
，
总结规律为：
（2）根据（1）中总结的规律：
结合图形的面积可知：为长方形的面积，
则为长方形的宽，为长方形的长，
所以答案如图：
（3）按照小明发现的规律：

【点睛】
本题主要考查了多项式乘法中最基本的两个一次系数为1的一次二项式的乘法，通过运算能总结出规律是解题关键．
【课后训练】
1．（2021·四川·江油实验学校八年级阶段练习）多项式展开后不含x的一次项，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先将多项式展开，再合并同类项，然后根据题意即可解答．
【详解】
解：∵
∵展开后不含x项，
即
故答案为：2
【点睛】
此题考查了多项式乘多项式的知识，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项是解题的关键．
2．（2021·四川宜宾·八年级期中）若的乘积展开式中不含和项，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据多项式乘多项式法则进行计算，由不含某一项就是说这一项的系数为0，得出m，n的值，即可得出答案
【详解】
解：∵
=x3+（2m-3）x2+（-n-6m）x+3n，
∵乘积展开式中不含x2和x项，
∴2m-3=0，-n-6m=0，
解得m=，n=-9，
∴m+n=-9=-．
故答案为：-．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（2021·上海闵行·七年级期中）已知，，则_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据多项式乘以多项式的法则将原式展开，然后条件即可求出原式的值．
【详解】
解：当m+n=2，mn=-2，
(3−m)(3−n)=9+mn-3（m+n）
=9-2-6
=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
4．（2021·上海浦东新·七年级期中）若a+b＝﹣3，ab＝1，则（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝_____．
【答案】-5
【解析】
【分析】
根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
【详解】
解：∵a+b=-3，ab=1，
∴（a+1）（b+1）（a-1）（b-1）
=[（a+1）（b+1）][（a-1）（b-1）]
=（ab+a+b+1）（ab-a-b+1）
=（1-3+1）×（1+3+1）
=-1×5
=-5．
故答案为：-5．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
5．（2022·广东汕尾·八年级期末）关于的多项式与的乘积，一次项系数是25，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出两个多项式的积，再根据一次项系数为25，得到关于m的一次方程，求解即可．
【详解】
解：（2x−m）（3x＋5）
＝6x2−3mx＋10x−5m
＝6x2＋（10−3m）x−5m．
∵积的一次项系数为25，
∴10−3m＝25．
解得m＝−5．
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
6．（2022·福建·厦门市第九中学八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为，连接AF、CF、AC．若，的面积为S，则______．
【答案】50
【解析】
【分析】
根据题意得：AB=BC=CD=AD=10，FG=BG=b，则CG=b+10，可得，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：AB=BC=CD=AD=10，FG=BG=b，则CG=b+10，
∴
．
故答案为：50
【点睛】
本题主要考查了整式混合运算的应用，根据题意得到是解题的关键．
7．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）对a，b，c，d定义一种新运算：，如，计算_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据新定义规则把行列式化为常规乘法，利用多项式乘法法则展开，合并同类项即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查新定义，整式的乘法混合运算，掌握新定义规则，整式的乘法混合运算法则是解题关键．
二、解答题
8．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
按照多项式乘多项式的法则乘出来，再合并同类项即可．
【详解】
（1）
（2）
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘法法则是关键，但注意的是，不要出现漏乘．
9．（2021·全国·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
【分析】
（1）先提出一个负号，然后利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可；
（2）利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可；
（3）先用，再利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可；
（4）先计算多项式乘以多项式，然后利合并同类项求解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．（2022·四川· 淮安市淮阴区开明中学八年级开学考试）已知关于x的代数式与的乘积中，不含有x的一次项，求m的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据乘积中不含x的一次项得出答案即可．
【详解】
解：，
∵乘积中不含x的一次项，
∴，
∴，
即当时，乘积中不含x的一次项．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式中不含某一项的求解问题，能正确根据多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
11．（2021·全国·七年级期中）先化简，再求值：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2），其中x＝﹣2．
【答案】5x+19，9
【解析】
【分析】
先计算多形式的乘法，再去括号合并同类项，然后把x＝﹣2代入计算．
【详解】
解：原式=2x2+x-2x-1-2(x2+2x-5x-10)
=2x2+x-2x-1-2x2-4x+10x+20
=5x+19，
当x＝﹣2时，
原式=-10+19=9
【点睛】
本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．
12．（2021·四川省绵阳南山中学双语学校八年级期中）化简求值：，其中，．
【答案】，8．
【解析】
【分析】
先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将x、y的值代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
当、时，．
【点睛】
本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．
13．（2021·山东·东平县实验中学阶段练习） 先化简，再求值．
其中．
【答案】，20．
【解析】
【分析】
根据多项式乘法的计算法则化简原式后再把x的值代入计算即可．
【详解】
解：
∴当时，原式=．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，根据多项式乘法的计算法则对原式进行化简是解题关键．
14．（2021·四川·达州市第一中学校七年级期末）（1）先化简，再求值：，其中x＝-1，y＝2．
（2）已知A＝2x2+3ax﹣2x﹣1，B＝x2﹣ax+1，且A﹣2B的值与x的取值无关，求5a﹣1的值．
【答案】（1）﹣2x2y﹣xy2，0；（2）1
【解析】
【分析】
（1）运用整式的四则混合运算法则，先化简再代入求值即可．
（2）与x取值无关，即与x相乘的代数值为0即可．
【详解】
解：（1）原式＝5x2y﹣3xy2﹣7x2y+2xy2
＝﹣2x2y﹣xy2，
当x＝﹣1，y＝2时，原式＝﹣2×（-1）2×2﹣（-1）×22＝﹣4+4＝0；
（2）∵A＝2x2+3ax﹣2x﹣1，B＝x2﹣ax+1，
∴A﹣2B＝（2x2+3ax﹣2x﹣1）﹣2（x2﹣ax+1）
＝2x2+3ax﹣2x﹣1﹣2x2+2ax﹣2
＝5ax﹣2x﹣3
＝（5a﹣2）x﹣3，
∵A﹣2B的值与x的取值无关，
∴5a﹣2＝0，
解得：a＝，
当a＝时，5a﹣1＝2﹣1＝1．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式的化简，运算顺序：先乘方；再乘除，后加减，有括号时、先算括号里的：去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．与x的取值无关是指合并同类项以后，所有含x的项的系数为0，那么无论x取什么值，都不会影响函数式的值．
15．（2020·海南·海口市第七中学八年级期中）如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形．
(1)用含x、y的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积．
(2)如果，求会议厅比会客室大多少平方米？
【答案】(1)会客室占地面积为平方米，会议厅的占地面积为平方米；
(2)会议厅比会客室大37平方米．
【解析】
【分析】
（1）结合图形分别表示出会客厅与会议厅的长宽，然后利用面积公式计算即可得；
（2）由（1）中结论代入化简可得，将已知式子的值化简，然后代入计算即可得．
(1)
解：结合图形可得：会客室的长为，宽为，
∴会客室面积为：，
会议厅的长为，宽为，
∴会议厅的面积为；
∴会客室面积为平方米，会议厅的面积为平方米；
(2)
解：
，
由，得，
∴，
∵，
∴（平方米）
答：会议厅比会客室大37平方米．
【点睛】
题目主要考查整式混合运算的应用及已知式子的值，求代数式的值，理解题意，找出图形中的边长关系列出代数式是解题关键．
16．（2022·黑龙江省八五五农场学校八年级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积．
【答案】绿化面积是平方米；当，时，绿化面积是63平方米
【解析】
【分析】
根据绿化面积=长方形地块-雕像面积进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：

平方米；
当，时，平方米，
答：绿化面积是平方米；当，时，绿化面积是63平方米．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，解题的关键在于能够根据题意表示出绿化面积．
17．（2021·上海浦东新·七年级期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．
(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）
(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)超过，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分长方形的面积；
（2）通过有理数的混合运算得结果与400进行比较．
(1)
空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．
空白部分长方形的面积：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600) m2．
(2)
超过．
∵2×22-70×2+600=468（m2），
∵468＞400，
∴空白部分长方形面积能超过400 m2．
【点睛】
本题考查有代数式表示实际问题，掌握用代数式表示长方形的边长，读懂题意列出代数式是解决此题关键．
18．（2022·重庆市育才中学八年级期末）如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：．
请你结合以上知识，解答下列问题：
(1)写出图2所示的长方形所表示的数学等式_________．
(2)根据图3得到的结论，解决下面的问题：若，，求代数式的值．
(3)小华同学用图4中张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张边长分别为，的长方形纸片拼出一面积为的长方形，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)24
(3)55
【解析】
【分析】
（1）图2中的等量关系为：大长方形面积=各小长方形面积的和，只需用两种方式表示出大长方形面积即可；
（2）通过面积相等的原理找出，，，，三个算式之间的关系，代入求解即可；
（3）将代数式化简后，找的a，b与x，y，z，之间的关系，代入可得：．
(1)
解：．
(2)
由题可知：，
∵，，
∴，
∴．
(3)
（3）∵，
∴，，，
∴．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式的计算，整体代入思想，数形结合思想，能够通过几何图形找到代数之间的等量关系是解决此类题型的关键．
19．（2021·北京·101中学八年级期中）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项。因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式，
代数式的值与x的取值无关，，解得．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项。因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0；
（2）先根据多项式的加减计算，再按照（1）的方法求得的值；
（3）设，分别用含的代数式求得，进而根据题意结果与无关，根据（1）的方法求得的关系．
【详解】
（1）
代数式的值与x的取值无关，
解得
（2），
，
代数式的值与x的取值无关，
解得；
（3）设，则
，
当AB的长变化时，的值始终保持不变，
．
即．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，理解题意是解题的关键．
20．（2021·江西抚州·八年级期中）张老师组织学校数学兴趣小组展开探究发现：
……
(1)启航小组提出的问题是：试求的值，请你合理推算；
(2)展翅小组提出的问题是：判断的值的末位数是几，请你写出推断过程；
(3)创新小组提出的问题是：计算，请你认真思考并写出解题过程．
【答案】(1)63
(2)的末位数字是3，推断过程见解析
(3)，解题过程见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可知 ，然后计算求解即可；
（2）由题意知，原式，从2的1次幂开始，末位数依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、6……，可推导一般性规律为：末位数以4为周期进行循环，，可知的末位数字是4，进而可知的末位数字；
（3）可写成的形式，然后进行计算即可．
(1)
解：
(2)
解：由题意知：原式
从2的1次幂开始，末位数依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、6……
可推导一般性规律为：末位数以4为周期进行循环
∵
∴的末位数字是4
∴的末位数字是3 ．
(3)
解：
【点睛】
本题考查了多项式乘法规律的探究．解题的关键与难点在于理解运算过程并推导出一般性规律．
21．（2022·江西宜春·八年级期末）观察下列各式：
；
；
；
……
根据这一规律计算：
(1)______；______；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）观察已知等式，归纳总结确定出所求即可；
（2）将原式变形为，根据所得规律计算即可.
(1)
解：归纳总结得：；
；
故答案为：；
(2)
解：原式==.
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，观察等式发现规律是解题关键．
22．（2021·陕西·西安市中铁中学七年级阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ （n为大于3的正整数），并证明你的结论；
（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝ ．
【答案】（1）x4−1；（2）xn＋1−1，理由见详解；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求解；
（2）利用发现的规律填写，再利用多项式乘多项式法则证明即可；
（3）利用得出的规律计算得到结果；
（4）两个数一组分别提取公因数，再把底数化为9，利用得出的规律计算，即可求解．
【详解】
解：（1）解：根据多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
故答案是： x4−1；
（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，
理由如下：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1+ xn+xn﹣1+……+x-（xn+xn﹣1+……+x+1）
= xn＋1−1，
故答案是：xn＋1−1；
（3）（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）
=﹣32100×4÷8÷380
=-
=；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3
=2×32018+2×32016+2×32014+……+2×32+3
=2×（32018+32016+32014+……+32）+3
=2×（91009+91008+91007+……+9+1-1）+3
=2×+3
=2×
=，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则，归纳出公式（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，是解题的关键．
23．（2022·江苏·七年级专题练习）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）5展开式的系数和是 ；（a+b）n展开式的系数和是 ．
（2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是 ；（a+b）n展开式的系数和是 ．
【答案】（1）25； 2n；（2）35；3n．
【解析】
【分析】
（1）经过求和计算和变形，观察发现展开式的各项系数之和为当a=1,b=1时的代数式的值，按此规律便可求解
（2）利用知识迁移，用a=2，b=1求和（a+b）5展开式的系数和（2+1）5计算即可，同样方法求（a+b）n展开式的系数和（2+1）n即可
【详解】
解：（1）1=10=（1+1）0，
1，1，1+1=2=21=（1+1）1，
1，2，1，1+2+1=22=（1+1）2，
1，3，3，1，1+3+3+1=8=23=（1+1）3
1，4，6，4，1，1+4+6+4+1=16=24=（1+1）4
……
当a=1,b=1时，(a+b)n展开式的系数和（1+1）n
展开式的系数和是25，
∴（a+b）5展开式的系数和是当a=1,b=1时（1+1）5=25；
∴（a+b）5展开式的系数和是25；
当a=1,b=1时，（a+b）n=（1+1）n=2n，
（a+b）n展开式的系数和是2n，
故答案为：25； 2n；
（2）当a＝2时，b=1,（a+b）5=（2+1）5=35
当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是35；
当a＝2时，b=1, （a+b）n=（2+1）n=3n
（a+b）n展开式的系数和是3n．
故答案为：35；3n．
【点睛】
本题考查两数和的n次方公式与展开式各项系数和，本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律是求a与b为特定值是的代数式的值，属于一种开放性题目．
24．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式，则a＝0，b＝2，c＝-5，d＝4，故A的关联点为（-5，-11）．
(1)若，试求出A的关联点坐标；
(2)若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与的乘积，若整式C的关联点为（6，15），求整式B的表达式．
(3)若整式D＝x-2，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（-32，0），请直接写出整式E的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据整式得出，，，，根据关联点的定义得出，，即可得出的关联点坐标；
（2）根据题意得出中的次数为次，设 ，计算出，进而表达出，，，的值，再根据的关联点为，列出关于 ， 的等式，解出、的值即可；
（3）设，根据题意求出，进而表达出，，，的值，再根据的关联点为，列出关于，的等式，解出、的值即可．
(1)
解：（1），
，，，，
，，
的关联点坐标为：，
故笞案为：；
(2)
整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，
是二次多项式，且的次数不能超过次，
中的次数为次，
设 ，
，
，，，，
整式的关联点为，
，，
解得：，，
；
(3)
根据题意：设，

，
，，，，
整式 的关联点为，
，，
，，
，
把代入得： ，
解得： ，
或，
或．
【点睛】
本题主要考查整式的乘法，掌握整式的乘法是解决问题的关键．