浙教版数学七下期末培优训练专题08 因式分解压轴题三种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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例题：（2022·湖北武汉·八年级期末）已知a+b＝4，ab＝3，则a2b+ab2＝_____．
【变式训练】
1．（2022·浙江·宁波市兴宁中学一模）分解因式：_____．
2．（2022·云南昭通·八年级期末）若m-n=4，mn=3，则_____．
3．（2022·四川泸州·八年级期末）分解因式= ______．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）因式分解：m(a-3)+2(3-a)
5．（2021·全国·八年级专题练习）分解因式：
6．（2021·海南鑫源高级中学八年级期中）因式分解
（1）
（2）
（3）
【类型二 公式法因式分解】
例题：（2021·重庆巫山·八年级期末）因式分解：ab2-4a＝________；3x2+12xy+12y2 ＝_________．
【变式训练】
1．（2022·云南玉溪·一模）分解因式∶______．
2．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）把多项式4x2﹣24x＋36分解因式的结果是________．
3．（2022·云南昆明·一模）当时，代数式______．
4．（2021·湖北武汉·八年级期末）因式分解：
(1)；
(2)．
5．（2022·陕西安康·八年级期末）因式分解：
(1)
(2)
6．（2022·广西河池·八年级期末）因式分解
(1)；
(2)．
7．（2022·湖北武汉·八年级期末）因式分解
(1)x2y－4y
(2)2x2－12x＋18
8．（2022·广东·佛山市南海区里水镇里水初级中学八年级阶段练习）已知a+b＝，ab＝﹣，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．
【类型三 十字相乘法法因式分解】
例题：（2021·北京市第四十三中学八年级期中）阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，．反过来，就得到的因式分解形式，即．把这个多项式的二次项系数1分解为，常数项10分解为，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数（如图1）．
像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
例如，将二次三项式分解因式，它的“十字”如图2：
所以，．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【变式训练】
1．（2021·山东淄博·二模）因式分解a2－a－6＝_____．
2．（2021·山东淄博·一模）分解因式：__．
3．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）分解因式＝________．
4．（2022·湖北十堰·八年级期末）因式分解：
(1)；
(2)
5．（2020·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解：
(1)__________．
(2)__________．
(3)__________．
(4)__________．
6．（2022·四川泸州·八年级期末）阅读下面材料，并回答相应的问题：
通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．
(1)请运用多项式乘以多项式的法则填空：
__________，____________，
__________，__________．
从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：
________________．
(2)因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）．
利用这种方法，请将下列各式因式分解：
__________，___________，
__________，___________．
7．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．
这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1)__________；
(2)__________；
(3)__________；
(4)__________．
【类型四 分组分解法因式分解】
例题：（2021·黑龙江·兴凯湖农场学校八年级期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
【变式训练】
1．（2022·广东·龙岭初级中学八年级期中）因式分解中拆项法原理：在多项式乘法运算时，经过整理、化简通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：x2＋4x＋3
解：把4x分成x和3x，
原式就可以分成两组了
原式＝x2＋x＋3x＋3
＝x（x＋1）＋3（x＋1）
继续提公因式＝（x＋3）（x＋1）
请类比上边方法分解因式：x2＋5x＋6．
2．（2022·山东济宁·八年级期末）观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
乙：
（分成两组）
（直接运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：
(1)
(2)
3．（2022·吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
(1)利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
(2)因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
4．（2021·吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：
＝
＝
＝
（1）利用分组分解法分解因式：
①；
②
（2）因式分解：=_______（直接写出结果）．
5．（2021·上海奉贤·七年级期中）下面是多项式x3+y3因式分解的部分过程，．
解：原式＝x3+x2y﹣x2y+y3（第一步）
＝（x3+x2y）﹣（x2y﹣y3）（第二步）
＝x2（x+y）﹣y（x2﹣y2）（第三步）
＝x2（x+y）﹣y（x+y）（x﹣y）（第四步）
＝ ．
阅读以上解题过程，解答下列问题：
（1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（至少写出两种方法）
（2）在横线继续完成对本题的因式分解．
（3）请你尝试用以上方法对多项式8x3﹣1进行因式分解．
6．（2021·全国·八年级专题练习）先阅读下列材料，然后回答后面问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等．
如“2＋2”分法：
ax＋ay＋bx＋by
＝（ax＋ay）＋（bx＋by）
＝a（x＋y）＋b（x＋y）
＝（x＋y）（a＋b）
如“3＋1”分法：
2xy＋y2﹣1＋x2
＝x2＋2xy＋y2﹣1
＝（x＋y）2﹣1
＝（x＋y＋1）（x＋y﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；
（2）分解因式：45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2；
（3）分解因式：4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1．
【类型五 因式分解的应用】
例题：（2022·湖北黄冈·八年级开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·八年级期末）多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2通过因式分解写成（a+b）2和（a-b）2的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及求最值等问题．我们把多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如：分解因式x2+2x-3
原式=x2+2x+1-1-3=（x2+2x+1）-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)
(1)用配方法将x2-6x-16分解因式；
(2)用配方法将x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式；
(3)试说明：x、y取任何实数时，多项式x2+y2+4x-2y+7的值总为正数．
2．（2022·山东临沂·八年级期末）第一环节：自主阅读材料
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
……分组
……组内分解因式
……整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法．
(1)第二环节：利用这种方法解决以下问题：因式分解：．
(2)第三环节：拓展运用：已知a，b，c为的三边，且，试判断的形状并说明理由．
3．（2021·福建省福州延安中学八年级期中）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a7b，求整式M的最小值．
4．（2022·河南洛阳·八年级期末）阅读理解：
阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值．
解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
所以，解得，
所以，另一个因式是，a的值是-6．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
5．（2021·内蒙古·包头市青山区教育教学研究中心八年级期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
(2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法 次，结果是 ；
(3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是 ．
(4)请利用以上规律计算：（1+2x）3．
6．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x2﹣4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x＋n，依题意得x2﹣4x＋m＝（x＋3）（x＋n）．
即x2﹣4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n，比较系数得：，解得．
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21
仿照上述方法解答下列问题：
(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；
(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝ ．
7．（2021·山东·东营市东营区实验中学八年级阶段练习）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，但对于二次三项式就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：；
(2)若，，求：①；②的值；
(3)已知x是实数，试比较与的大小，说明理由．