北师大版数学七下高频考点突破练习专题01 三角形及全等（2份，原卷版+解析版）

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（1）三角形定义：由不在同一条直线上的三段线段首位顺次相接所组成的图形叫作三角形。记作△ABC，读作三角形ABC。
（2）三角形的分类：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①已学习，按照角分类
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②还可按照边进行分类，根据边是否相等

= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③等腰不等边，两腰角相等，且两腰均为锐角；等边三角形，三个角都为60度；
= 4 \* GB3 ④特殊三角形：等腰直角三角形，90度、45度、45度。
例1．（2021·湖北初二月考）三角形是指( )
A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【答案】C
【分析】根据三角形的定义解答即可．
【解析】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义．
变式1．（2021·全国·七年级课时练习）由___________三条线段___________所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做___________；相邻两边的公共端点叫做___________，相邻两边所组成的角叫做___________，简称___________．
【答案】 不在同一直线上的 首尾顺次相接 边 顶点 三角形的内角 三角形的角
【分析】本题利用三角形的概念即可得出结果．
【详解】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做边；相邻两边的公共端点叫做顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，
简称三角形的角．故答案为：不在同一直线上的；首尾顺次相接；边；顶点；三角形的内角；三角形的角．
【点睛】本题主要考查三角形的概念，属于基础题，熟练掌握三角形的概念是解题的关键．
变式2．（2021·全国·八年级专题练习）学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形的概念一一辨析可得正确解答．
【详解】解：三角形指的是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，而A、B、D图形的三根火柴都全部没有或者部分没有首尾相接，所以A、B、D都不符合题意，只有C图形是由三根火柴首尾顺次相接而成的，所以C符合三角形概念．故选C．
【点睛】本题考查三角形的定义，正确理解三角形是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是解题关键．
例2．（2021·咸宁市八年级月考）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲分法错误，乙分法正确 B．甲分法正确，乙分法错误
C．甲、乙两种分法均正确D．甲、乙两种分法均错误
【答案】A
【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．
【详解】按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．∴甲分法错误，乙分法正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的分类，关键是掌握分类方法．根据三角形角、边的特点，按边或按角分类．
变式3．（2021·广西·八年级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断
【详解】（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确
综上所述，正确的结论2个 故选B
【点睛】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形
变式4．（2021·广东省八年级月考）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据各类三角形的概念即可解答.
【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．故选C．
【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形.
例3．（2021·浙江八年级期中）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（ ）．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】A
【分析】由三角形三个内角的度数之比是，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再作出判断即可．
【详解】解：∵三角形的三个内角之比是，
∴三角形的三个内角依次为：，，，
∴该三角形一定是锐角三角形．故选A．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握以上知识是解题的关键．
变式5．（2021·绵阳市·八年级期中）中，已知：，，则中按角分类是（ ）．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．斜三角形
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可求得∠C的度数，再判断△ABC的分类．
【详解】∵∠A＝40°，∠B＝45°，∴∠C＝180°−40°−45°＝95°，
∴△ABC为钝角三角形，故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
变式6．（2022·山东泰安·八年级期末）在具备下列条件的中，①；②，；③；④，其中能构成直角三角形的有______．
【答案】①②④
【分析】根据三角形内角和定义，以及直角三角形的定义逐一判断即可．
【详解】①，；
是直角三角形
②，，；
是直角三角形
③；
不是直角三角形
④，
是直角三角形；故①②④可以构成直角三角形故答案为：①②④
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的定义，求得三个角中最大的角是解题的关键．
知识点1-2 三角形内角和定理
（1）定理：三角形三个内角和等于180度
（2）直角三角形的两个锐角互余
例1．（2022·山东潍坊·八年级期末）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EFAB B．过AB上一点D作DEBC，DFAC
C．延长AC到F，过C作CEAB D．作CD⊥AB于点D
【答案】D
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．
B．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故B不符合题意．
C．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故C不符合题意．
D．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，将三角形三个内角转换为平角是解本题的关键．
变式1．（2021·河北唐山·七年级期末）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：的三个内角为、、
求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【答案】D
【分析】利用理论与实践结合可以判断C与D，根据三角形的平行的性质与平角的定义可以判断C与D，
【详解】解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，故选项A不符合题意；
B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需要理论证明，故选项B不符合题意；C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；
D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和的证明问题，命题的正确性需要严谨推理证明．
变式2．（2021·北京房山·七年级期末）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：
①画出命题对应的几何图形；②写出已知，求证；③受拼接方法的启发画出辅助线；④写出证明过程．
请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．
【答案】见解析
【分析】根据要求画出△ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】解：已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．
∵BE∥AC，∴∠1=∠4，∠5=∠3，
∵∠2+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°，即∠A+∠ABC+∠C=180°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
例2．（2022·广东深圳·九年级期末）在△AOB中，BO＝AO，OP交AB于点C，量角器的摆放如图所示，则∠BCP＝（ ）
A．80°B．90°C．85°D．95°
【答案】C
【分析】依据BO＝AO，∠AOB＝130°，即可得到∠CAO＝25°，再根据∠AOP＝70°，即可得出∠BCP＝∠ACO＝180°﹣∠CAO﹣∠AOC．
【详解】解：∵BO＝AO，∠AOB＝130°，∴∠CAO＝25°，
又∵∠AOP＝70°，∴∠BCP＝∠ACO＝180°﹣∠CAO﹣∠AOC＝180°﹣25°﹣70°＝85°，故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和等于180°．
变式3．（2021·河南郑州·一模）一个等腰直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置．若∠2＝60°，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．75°C．45°D．105°
【答案】B
【分析】利用两直线平行，同位角相等得到，∠2＝∠3＝60°，再由等腰直角三角形的性质得到∠4＝45°，最后由三角形内角和求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵AB∥CD，∠2＝60°，∴∠3＝∠2＝60°，
∵图中为等腰直角三角板，∴∠4＝45°，∴∠1＝180°﹣∠3﹣∠4＝75°，故选：B．
【点睛】本题考查平行性的性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理，通过平行线性质推出∠2＝∠3是解题的突破口．
变式4．（2022·河南平顶山·八年级期末）已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76°B．65°C．56°D．54°
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和是，即可求解．
【详解】，，在中，，，
在中，，，故选：D．
【点睛】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
例3．（2021·江苏·徐州市西苑中学七年级阶段练习）在中，，按图中虚线将剪去后，等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用补角的定义可知：，，由三角形内角和定理可知： ，代入即可求出．
【详解】解：假设虚线为DE，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，故选：C ．
【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出是解题的关键．
变式5．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，．
【详解】解：∵，∴，
∴，由折叠的性质可得：，
∴，∵，∴，
即．故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键．
例4．（2021·湖北蔡甸初二期中）如图，若的三条角平分线、、交于点，则与互余的角是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义逐一判断即可．
【解析】解：∵三角形的两个角平分线不一定互相垂直，∴∠EGD不一定等于90°
∴与不一定互余，故A选项不符合题意；
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°，的三条角平分线、、交于点
∴∠FAG=∠BAC，∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB
∴∠FAG＋∠GBC＋∠GCB=（∠BAC＋∠ABC＋∠ACB）=90°
∵=∠GBC＋∠GCB ∴＋∠FAG=90°，故B选项符合题意；
∵三角形一个内角的角平分线不一定垂直该角的对边 ∴∠GEC和∠GFB不一定是直角
∴＋∠ECG不一定等于90°，故C选项不符合题意；∠FGB＋∠FBG不一定等于90°
∵∠FGB=∴＋∠FBG不一定等于90°，故D选项不符合题意．故选B．
【点睛】此题考查的是互余的判定，掌握角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义是解决此题的关键．
变式6．（2021·辽宁文圣初一期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，图形中相等的角有____对，互余的角有____对．
【答案】5 3．
【分析】根据垂直的定义得到∠CDA=∠BDC=∠ACB=90°，推出∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°，即可得到答案.
【解析】∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDC=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°,
∴图形中相等的角有∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，∠ACB=∠BDC，∠ACB=∠CDA，∠BDC=∠CDA，一共5对，互余的角有∠A和∠B，∠A和∠ACD，∠B和∠BCD，一共3对．故答案为：5；3.
【点睛】此题考查了垂直的定义，直角三角形两个锐角互余，同角的余角相等，正确理解直角三角形两个锐角互余的性质是解题的关键.
变式7．（2021·上海市久隆模范中学七年级期末）如图，，交于点，，垂足为，，求的度数．
【答案】．
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余即可得．
【详解】解：，，
，．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
知识点1-3 三角形三边关系
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
；
只需满足：0D．m=n>0
【答案】D
【分析】利用作法根据根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，即可得到结论．
【详解】解：由作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，则m=n>0．故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
变式3．（2021·广东九年级专题练习）“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图（2），
（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；
（3）作射线CC．所以∠CCA就是所求作的角; 此作图的依据中不含有（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等D．两点确定一条直线
【答案】C
【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．
【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；
结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；
作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；故选：C．
【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．
例3．（2022·北京怀柔·八年级期末）小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；
（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线BˊN；
（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；
（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；
（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．
∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）
A．基本事实SSSB．基本事实ASAC．基本事实SASD．定理AAS
【答案】C
【分析】根据作图步骤可得出小举在探究全等三角形判定方法为SAS．
【详解】解：小举的操作过程第一步是作一个角等于已知角，夹这个角的两条边分别对应相等，
故可得出小举是在探究基本事实SAS故选：C
【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
变式4．（2021·吉林长春市·九年级一模）如图，C是直线外一点，按下列步骤完成作图：（ ）
（1）以点C为圆心，作能与直线相交于D、E点的圆弧．
（2）分别以点D和点E为圆心，长为半径作圆弧，两弧交于点F，连结、．
（3）作直线交于点G．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④C．③④D．①④
【答案】B
【分析】连接CD和CE，证明出，为等边三角形，依次进行判定即可．
【详解】连接CD和CE，如图所示：
∵，，，∴，
∴，故③正确，由题可知，，
故为等边三角形，，故②错误，④正确，
∵，，，
∴，∴，∴，故①正确，故选：B
【点睛】本题主要考查了全等三角形及三角形的性质，正确读懂题意是解题的关键．
例4．（2021·福建南平市·八年级月考）如图所示，已知△ABC，请你画一个△A1B1C1，使A1B1＝AB，C1B1＝CB，∠B1＝∠B，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据已知三角形，利用进而得出全等三角形即可．
【详解】解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
变式5．（2021·河北邯郸市·八年级月考）尺规作图：已知和线段，求作，使．（作图痕迹要清晰规范，不要求作图步骤）
【答案】见解析．
【分析】利用基本作图来解，作∠B=∠α，∠C=β，BC=2即可．
【详解】解：如图，为所作．
【点睛】本题考查尺规作图问题，掌握尺规作图中的基本作图，会用基本作图解决问题是解题关键．
例5．（2021·清华附中八年级期中）如图，在正方形网格内（每个小正方形的边长1），有一格点三角形ABC（三个顶点分别在正方形的格点上），现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，请画出所有满足条件的格点三角形的第三个顶点，并在网格图中标注．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定依据题目要求画出图形即可．
【详解】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
变式6．（2021·北京四中八年级期中）如图，已知．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交、于M、N两点；
②分别以点M，N为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内部交于点C．
则射线是的角平分线．
根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，作出射线（请保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．
连接，．
在和中，
∵
∴（ ），
∴________（ ），
即平分．
【答案】（1）见解析；（2），，全等三角形的对应角相等
【分析】（1）根据题目中的作图步骤画图即可；
（2）根据全等三角形的判定定理和性质，补充完整即可．
【详解】（1）如图所示，射线即为所求；
（2）连接，．
在和中，∵∴（ SSS ），
∴∠BOC（ 全等三角形对应角相等），即平分．
【点睛】本题考查了角平分线的画法和全等三角形的判定与性质，解题关键是明确角平分线画法，熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．
知识点1-12 利用三角形全等测距离
1）、全等三角形在现实生活中有着广泛的应用，解决与全等三角形有关的实际问题时，常将实际问题转化为数学问题，然后再利用数学知识来解决.
2）、要测量无法直接得到的两个点之间的距离时，常常应用三角形全等的条件来构造全等三角形，再利用全等的性质得到所要的距离.
例1．（2021·辽宁鞍山市·八年级期中）如图，AD、BC表示两根长度相同的木条，若O是AD、BC的中点，经测量AB＝9cm，则容器的内径CD为____ cm．
【答案】9
【分析】由题意易得△AOB≌△DOC，则有AB=CD，故问题得解．
【详解】解：AD=BC，O是AD、BC的中点，AB＝9cm，OA=OD=OB=OC，
在△AOB和△DOC中，，△AOB≌△DOC， CD=AB＝9cm；故答案为9．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．
变式1．（2021·河北·石家庄市第四十二中学八年级期中）如图所示，将两根钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽宽AB，那么判定的理由是_____．
【答案】SAS
【分析】由图可以知, ,与是对顶角，由判定定理即可得到答案．
【详解】解：∵OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．故答案为：SAS．
【点睛】本题考查选取合适的判定定理证明三角形全等，结合图形分析出所需条件是解题的重点．
例2．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）如图，为了测量池塘东西两边、之间的宽度，小明同学先从点向南走到点处，再继续向南走相同的距离到达点，然后从点开始向西走到点处，使、、三点在同一条直线上，此时测量、间的距离就是、间的距离，这里判断的直接依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】C
【分析】根据题意可得，再利用ASA，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴ ．故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
2．（2022·甘肃平凉·八年级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，此时洲得DE=13米．则AB的长为____．
【答案】13米
【分析】根据条件可证，进而可知．
【详解】解：在和中，
∴（ASA），∴，故答案为：13米．
【点睛】本题考查全等三角形的实际应用，能够熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
变式2．（2021·全国七年级课时练习）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定定理可得以证明.
【详解】由题意可得：∴△ACB ≌△DCB（SAS）∴AB = DB故选D．
例3．（2021·山东德州市·八年级期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度．
【答案】16米
【分析】已知AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP，再由垂直的定义可得∠CDO=，可得PB⊥AB，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB，即可根据ASA定理判定△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米．
【详解】∵AB∥CD，∴∠ABP=∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP=，∴∠ABP=，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD=PB，
在△ABP与△CDP中，，∴△ABP≌△CDP（ASA），∴CD=AB=16米．
【点睛】本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键．
变式3．（2021·湖南怀化市·八年级期末）明明同学用10块高度都是3cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙上面刚好可以放进一个等腰直角三角形（AC=BC ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【答案】两堵木墙之间的距离为30cm．
【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，∴DE=DC+CE=30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
证法1：如图
∵，，（量角器测量）
∵（计算所得）
∴（等量代换）
证法2：如图，延长到，过点作．
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角定义）．
∴（等量代换）
即．